安徽潜山市源潭中学2027届高三上学期9月教学质量调研数学试题

**基本信息** 2027届高三数学调研卷以现实情境与学科综合为特色，覆盖函数、几何、统计等核心模块，通过网络流行语、企业质检等素材考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|统计（极差）、集合、三角函数周期等|第5题结合网络流行语考查排列组合，体现时代性| |多选题|3/18|向量、椭圆焦点三角形、函数性质|第10题椭圆切线与焦点三角形综合，考查几何直观| |填空题|3/15|复数、导数图像、解三角形|第13题函数与导函数图像分析，注重抽象能力| |解答题|5/77|概率统计、抛物线、立体几何等|第15题企业质检抽样考查分布列与期望，第19题函数切线与等差数列综合，突出数学应用与逻辑推理|

2027届高三教学质量调研 数学试题参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。 1．【答案】 【详解】解：已知一组样本数据7，9，5，8，4，的极差为5， 当时，数据中最大的数是9，最小的数是，极差为，不符合题意； 当时，数据中最大的数是9，最小的数是4，极差为，符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是4，极差为，不符合题意； 综上所述，的取值范围是，． 2．【答案】【详解】解：因为，3，4，，，所以，． 3．【答案】【详解】解： ，因为的最小正周期为， 由题意知，，因为，所以． 4．【答案】【详解】解：实数，满足方程，可得， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆的圆心为，圆的半径为1的圆的右半部分曲线，如图： 设，可得，方程是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小． 由圆心到直线的距离是，，解得，即， 于是，即． 5．【答案】【详解】解：①求8个字母的全排列情况因为8个位置排8个元素全排列是，但这里有4组重复的字母，每组2个相同字母， 所以8个字母全排列的情况数为种， ②求3对相同字母相邻的情况，先将每对字母视为一个整体，共4个整体，恰好3对相邻的情况：从4对中选3对视为整体，有种选法， 3个整体的排列数为种，剩余两个字母需插入3个整体形成的4个间隙中且不相邻，插入方式为种，总数为种， ③求4对相同字母相邻的情况把4组相邻字母看作4个大元素（每组内部两个字母相邻）全排列， 有种排法， ④求至多有2对相同字母相邻的排法数用全排列的情况数减去3对相同字母相邻和4对相同字母相邻的情况数，即种． 综上所述：不同的排法有2352种． 6．【答案】【详解】解：因为， 所以． 7．【答案】【详解】解：由题意知，且， 则，所以为奇函数，关于原点对称，可排除选项， 又因当时，则，故可排除选项， 当时，则，可排除选项． 8．【答案】【详解】解：正三棱台中，，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥为正四面体， 设在底面内的投影为，连接，交平面于点，连接，，则球心在上，连接，， 则，，，， 设球的半径为，则，解得，， 所以球的表面积为． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】【详解】解：向量， 则，解得，故正确． 因为，向量， 所以，解得，故错误． 与同向的单位向量是，故正确． 若，则，所以向量在向量上的投影向量是，故正确． 10．【答案】【详解】解：因为椭圆，所以，， 则△的周长为，故选项正确； 由椭圆的光学性质，与直线所成角的大小也是，所以， 则△的面积，故选项错误；设，，， 所以，因为△的面积，解得，所以， 则，设， 当时，， 所以，当且仅当时，取得最大角，最大角为，故选项错误； 由选项知和点到直线的距离公式得，故选项正确． 11．【答案】【详解】解：由题意可知函数图象关于对称，即函数为奇函数，故正确；又，则函数图象关于直线对称， 所以函数为周期函数，且周期为， 又，，时，都有， 所以函数在，上递增，则函数在，上也递增， 根据函数的周期为4可知函数在，上递增，则正确； 又，图象关于对称，则（2）， 则（2）（4）（6），共11个零点，故错误； 而（1）（2）（3）（4）（1）（3）（1）， 所以（1）（2）（1）（2）（3）（4），故正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】【详解】解：因为，所以． 13．【答案】【详解】解：由函数，得， 结合函数的图象知，，，所以， 所以，由的图象过点，，得， 所以，；解得，； 又因为，所以，所以，， 所以，其中； 所以的最小值为． 14．【答案】，【详解】解：由题知：，两边平方得， 又由余弦定理知，两式相除得， 令，上式化简为， 令，上式化为， 由，可得，那么，即．故，． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】解：（1）因为在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品， 所以的所有可能取值为0，1，2． 此时，， 4分 则的分布列为： 0 1 2 故 6分 （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 所以个零件中恰有2件次品的概率为 8分 10分 令，解得；令，解得， 则当时，，当时，， 所以在时取得最大值．故取得最大值时的值为66 13分 16．【详解】解：（1）若，直线斜率为时，直线为，交抛物线于，，，， 联立得，那么 4分 则 6分 （2）当的斜率存在时，设，，，交抛物线于，，，， 易得，根据抛物线的定义得， 易得，因此，因为，因此，， 且，即，且满足，， 联立得 10分 设，，， 联立得， 根据题意得△，整理得， ， 联立得，即点处切线的斜率，即， 代入，那么，即 12分 易得，那么点到的距离， 那么， 即，联立，解得，， 因此直线为或 14分 当直线斜率不存在时，点与点重合，不符合题意，故舍， 综上，直线为或 15分 17．