第十七章 因式分解 单元过关检测卷-【全能练考卷】2026-2027学年八年级上册数学周末小卷（人教版·新教材）

(x2+6x+2)(x2+6x+16)+49 =(y+2)(y+16)+49 =y2+18y+32+49 =y2+18y+81 =(y+9)2 =(x2+6x+9)2 =[(x+3)2]2 =(x+3)4 ②.m+n=5,mn=1, ∴.(mn)2=1,m2+n2=(m+n)2-2mn=25- 2=23, 则(m2+1)(n2+1)》 =(mn)2+m2+n2+1 =1+23+1 =25, 20.解：(1)ac-bc+a-b =(ac+a)-(bc+b) =a(c+1)-b(c+1) =(a-b)(c+1). (2)a2-2ab+b2-1 =(a2-2ab+b2)-1 =(a-b)2-12 =(a-b+1)(a-b-1) (3)△ABC是等腰三角形.理由如下： a2+bc-ab=ac, ∴.a2+bc-ab-ac=0, ∴.a2-ab-(ac-bc)=0, .a(a-b)-c(a-b)=0, ∴.(a-b)(a-c)=0, 则a-b=0或a-c=0, ∴a=b或a=c, .△ABC是等腰三角形 第十七章单元过关检测卷 1.B【解析】A.(x+3)(x-3)=x2-9,属于 整式的乘法计算，不符合题意；B.x2-2x+ 1=(x-1)2,属于因式分解，符合题意； C.x2-9+x=(x+3)(x-3)+x,右边不完全 是积的形式，不符合题意；D.x(x-1)= x2-x,属于整式的乘法计算，不符合 题意 2.D【解析】.多项式4x3yz2-8x2yz4+ 12xy2z3的系数的最大公约数是4，相同 字母的最低指数次幂是xyz2,.多项式 4x3yz2-8x2yz4+12x4y2z3的公因式是 4x2yz2. 3.D【解析】A.原式=5a2(2a+1),故不符 合题意；B.原式=(2x+3)(2x-3),故不 符合题意；C.a2-2a-1不能利用完全平 方公式分解因式，故不符合题意；D.原 式=(x-6)(x+1),故符合题意. 4.B【解析】a4-①=(a2-b)(a2+b)=a4- b2,①=b2 5.C【解析】9(x-y)2+12(x2-y2)+4(x+y)2 =[3(x-y)]2+12(x+y)(x-y)+[2(x+y)]2 =[3(x-y)+2(x+y)]2 =(5x-y)2. 6.B【解析】由题意可知，原式=n(n-1)· (n+1), ∴.n3-n可写成三个连续自然数的积，其 中有因数必为偶数，也有因数必为3的 倍数， ∴.n3-n是一个偶数，而且是3的倍数 又210=5×6×7=63-6，故只有选项B符 合条件. 7.B【解析】M=5a2-2b2+4a-4, N=6a2-b2+2b+1, .N-M=6a2-b2+2b+1-(5a2-2b2+4a-4) =6a2-b2+2b+1-5a2+2b2-4a+4 =a2-4a+4+b2+2b+1 =(a-2)2+(b+1)2. .(a-2)2≥0，(b+1)2≥0， ∴.(a-2)2+(b+1)2≥0，.M≤N. 8.D【解析】(k+5)2-(k-2)2=k2+10k+25- (2-4k+4)=k2+10k+25-k2+4k-4=14k+ 21=7(2k+3).由条件可知2k+3是整数， .(k+5)2-(k-2)2的值总能被7整除. 9.D【解析】小.2x2-y-5x+y+4=0, ∴.x2+x2-xy-4x-x+y+4=0, .x2-4x+4+x(x-y）-(x-y）=0, ∴.(x-2)2+(x-y)(x-1)=0. .(x-2)2≥0，x≥y≥1，.(x-y)(x-1)≥0， ∴.(x-2)2=0,(x-y)(x-1)=0, ∴.x=y=2,.x+y=4. 10.C【解析】根据a<b<c<d<e,且a,b,c, d,e为整数，可得M的项数至少是4 项，不可能小于或等于3，故说法①正 确.若e=0,则a<b<c<d<0,假设M可以 分解为一个整式的平方，设M= (px2+qx+r)2,M=(px2+qx+r)2= (px2+qx+r）(px2+qrtr）=p2x4+pgx3+pnx2+ pqx+qx+qrx+prx+qrx+r2=px+2pqx+ (2pr+q2)x2+2qrx+r2,.a=p2,b=2pq, c=2pr+q2,d=2qr,e=r2.'e=0,∴.r=0, d=0,这与d<e矛盾，∴.假设不成立， ∴.若e=0,则M不可能分解为一个整式 的平方，故说法②正确.若a+b+c+d+e= 18,且a,b,c,d,e均为正整数，则有 a=1,b=2,c=3,d=4,e=8,或a=1,b= 2,c=3,d=5,e=7,或a=1,b=2,c=4, d=5,e=6,共三种情况，故说法③错误. 11.3x(3x-y)【解析】9x2-3xy=3x(3x- y): 12.-20【解析】.'a+b=3,ab=-5,∴.a2b+ ab2+ab=ab(a+b+1)=-5×(3+1)=-20. 13.a+b【解析】.(a-b)x=a2-b2,∴.(a b)x=(a+b)(-b)..a≠b,∴.a-b≠0， .∴.x=a+b. 14.1【解析】.a2+b2-4a-2b+5=0, .(a-2)2+(b-1)2=0,∴.a-2=0,b-1= 57 0,∴.a=2,b=1.