广东六校2027届高三第一次联考九月考试数学试卷

2027届高三九月考试 数学科试题 (满分150分。考试时间120分钟。) 注意享项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场 号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填 涂的，答卷无效。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案， 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合A={xx2-3x≤0}，B={-1,0,5},则CA)nB=（) A.0 B.{-1,5} C.{-l,0,5} D.{0, 2.数据2,3,3,5,6,7,8,10的第70百分位数为() A.3 B.5 C.6 D.7 3.设f(x)=(a+b)cos2x+(a-b)sin2x,若{f(x)xeR}={2},则( A.a=1且b=1 B.a=2且b=0 C.a=0且b=2 D.a=1且b=-1 的展开式中常数项是(、 A.20 B.15 C.-15 D.-20 5.若i为虚数单位，则i+22+33++100的值为) A.-6+5i B6+5i C.-5+6i 0.6-5i 6设函数f巴)二2，则下列函数中为奇函数的是 A. B.f+3 c.D. 7.已知函数f(x)=asinx,a∈Z,若y=f(f(x)》的零点恰为y=f(x)的零点，则a的最大值 为() A.0 B.2 C.3 D.4 数学试题第1页/共4页 8.设椭圆C: 。+3=1Q>b>0,点A2,0)和B0,D)均为椭圆C的顶点，点M,N在猫 C上.若MN∥AB,则四边形ABMN面积的最大值为(） A.42 B.4 C.2W2 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知三棱锥P-ABC,所有面均为等腰三角形，底面△ABC的外接圆半径为1，AB=√5， 侧棱长均为3，则该三棱锥的体积可能为() 4.6 B.V6 C.√6 3v6 D. 6 2 10.已知f(x)=ax3+bx+c,g(x)=x(1-nx),h(x)=max{f(x),g(x)},其中 nax{m,}表示m,n中较大的数，当且仅当x∈{U[3,+oo)时，f(x)≥0，则( A.h(1)=1 B.28a+3b+c>0 C.若g(x)=g(x2),x<x2,则g' +2<0 3 D.h(x)在(0，+o)恰有3个零点 11.定义：-个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在△4BC中， BC=1,BC边上的高等于tanA,以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个 半圆围成的平面区域为W,其“直径”为d,则（) A.AB2+AC2=3 B.△MBC面积的最大值为5 C.当∠ABC-时，d=5+l D.d的取值范围是 5+1V6+1 2 2,2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.双曲线上-x2=1的实轴长为 2 13.已知RA4BC中，∠C=90°，D为∠BAC的平分线，且AD=B+2AC,则 tan∠B= 14.甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次随机交换1个球，经过5次交换后， 黑球仍然在甲手中的概率为 数学试题第2页/共4页 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 设公比为g的等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an-2. (1)求g和a: ②记b,=、,数列的前n项和为T,求T 16.（15分) D 如图所示，己知直四棱链ABCD-AB,CD中，AB1ICD, ∠BAD=90°，AB=2AD=4DC. (I)求证：平面ACC⊥平面BDC: (2)若AC上平面BDC,求二面角A-BD-C,的余弦值， 17.(15分) 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定 为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分 钟)： 等待 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) 时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为X,随机变量X服从指数分布，且X取值不超过x的概率为 P(X≤x)=1-e(（x≥0)，其中e是自然对数的底数 (i)证明：对于任意的s,t>0,有P(x>s+x>s)=P(X>): ()如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为Y(单位：分钟).他利用 人工智能辅助决定：若0≤Y≤10，则坐公交车（费用2元）：若Y>10,则打车（费用20 元).求小明的交通费用的均值。 数学试题第3页/共4页 18.(17分) 设抛物线C:y2=4x,2是直线m:x+y+2=0上的动点，QS,2T是抛物线C的两条切线， 且与抛物线C分别相切于S,T两点. (I)设P是抛物线C上任意一点，求P最小值； (2)记ST的中点是M,求M的轨迹方程； (3)记抛物线C的焦点是F,记∠QFS=a,∠QFT=B,证明：cos(a-B)=1. 19.(17分) 已知函数f(x)=nr+ar (①)当a=e时，求f(x)的零点x。,且求f(x)在(x,f(xo)处的切线： (2)给定数集A=(0,+∞)，任给a∈A,对应关系8使函数f(x)的零点x与a对应 (i)证明：x。=g(a)是函数，并讨论该函数的单调性； (ii)若数列{an}满足a(1-a2)=1,a1=1-g(an),证明： a-om)s(a)< 数学试题第4页/共4页