2026-2027学年湖南省长沙市实验中学高一上学期数学第二周周考数学试卷（9-11）

**基本信息** 本试卷聚焦集合核心知识，通过基础辨析、文化情境（如《孙子算经》问题）及新定义探究（如性质P），系统考查数学抽象与逻辑推理，适配高中数学周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|元素与集合关系、集合包含关系、Venn图|结合《孙子算经》情境，考查数学文化应用| |多选题|3/18|集合相等与包含的参数讨论、幂集概念|选项设计分层，区分逻辑推理能力| |填空题|3/15|集合运算、子集元素和、非空真子集|第14题考查子集和的计数，体现数学抽象| |解答题|5/77|集合关系、充分必要条件、命题真假、新定义性质P|19题以新定义“性质P”考查创新思维，呼应高考命题趋势|

第一章 （单元测试） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设集合，则下列选项中正确的是（ ） A．⫋ B．⫌ C． D． 3．设集合，，若，则（ ） A．1 B．0 C．-1 D．1或-1 4．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．设集合，，能正确表示图中阴影部分的集合是（ ） A． B． C． D． 6．已知集合. 若，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（ ） A．23 B．38 C．128 D．233 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知集合，，则下列说法错误的是（ ） A．不存在实数使得 B．存在实数使得 C．当时， D．当时， 10．设集合，，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．存在集合A，使得 C．若，则 D．若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知集合，，则＝_____． 13．已知集合，若，则的最小值为__________． 14．已知集合是集合的非空真子集，把集合中的各元素之和记为，则满足的集合的个数为______；的所有不同取值的个数为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。） 15．（13分）已知集合，集合． (1) 若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 16．（15分）已知集合或，. (1)若“”是“”成立的必要条件，求的取值范围； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围； (3)若“”是“”成立的充分条件，求的取值范围； (4)若“”是“”成立的充分不必要条件，求的取值范围. 17．（15分）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围; (2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围. 18．（17分）已知集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (3)若，使，求实数a的取值范围. 参考公式：若关于x的方程有两根与，则关于x的不等式的解集为，的解集为. 19．（17分）由有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，则称集合满足性质. (1)已知，，判断集合，是否满足性质，并说明理由； (2)设集合，且（），若集合满足性质，求的最大值. 参考答案 1．B 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B 2．B 【分析】求出，即可得出两集合之间的关系. 【详解】由题意， 在中，，， ∴，∴⫌， 故选：B. 3．A 【分析】分情况讨论中元素与中元素对应关系求解即可. 【详解】由题意，当时，，此时不满足集合中元素互异性； 当时，且，则，此时满足条件. 故. 故选：A 4．A 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 5．B 【分析】先求得集合，结合题意及集合的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合， 根据图中阴影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即为. 故选：B. 6．C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】因为，则， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C. 7．A 【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解. 【详解】因集合， 若，有，解得，此时，于是得， 若，因或，则由得：，解得：， 综上得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A 8．B 【详解】解法1 因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2 因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. 9．BD 【分析】由集合间的相等、包含关系求参数a的范围，即可判断各选项中a的存在性. 