【详解】解：（1）证明：连接与交于点，连接，如图所示： 因为，所以，又， 所以△△，又， 所以 3分 所以，又，故， 所以，又平面，平面， 所以平面 7分 （2）因为底面，， 所以，，两两互相垂直， 故以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 则，0，，0，，，1，，，2，，，0，， 又，所以， 即，故 10分 由已知得，， 设平面的一个法向量， 则，则，令，则，，故 13分 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为 15分 18．【详解】解：（1）证明：因为，所以 1分 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 4分 当为奇数且时， ，也符合上式 5分 当为偶数时， 6分 故 8分 （2）由（1）得， 所以①， 10分 则② 12分 ①②得 15分 故 17分 19．【详解】解：（1）因为，所以， 在点处的切线为 1分 又与轴的交点为，，所以， 因为是公差为的等差数列，所以 3分 所以，故，即， 故 4分 （2），，令，得， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以 6分 因为，所以，① 设，则，令时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则，所以，所以，② 由①②知，所以，故 9分 （ⅱ）证明：由知，因为 10分 所以，即，当且仅当时等号成立 11分 当时， 13分 对，，有 15分 所以 17分 数学试题参考答案 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名 座位号 （在此卷上答题无效） 绝密·启用前 2026.9 2027届高三教学质量调研 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。 1．已知一组样本数据7，9，5，8，4，的极差为5，则的取值范围是（　　） A．， B．， C． D．， 2．已知集合，，则（　　） A．，3， B． C． D．， 3．已知函数的最小正周期为，则（　　） A． B． C．2 D．1 4．已知实数，满足方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．， 5．“不”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式．现将一对，一对，一对，一对重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如，等），则不同的排法有（　　） A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种 6．已知，则（　　） A． B． C． D． 7．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．已知正三棱台所有顶点都在球上，其中，，侧棱延长相交于顶点，且三棱锥恰为正四面体，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量，则（　　） A．若与垂直，则 B．若，则 C．与同向的单位向量为 D．若，则向量在向量上的投影向量为 10．已知△是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（　　） A．△的周长为 B．△的面积为 C．若是上的动点，则 D．若是上的动点，则 11．已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，，，时，都有，则下列结论正确的有（　　） A．为奇函数 B．在，上单调递增 C．在，上有10个零点 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数为虚数单位），则 　　 ． 13．已知函数，，，若函数与其导函数的图象如图所示，则的最小值为　　 ． 14．若△中，，，点满足且，则的取值范围为　　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测． （1）在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望； （2）在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品．用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值． 16．（15分）已知抛物线，焦点为．过点，的直线交抛物线于两点，，过抛物线上一点作切线，且． （1）当，直线斜率为时，求弦的长； （2）当，且△为原点）的面积等于2时，求此时直线的方程． 17．（15分）如图所示，已知四棱锥的底面是梯形，侧棱底面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知数列满足，记． （1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19．（17分）已知函数且，设，是函数图象上一点，在点处的切线为，且与轴的交点为，，若是公差为的等差数列． （1）求的解析式； （2）若， 若对任意，，求的值； 求证：且，有． 数学试题 第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $