2.1.1 倾斜角与斜率课件--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“倾斜角与斜率”核心知识点，从复习正切函数入手，通过“点的坐标如何表示直线”的问题引入，结合一次函数图像回顾确定直线的要素，逐步引导学生探究倾斜角的定义与范围，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究过程，通过向量方法推导斜率公式培养逻辑推理能力，结合实例辨析倾斜角概念深化数学抽象素养。变式练习与分层检测巩固知识，帮助学生形成数学思维，教师可借助结构化流程提升教学效率。

讲课人： 日期： 2.1.1 倾斜角与斜率 学习目标 学习目标 核心素养 1.理解直线的倾斜角与直线斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 数学抽象 2.会用斜率表示直线方向向量，会用向量方法导出斜率定义的过程. 逻辑推理 复习回顾 正切函数的定义 O x y P(x,y) tana= 0 1 - -1 - 正切三角函数值 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，那么，直线如何表示呢？ 代数 坐标法 几何 探索新知 回顾：我们学过函数 y=kx+b ，它的图象是什么？ 思考：确定一条直线的几何要素是什么？ O y x l1 直线的确定 两点确定一条直线； 一个点和一个方向确定一条直线. B . A . 一条直线 探索新知 思考：①经过一点P有多少条直线？ O P x y l1 l2 l3 ②它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？ 直线方向不同 直线的倾斜程度不同 无数条 也就是直线与x轴所成的角不同 思考：怎样描述这种“倾斜程度”的不同? 倾斜角 探索新知 ②范围： 当直线l与x轴平行或重合时，规定其倾斜角α=0° ③方向相同的直线，倾斜角相同 倾斜角定义：当直线L与X轴相交时，以X轴作为基准，x轴正向与直线L向上的方向之间所成的角α叫做直线L的倾斜角。 0°≤α<180° 当直线与x轴垂直时， p o y x 探索新知 o x y o x y o x y o x y （1） （2） （3） （4） 1、下列图中标出的直线的倾斜角对不对？ 2.直线x=1的倾斜角α= . 90° √ × × × 探索新知 变式练习1、(多选)下列命题中，正确的是 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) √ √ 2、(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α-45° √ √ 探索新知 思考：还有没有表示直线倾斜程度的量呢？ 我们知道，两点确定一条直线，自然也确定了直线的倾斜角，那么倾斜角能用点的坐标来表示吗？ 探究：对于一个一般性命题，可以从特殊的情形来考虑，先尝试解决如下问题. 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α． (1)已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系? (2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系? 探索新知 探究：(1) 已知直线l经过O(0, 0), P( , 1), α与O, P的坐标有什么关系? O y x α 探索新知 (2) 如果直线l经过P1(-1, 1), P2( , 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系? x y O 探索新知 (3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系? O x y P1 P2 O x y P2 P1 P P 探索新知 (3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系? P O x y P2 P1 O x y P1 P2 P 探索新知 思考：当直线 P1P2 与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 成立. 易得 (x2x1，0). 平移向量 到 ，则点 P 的坐标为(x2x1，0)， 且直线 OP 的倾斜角为 α，由正切函数的定义，有 探索新知 直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系： . 斜率：一条直线的倾斜角的正切值， 斜率常用小写字母表示，即. 直线的斜率 探索新知 斜率与倾斜角对应关系 思考：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化，为什么？ 探索新知 思考： 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时, 其斜率k如何变化? 为什么? 当0°≤<90°时, k>0, 且k随的增大而增大. 当90°<<180°时, k<0, 且k随的增大而增大. O 当= 时，k不存在 斜率范围：（-∞，+∞） 所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率. 探索新知 追问 直线的斜率与P1和P2的顺序有关系吗？ 无关 但应用公式求斜率时要注意上下坐标的对应 探索新知 例1 如图，已知A(3，2)，B(-4，1)，C(0，-1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：直线AB的斜率kAB==； 直线BC的斜率kBC===-； 直线CA的斜率kCA===1. 由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角； 由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角. 探索新知 变式练习1、已知下列直线的倾斜角α，则直线的斜率为－的是(　　) A．α＝ B．α＝ C．α＝ D．α＝ C　 2、(多选)若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( ). A．30° B．60° C．120° D．150° BC 课堂小结 1.直线的倾斜角 2.直线斜率 3.斜率公式 课堂检测 A 课堂检测 2、如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（    ） A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k2<k3 √ 课堂检测 3、已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A．B． C． D． √ 课堂检测 4、(1)若直线l的倾斜角α满足45°<α<120°，求直线l的斜率k的取值范围． (2)若直线l的斜率k满足k≥，求直线l的倾斜角α的取值范围． (3)若直线l的斜率k满足k≤，求直线l的倾斜角α的取值范围． (4)若直线l的斜率k满足﹣1<k<1，求直线l的倾斜角α的取值范围． 知α求k或知k求α： 利用y=tan x的图象 O 课后作业 课本第55页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： $