【详解】A：当时，无解，正确； B：当时，无解，错误； 当时，若，则，即； 若，则，无解， 综上，时有. 所以C正确，D错误. 故选：BD 10．AC 【分析】根据集合的表示方法，根式的意义，二次函数的值域结合集合间的基本关系逐一判定选项即可. 【详解】函数有意义，，则有， 由，得，所以，即A正确； 而集合A，B为数集，C为点的集合，故B、D错误； 解方程组得，则，有，故C正确. 故选：AC 11．ACD 【分析】选项A，列出集合的子集，然后得到集合，然后利用元素与集合关系判断即可； 选项B，利用集合元素的个数和子集个数的关系得到的元素个数判断即可； 选项C，利用集合的运算得出集合与集合无相同元素，然后再判断的交集即可； 选项D，利用集合元素个数和集合子集个数的关系判断即可. 【详解】若， 所以 故，选项A正确； 若一个集合有个元素，则其子集个数为个，即，显然当时，无解，故选项B错误； 若已知，则集合与集合无相同元素，故集合与集合只有唯一相同子集，所以，故选项C正确； 若，假设集合有个元素，则集合有个元素，所以集合与集合的子集个数分别为个， 即 故，所以选项D正确. 故选：ACD 12． 【分析】根据条件先求出，然后再求出即可． 【详解】∵，， ∴，∴ 13． 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得. 【详解】由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为. 故答案为：. 14． 6 54 【分析】根据非空真子集的定义结合题意求解即可. 【详解】由题意，满足的集合有：，，，，，，共6个. 对于来说，由于它是集合中的各元素之和，同时又是集合的非空真子集， 因为， 由题意，易知将取尽1到54的所有整数， 所以的所有不同取值的个数为54. 故答案为：6；54. 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据集合的包含关系，列不等式，解不等式即可. （2）根据交集的结果分情况列不等式，解不等式. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）当时，，解得，满足，则； 当时，由，得或，解得， 所以实数的取值范围是. 16．(1) (2) (3). (4). 【分析】（1）根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，解不等式即可； （2）根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，解不等式即可； （3）先计算集合，再根据已知条件得到是的子集，由此得到不等式，即可求解； （4）先计算集合，再根据已知条件得到是的真子集，由此得到不等式，即可求解. 【详解】（1）若“”是“”成立的必要条件，则是的子集，故，解得. 所以的取值范围是. （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故， 解得.所以的取值范围是. （3）若“”是“”成立的充分条件，则是的子集， 易知，所以.所以的取值范围是. （4）若“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以.所以的取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可. （2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可. 【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根， 当时，有实数根， 当时，则，解得且， 综上，实数的取值范围为 （2）命题为真命题，则，不等式恒成立， 当时，， 则，解得 当真假时，有，则或； 当假真时，有，则解集为： 综上，或， 故实数m的取值范围为 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得集合A，利用条件及二次函数的性质得集合B，由交集的概念计算即可； （2）利用反比例函数的性质求得C，再根据必要条件得出，利用集合的基本关系及二次函数动轴定区间分类讨论计算即可； （3）将问题转化为，结合（2）的结论分类讨论计算即可. 【详解】（1）由可得，即， 而时，， 由二次函数的性质知，即，所以； （2）根据反比例函数的性质知时，，则， 由（1）知：，由“”是“”的必要条件可得， ①若，即时，结合二次函数的性质， 当时，， 当时，， 即， 易知，所以， 若，显然满足， 若，， 要满足题意则需，或， 所以； ②若，即时，同上知， 且，所以，则， 此时， 要满足题意需，或， 所以； ③若，即时，结合二次函数性质， 当时，， 当时，， 即， 且，所以，与前提矛盾，舍去； ④若，即时，结合二次函数性质， 当时，， 当时，， 即， 且，所以， 即， 显然，有，不符题意； 而时，， 要满足题意需，与前提矛盾舍去， 或，也与前提矛盾，舍去； 综上所述：； （3）由，使恒成立知恒成立， 由（2）知： ①时，，则； ②时，，则； ③时，，则，所以； 综上所述：. 19．(1)集合不满足性质，集合不满足性质，理由为： 因为，， 所以，，则集合A不满足性质， 所以，，则集合不满足性质. (2)6058 【分析】（1）由已知集合结合定义求得与，再由性质的概念判断； （2）要使取最大，则，，根据性质检验可得，可得的最大值. 【详解】（1）略 （2），且，， 要使取最大，则，， 当时，，则不满足性质， 要使取最大，则，， 当时，，则不满足性质， 当时，，则不满足性质， 当时，则，不满足性质， 当时，满足性质， 则使得取最大，可得， 若集合A满足性质，则的最大值为6058. 答案第10页（共11页） - 12 - 学科网（北京）股份有限公司 $