3.5.1 图形的位似(1) 学习任务单 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学学习任务单聚焦“图形的位似(1)”核心内容，以复习相似图形为起点，通过问题链探究对应点连线特征与相似比关系，构建位似定义，归纳性质，再经典例与实践操作掌握放大缩小方法，形成完整学习支架。 资料注重探究式学习，引导学生用数学眼光观察图形特征，通过推理意识归纳位似性质，实践操作（橡皮筋放大）培养空间观念与创新意识。作业分层设计，必做巩固基础，选做与综合拓展提升应用能力，有效促进数学思维与表达。

学习任务单 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 第一学期 课题 3.5.1 图形的位似(1) 教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：北京师范大学出版社 学生信息 姓名 学校 班级 学号 学习目标 1.理解位似图形的定义及相关性质． 2.理解相似图形与位似图形的联系与区别． 3.初步了解能利用图形的位似将一个图形放大或缩小的理论依据． 课前学习任务 复习引入 【复习导入】 下图由一组形状相同的图片组成. 在图片 ① 和图片 ② 上任取一组对应点 A，A'，你有什么发现？ 课上学习任务 【学习任务一】 探究点1：位似图形的概念 问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？ 问题2：下图是两个相似五边形，设直线 AA′ 与 BB′ 相交于点 O，那么直线 CC′，DD′，EE′ 是否也都经过点O？ 有什么关系？ 【学习任务二】 [概念学习] 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P′ 所在的直线都经过同一点 O，且有 OP′ = k· OP (k ≠ 0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点 O 叫作位似中心.其中 k 就是这两个相似多边形的相似比. 当 k＞0 时，点 P′ 在射线 OP 上， 当 k＜0 时，点 P′ 在射线 OP 的反向延长线上. 特别地，点 O 对应到它自身. 上图每组中的两个五边形就是位似五边形. [归纳总结] 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察： 一是这两个图形是相似的， 二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 探究点2：位似图形的性质 从右图中我们可以看到，△ABO∽△A′B′O，则，AB∥A′B′. 左图呢？你得到了什么？ 归纳： 【学习任务三】 典例精讲 例：如图，已知 △ABC，以点 O 为位似中心画 △DEF，使其与 △ABC 位似，且相似比为2. 做一做 利用下面的方法可以近似地将个图形放大： 1. 将两根长短相同的橡皮筋系在一起，联结处形成一个结点. 2. 选取一个图形，在图形外取一个定点. 3. 将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端. 4. 拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形. 这个新图形与已知图形形状相同. 请你用这种方法把一个已知图形放大. 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（　　） A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 选做题： 2．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝15 cm，则AC的长度为______。 3.如图，指出下列各图中的两个图形是不是位似图形。如果是位似图形，请指出其位似中心；如果不是位似图形，请说明理由。 【综合拓展类作业】 4.已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似， 且相似比为 1：2。 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（　　） A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形 B．AD与AE的比是2：3 C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3 D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9 选做题： 2.墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形ABCD 的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′:AB=2:1 ，则四边形A′B′C′D′ 的周长为___. 【综合拓展类作业】 3.如图，在▱ABCD中，以C为位似中心，作▱ABCD 的位似▱PECF，且与原图形的相似比为2:3，连接BP，DP ，若▱ABCD的面积为20，则△PBE与△PDF 的面积之和为多少？ 答案： 【课堂练习】 1. D 2. 8cm 3.解：(1)两个图形是位似图形，位似中心是点P。 (2)两个图形不相似，故它们不是位似图形。 (3)两个图形是位似图形，位似中心是点O。 (4)两个图形对应顶点所在的直线不相交于同一点，故它们不是位似图形。 4.解：如图所示，连接OA，OB，OC； 分别取OA，OB，OC的中点A′，B′，C′； 连接A′B′，B′C′，C′A′， 则△A′B′C′即要求作的三角形。 【作业设计】 1. B 3.解：如图，连接AC.∵ 平行四边形PECF与平行四边形ABCD是以C 为位似 中心的位似图形，相似比为2:3 ，∴A，P，C 三点在同一条直线上，PF//AD，PE//AB，CF:CD=2:3，CE:BC=2:3.∵ 平行四边形ABCD的面积为20，∴△ABC和△ADC 的面积都是10.∵PF//AD，∴ 易得△CFP∽△CDA，∴ . ∴S△CFP=.∵CF:FD=2:1 ，∴S△PDF=.同理可得S△PBE=， ∴△PBE与△PDF的面积之和为. 学科网（北京）股份有限公司 $