①当三边长分别为2， 2,1时，能构成三角形，∴.底边长为1； ②当三边长分别为2,1,1时，不能构成 三角形.综上可知，等腰三角形的底边 长为1. 15.35【解析】，m-n>1,m,n均为正整 数，∴.m-n=2,m-n=3,m-n=4,m-n= 5,…,∴.m=n+2,m=n+3,m=n+4,m= n+5,…..m2-n2=(mtn)(m-n),∴.当 m=n+2时，m2-n2=(n+2)2-n2=(n+2+ n)(n+2-n)=2(2n+2),得到的“智慧 优数”分别为8,12,16,20,24,28,32， 36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76, 80,…;当m=n+3时，m2-n2=(n+3)2 n2=(n+3+n)(n+3-n)=3(2n+3),得到 的“智慧优数”分别为15,21,27,33， 39,45,51,57,63,69,75,81,…；当m= n+4时，m2-n2=(n+4)2-n2=(n+4+n)· （n+4-n)=4(2n+4),得到的“智慧优 数”分别为24,32,40,48,56,64,72， 80,;当m=n+5时，m2-n2=(n+5)2- n2=(n+5+n)(n+5-n)=5(2n+5),得到 的“智慧优数”分别为35,45,55,65， 75,85,…;当m=n+6时，m2-n2= (n+6)2-n2=(n+6+n)(n+6-n)= 6(2n+6),得到的“智慧优数”分别为 48,60,72,84,…;当m=n+7时，m2- n2=(n+7)2-n2=(n+7+n)(n+7-n)= 7(2n+7),得到的“智慧优数”分别为 63,77,91,…;当m=n+8时，m2-n2= (n+8)2-n2=(n+8+n)(n+8-n)=8(2n+ 8),得到的“智慧优数”分别为80,96，… .把这些“智慧优数”按从小到大的顺 序排列为8,12,15,16,20,21,24,27， 28,32,33,35,36,39,40,44,45,48,51, 52,…,∴.第12个智慧优数是35. 16.解：(1)ma2-mb2 =m(a2-b2) =m(a+b)(a-b). (2)3x2y-18xy2+27y3 =3y(x2-6xy+9y2) =3y(x-3y)2. 、方法点拨 分解因式时，若多项式有公因式，要先 提取公因式，再考虑利用平方差公式或 完全平方公式分解因式. 17.解：原式=2n(n+1)-2n(n-2) =2n(n+1-n+2) =2n·3 =6n. .6n一定是3的倍数， .2n(n+1)-n(2n-4)一定能被3整除 18.解：(1)m2-mn+mx-nx=(m2-mn)+(mx nx)=m(m-n)+x(m-n)=(m-n)(m+ x). (2)x2-2xy+y2-9=(x2-2y+y2)-9=(x y)2-32=(x-y+3)(x-y-3). 19.(1)21;69. 提示：.m-n=3,m2-n2=(m+n)(m-n), .第1个“三方数”是42-12=3×(1+4)= 3×5=15;第2个“三方数”是52-22=3× (2+5)=3×7=21;第3个“三方数”是 62-32=3×(3+6)=3×9=27;…第10 个“三方数”是132-102=3×(10+13)= 69 (2)解：2025是“三方数”.理由如下： 由(1)可知第k(k是正整数)个“三方 数”是(k+3)2-k2=3(k+k+3)=3(2k+ 3), 当3(2k+3)=2025时，解得k=336, 故2025是“三方数”. 5 20.解：(1)（x-2)(x+a)=x2+(a-2)x- 2a=x2-5x+6, .a-2=-5, ∴.a=-3. (2).'(2x-1)(x+c)=2x2+(2c-1)x-c= 2x2+bx-5, (2c-1=b, （-c=-5, b=9, 解得 (c=5. 21.獬：(1).a2+b2-8a-12b+52=0, ∴.a2-8a+16+b2-12b+36=0, .(a-4)2+(b-6)2=0. .(a-4)2≥0，(b-6)2≥0， .a-4=0,b-6=0,∴.a=4,b=6. ,△ABC的三边长分别为a,b,c, .∴.6-4<c<6+4,即2<c<10. .△ABC的最长边的长为c, .c≥6，.6≤c<10. ,c是正整数，.△ABC的最长边的长c 的值为6,7,8或9. (2),a2+2b2-2ab+4b+4=0, ∴.a2-2ab+b2+b2+46+4=0, ∴.(a-b)2+(b+2)2=0. .(a-b)2≥0，(b+2)2≥0， ∴.a-b=0,b+2=0, .a=b=-2, ∴.ab=4. 22.解：(1)x2-4x-5 =(x2-4x+4)-9 =(x-2)2-32 =(x-2+3)(x-2-3) =(x+1)(x-5). (2)x2+y2-4x+2y+6 =x2-4x+4+y2+2y+1+1 =(x-2)2+(y+1)2+1. 8 .(x-2)2≥0，(y+1)2≥0， .