初三数学第25章一元二次方程培优练习（原创）

**基本信息** 初三数学一元二次方程单元复习改编卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖定义、解法、根与系数关系及实际应用，强化数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|一元二次方程定义、配方法、直接开平方法、根与系数关系、增长率问题|解题接力题考查推理能力，结合图形分析增长率| |填空题|6题/18分|根与系数关系应用、数字问题、矩形菜园面积、方程类型判断、黄金分割|黄金分割题体现几何直观，矩形问题强化模型意识| |解答题|4题/52分|解方程、根的判别式与整数根、停车场道路设计、租金收入问题、韦达定理应用|停车场与租金问题突出应用意识，韦达定理阅读题培养数学语言表达|

初三数学第章一元二次方程练习（改编卷） （时间：分钟　满分：分） 姓名：　　班级：　　学号： 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） ．　　．　　．　　． ．用配方法将 化为 的形式，结果正确的是（　　） ．　　．　　．　　． ．若关于的方程 能用直接开平方法求解，则的取值范围是（　　） ．　　．　　．　　． ．已知是关于的一元二次方程 的一个根，则此方程的另一个根为（　　） ．　　．　　．　　． ．已知、是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（　　） ．　　．　　．　　． ．某班同学毕业时互赠纪念卡，每名同学都向班上其他每名同学各赠送一张纪念卡，全班共送出纪念卡张．设全班有名同学，则可列方程为（　　） ．　　．　　．　　． ．某公司今年月至月的产品产量（件）如图所示．设月至月产量的月平均增长率为，根据图中信息，所列方程正确的是（　　） ．　　．　　．　　． ．用配方法解一元二次方程 ，四位同学进行了“解题接力”： 甲：移项，得 ； 乙：两边同时加上，得 ； 丙：直接开平方，得 ； 丁：解得 ． 接力中第一个出错的同学是（　　） ．甲　　．乙　　．丙　　．丁 ．已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） ．　　．　　．　　． ．已知是关于的方程 的解，则 的值为（　　） ．　　．　　．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．已知、是一元二次方程 的两个实数根，则． ．已知关于的一元二次方程 的两个实数根为、，且 ，则． ．一个两位数，十位数字比个位数字大，把个位数字与十位数字互换得到新数，若新数的平方比原两位数大，则原两位数为． ．某农户准备用长为的篱笆围一个一面靠墙的长方形菜园（墙长），菜园与墙垂直的一边留一个宽的门（门不使用篱笆，如图）．若菜园的面积为，则菜园的长为，宽为． ．已知关于的方程 ，当时，该方程是一元二次方程；当时，该方程是一元一次方程． ．如图，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点（）．若，则（结果保留根号）． 三、解答题（本大题共小题，共分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） ．（分）解下列方程： 　； 　； 　． ．（分）已知关于的一元二次方程 ． 求证：这个方程总有两个不相等的实数根； 若为整数，且这个方程的两个根都是整数，求的值． ．（分）某小区计划将一块长、宽的矩形空地改建为停车场：在空地中间修建两条互相垂直的道路（如图，道路的宽度均为），其余区域划为停车位． 若停车位的总面积为，求道路的宽度，并判断道路的宽度是否符合“不低于且不高于”的改造标准； 该停车场建成后共有个车位对外出租．当每个车位的月租金为元时，车位可全部租出；月租金每上涨元，将少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金总收入为元？ ．（分）阅读与思考：一元二次方程的根与系数的关系． 【阅读材料】法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若一元二次方程 （）的两个实数根为、，则．这个结论叫做韦达定理（根与系数的关系）．利用它，不解方程就能直接求出两根的和与积，进而可以求出许多对称式的值．例如：方程 的两个实数根为、，则 ，所以 ． 【问题解决】请根据阅读材料，解决下列问题： 已知一元二次方程 的两个实数根为、，求 的值； 已知、是一元二次方程 的两个实数根，求 的值； 若关于的一元二次方程 有两个实数根，求的取值范围． 初三数学第章一元二次方程练习（改编卷） （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． 【分析】一元二次方程需满足：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程． 【详解】中未知数的最高次数是；中含有分式，不是整式方程；中二次项系数没有限定；中方程 即 ，是一元二次方程．故选：． ． 【分析】配方时，在二次式上加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式． 【详解】．故选：． ． 【分析】能用直接开平方法求解，需要方程右边 ． 【详解】由题意，得 ，解得 ．故选：． ． 【分析】把代入方程求出的值，再用因式分解法解方程即可． 【详解】把代入方程，得 ，解得 ，此时方程为 ，即 ，解得 ，所以此方程的另一个根为．故选：． ． 【分析】由根与系数的关系得 ，把 展开后整体代入求值． 【详解】．故选：． ． 【分析】全班有名同学，每名同学要送出张纪念卡，相乘即得总张数． 【详解】由题意，得 ．故选：． ． 【分析】由图可知月产量为件，月产量为件，从月到月共经过次增长． 【详解】由题意，得 ．故选：． ． 【分析】逐步检查移项、配方、开平方的每一步，找出第一个错误． 【详解】乙的步骤正确，即 ，直接开平方应得 ，丙漏掉了“”，所以丙出错．故选：． ． 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，等价于 ． 【详解】由题意，得 ，解得 ．故选：． ． 【分析】把代入方程得到关于、的关系式，再整体代入所求代数式． 【详解】把代入方程，得 ，即 ，所以 ．故选：． 二、填空题（每小题分，共分） ．； 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】由根与系数的关系，得 ．故答案为：；． ． 【分析】先由根与系数的关系用含的式子表示 ，再解方程求，最后检验根的判别式． 【详解】由根与系数的关系，得 ，所以 ，由 ，解得 ．经检验，当时，，方程有两个实数根，符合题意．故答案为：． ． 【分析】设个位数字为，用含的代数式表示原两位数与新两位数，根据“新数的平方比原两位数大”列方程求解． 【详解】设原两位数的个位数字为，则十位数字为，原两位数为，互换后的新两位数为．根据题意，得 ，整理，得 ，解得 或 （不是数字，舍去），所以原两位数为 ．经检验，，符合题意．故答案为：． ．； 【分析】设菜园的长为、宽为，由“篱笆总长，门宽不使用篱笆”列一次式，再由面积列方程求解． 【详解】设菜园的长（平行于墙的边）为 ，宽为 ，则 ，即 ．由面积，得 ，所以 ，整理，得 ，解得 ．当时，，超过墙长，舍去；当时，，符合题意．所以菜园的长为，宽为．故答案为：；． ．；或 【分析】一元二次方程需二次项系数不为，且未知数的最高次数是；一元一次方程需二次项系数为，且次数为． 【详解】若该方程是一元二次方程，则 且 ，解得 ；若该方程是一元一次方程，则 ，解得 ；或 ，此时方程为 ，是一元一次方程，即 ．故答案为：；或． ． 【分析】设为，由黄金分割的定义（较长部分的平方较短部分整体）列方程求出，再利用黄金比依次求出、． 【详解】解：设点是线段的黄金分割点（）， ，即 ，整理，得 ，解得 （负值已舍去）， ， ．故答案为：． 三、解答题（共分） ．解： ； ； 【分析】用因式分解法求解；用配方法求解． 【详解】解：因式分解，得 ，所以 ； 解：移项，得 ，配方，得 ，即 ，直接开平方，得 ，所以 ； 解：因式分解，得 ，所以 ． 【评分标准】正确因式分解得分，求得两根各得分（共分）；配方正确得分，直接开平方正确得分，求得两根得分（共分）；正确因式分解（或正确求出 ）得分，求得两根各得分（共分）．其他解法参照本标准酌情给分． ．见详解；或 【分析】计算根的判别式 ，判断其符号即可；把方程左边因式分解，求出两根，再利用整数的整除性确定的值． 【详解】证明：， ， 无论取何值，这个方程总有两个不相等的实数根； 解：， ，或 ． 为整数，且这个方程的两个根都是整数，为整数． ，且为奇数，只能取，即 或 ． 检验：当时，方程为 ，两根为，都是整数；当时，方程为 ，两根为，都是整数． 的值为或． 【评分标准】正确写出的值并代入得分，化简为得分，得出结论得分（共分）；正确因式分解得分，求出两根得分，分析整除条件得分，求出或并检验得分（共分）．其他解法参照本标准酌情给分． ．道路的宽度为，符合改造标准；月租金上涨元 【分析】用含的代数式表示两条道路的面积（重叠部分多算一次，需减去），由“总面积道路面积停车位面积”列方程求解；设月租金上涨元，表示出每个车位的月租金与可租出的车位数，由总收入为元列方程求解． 【详解】解：两条道路的面积为 ， 根据题意，得 ，整理，得 ， 因式分解，得 ，解得 ． 道路的宽度不能超过停车场的宽度舍去，． 道路的宽度符合改造标准； 解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出的车位为个． 根据题意，得 ， 去分母（两边同乘），得 ， 展开整理，得 ，配方，得 ，解得 ． 答：道路的宽度为，符合改造标准；当每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金总收入为元． 【评分标准】用含的代数式表示道路面积（注意减去重叠部分）得分，列出方程得分，解得并正确舍去得分，判断符合改造标准得分（共分）；设未知数得分，表示月租金与可出租车位数得分，列出方程得分，解得得分，作答得分（共分）．其他解法参照本标准酌情给分． ．；； 【分析】由韦达定理得 、，利用完全平方公式变形求值；把 展开，再由韦达定理整体代入；由方程有两个实数根，得根的判别式不小于，解不等式即可． 【详解】解：由韦达定理，得 ， ； 解：由韦达定理，得 ， ； 解：方程 有两个实数根， ，解得 ． 【评分标准】写出两根之和与两根之积各得分，利用完全平方公式计算正确得分（共分）；正确展开 得分，代入 得分，计算正确得分（共分）；列出 得分，化简得 得分，解得 得分（共分）．其他解法参照本标准酌情给分． 学科网（北京）股份有限公司 $