(x-2)2+(y+1)2+1≥1， 即无论x,y取任何实数时，多项式x2+ y2-4x+2y+6的值总为正数 (3)a2-2ab+2b2-2a-4b+20 =a2-2ab+b2+b2-2a-46+20 =(a-b)2+b2-2a-4b+20 =(a-b)2-2a+2b+b2-6b+20 =(a-b)2-2(a-b)+1+b2-6b+9+10 =(a-b-1)2+(b-3)2+10. .(a-b-1)2≥0，(b-3)2≥0， .(a-b-1)2+(b-3)2+10≥10， .当a-b-1=0,b-3=0时，多项式有最 小值，最小值为10，此时a=4,b=3. 综上所述，当a=4,b=3时，多项式a2 2ab+2b2-2a-4b+20有最小值，最小值 为10. 23.(1)(a+b)2=a2+2ab+b2 提示：大正方形的面积有两种表示方法， 可以是(a+b)2,也可以是a2+2ab+b2 由面积相等，得(a+b)2=a2+2ab+b2, (2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+ 2ac. 提示：边长为a+b+c的正方形的面积为 (a+b+c)2,也为a2+b2+c2+2ab+2bc+ 2ac. 两部分面积相等， .(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. (3)解：由(2)知(a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2ab+2bc+2ac. a+b+c=8,ab+bc+ac=25, .a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ac =(a+b+c)2-2(ab+bc+ac) =82-2×25 =14. 5 (4)解：由题意可得，所拼成的长方形或 正方形的面积为2a2+mab+3b2,从因式 分解的角度看，可分解为(2a+b)(a+ 3b)或(2a+3b)(a+b). ·(2a+b)(a+3b)=2a2+7ab+3b2, (2a+3b)(a+b)=2a2+5ab+3b2, .m的值为7或5. 第十八章分式 第14周分式的性质和乘除法 1.C【解析】根据分式的定义，如果A,B 表示两个整式，并且B中含有字母，那么 式子4叫作分式，故①③是分式，②④不 B 是分式 易错警示 判断一个式子是不是分式，不能把原式 化简后再判断，要看原式的本来“面目” 是否满足分式定义的三个条件 2.D【解析】实数a满足lal=-L, a a≠0.当a>0时，1al-a=1,不符合 aa 题意；当a<0时，1a-a:-1,符合题 a a 意.故实数a在数轴上对应的点在原点 左侧. b 2 a= 3.B【解析】当a=3,6=2时，。=3,6 3-b24(a-1)2221a+1 2,而。29，a2-19-12'6+1 ,故选项A,C,D错误；分式的分子、分 4 母同时除以c(c≠0)，分式的值不变，故 选项B正确周未小卷心周小卷、单元卷、期中卷、期末卷 第十七章 单元过关检测卷 ©时间：90分钟四满分：120分国得分： 答案：P56 一、选择题（本题共计10小题，每小题3分，共30分） 1.下列从左到右的变形，属于因式分解的是 A.（x+3)(x-3)=x2-9 毁 B.x2-2x+1=(x-1)2 C.x2-9+x=(x+3)(x-3)+x 附 D.x(x-1)=x2-x 2.多项式4x3yz2-8x2yz+12x4y2x3的公因式是 A.4xys B.-8x2yz C.12xy2 D.4x2yz2 3.下列因式分解结果正确的是 龄 A.10a3+5a2=5a(2a2+a) B.4x2-9=(4x+3)(4x-3) C.a2-2a-1=(a-1)2 D.x2-5x-6=(x-6)(x+1) 4.某同学粗心大意，分解因式时，把式子a4-①=(a2-b)(a2+b) 中的一部分弄污了，那么你认为式子中的④所对应的代数式 是 () A.b B.62 C.2b D.b4 舜 5.将9(x-y)2+12(x2-y2)+4(x+y)2分解因式的结果为（) A.(3x-2y）(3x+2y) B.(5x+y)2 C.(5x-y)2 D.(5x-2y)2 总 6.设n为某一自然数，计算代数式n3-n的值时，四名学生算 出了下列四个结果，其中可能正确的结果是 () A.121 B.210 C.335 D.505 7.已知M=5a2-2b2+4a-4,N=6a2-b2+2b+1,则M和N的大小 北 关系是 () A.M≥N B.M≤W C.M<N D.M>N 8.若k为任意整数，则(k+5)2-(k-2)2的值总能（ A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 9.已知2x2-xy-5x+y+4=0,且x≥y≥1，则x+y的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知关于x的整式M=ax4+bx3+cx2+dx+e,其中a,b,c,d,e为 整数，且a<b<c<d<e,下列说法：①M的项数不可能小于或等 于3；②若e=0,则M不可能分解为一个整式的平方；③若a+ b+c+d+e=18,且a,b,c,d,e均为正整数，则满足条件的M共 有4个.其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本题共计5小题，每小题3分，共15分） 11.分解因式：9x2-3xy= 12.已知a+b=3,ab=-5,则多项式ab+ab2+ab的值为 13.如果a≠b,那么关于x的方程(a-b)x=a2-b2的解为x= 14.已知a2+b2-4a-2b+5=0,则以a,b为边的等腰三角形的底边 长为 15.[中考新角度·新定义]如果一个正整数能表示为两个正 整数m,n的平方差，且m-n>1,那么称这个正整数为“智慧 优数”.例如，16=52-32,16就是一个“智慧优数”，可以利用 m2-n2=(m+n)(m-n)进行研究.若将“智慧优数”按从小到 大的顺序排列，则第12个“智慧优数”是 三、解答题（本题共计8小题，共75分）》 16.（10分)分解因式： (1)ma2-mb2; (2)3x2y-18xy2+27y3, 17.（9分)若n为正整数，试说明2n(n+1)-n(2n-4)一定能被3 整除。 18.（9分)观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式 分解： 甲：x2-xy+4x-4y =(x2-xy）+(4x-4y）(分成两组) =x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式) =(x-y)(x+4). 乙：a2-b2-c2+2bc =a2-(b2+c2-2bc)(分成两组) =a2-(b-c)2(直接运用完全平方公式) =(a+b-c)(a-b+c).(再用平方差公式) 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m2-mn+mx-nx; (2)x2-2xy+y2-9. 19.(9分)[中考新角度·新定义]定义：如果一个正整数能 表示为两个正整数m,n的平方差，且m-n=3,那么称这个正 整数为“三方数”.例如，15=42-12,15就是一个“三方数”. (1)若将“三方数”从小到大排列，则第2个“三方数”是 ;第10个“三方数”是 (2)2025是“三方数”吗？并说明理由. 八年级·数学(RJ)·上册39 20.（9分)完成下面各题： （1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),求a 的值； (2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+c),求b,c 的值 21.(9分)探究下面的问题： (1)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2- 8a-12b+52=0.求△ABC的最长边的长c的值. (2)已知a2+2b2-2ab+4b+4=0,求ab的值. 40八年级·数学(RJ)·上册 22.（10分)[中考新角度·阅读理解]我们把多项式a2+2ab+ b2及a2-2ab+b2叫作完全平方式.如果一个多项式不是完全 平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中 出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种 方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方 法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能 解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小 值等 例如，分解因式：x2-2x-3. 原式=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-22=(x-1+2)(x-1-2)=(x+ 1)(x-3). 又例如，求2x2+4x-6的最小值 原式=2(x2+2x-3)=2(x2+2x+1-4)=2(x+1)2-8, 可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8. 阅读材料，用配方法解决下列问题 (1)用配方法分解因式：x2-4x-5; (2)试说明：无论x,y取任何实数时，多项式x2+y2-4x+2y+6 的值总为正数； (3)当a,b为何值时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+20有最小 值，并求出这个最小值 23.(10分)[中考新角度·综合与实践] 【问题情境】 (1)对于图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到 一个数学等式： 【探究实践】 (2)类比图1，写出图2中所表示的数学等式： (3)利用(2)中得到的结论，解决问题：若a+b+c=8,ab+bc+ ac=25,求a2+b2+c2的值； 【拓展应用】 (4)用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方 形，m张边长分别为a,b的长方形纸片，拼出一个长方形 或正方形，求m的值 a b a□a个 图1 图2 图3