02-第7讲 函数的单调性、值域与最值课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数单调性、单调区间与最值核心考点，依据课标要求“借助函数图象表达单调性与最值”，通过2023年新课标Ⅰ卷、北京卷等真题分析，明确单调性应用（比较大小、解不等式）占60%的高频考点，归纳出复合函数、分段函数等4类常考题型。 课件亮点在于“基础巩固+真题突破+素养提升”模式，如用“同增异减”法则解析复合函数单调区间，培养数学思维；通过分段函数单调性参数范围题，训练数学语言表达。设“易错陷阱警示”（如单调区间用“，”连接），助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

第7讲 函数的单调性、值域与最值 1 【课标要求】 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值,理解 它们的作用和实际意义. 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 ， 课 前 基 础 巩 固 3 增函数 减函数 定 义 当 时，都有__________ _____，那么就称函数 在区 间 上单调递增，特别地，当函 数 在它的定义域上单调递 增时，我们就称它是增函数 当 时，都有__________ _____，那么就称函数 在区 间 上单调递减，特别地，当函 数 在它的定义域上单调递 减时，我们就称它是减函数 续表 课 前 基 础 巩 固 4 增函数 减函数 图 象 描 述 ______________________________________________ 自左向右看图象是上升的 _________________________________________________ 自左向右看图象是下降的 续表 课 前 基 础 巩 固 5 （2）单调区间的定义 如果函数在区间 上__________或__________，那么就说函 数在这一区间具有（严格的）单调性，______叫作 的单调区间. 单调递增 单调递减 区间 课 前 基 础 巩 固 6 2.函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足 条件 ，都有_______ ___； ，使得 ___________ ，都有__________； ，使得___________ 结论 为最大值 为最小值 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.函数单调性的常用结论: （1）若,均在区间上单调递增（减）,则 也 在区间 上单调递增（减）. （2）若,则与的单调性相同;若 ,则 与 的单调性相反. （3）函数在公共定义域内与, 的单调性相反. 课 前 基 础 巩 固 8 （4）函数在公共定义域内与 的单调性 相同. （5）复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则 这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这 两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 课 前 基 础 巩 固 9 2.单调性定义的等价形式:设,, . （1）若有或,则 在闭 区间 上单调递增; （2）若有或,则 在闭 区间 上单调递减. 3.函数最值的结论: （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值；当函数在闭区 间上单调时，最值一定在端点处取得. （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 课 前 基 础 巩 固 10 ◆ 课前演练 ◆ 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）所有的函数在其定义域上都具有单调性.( ) × [解析] 函数在其定义域 上不具有单调性， 故错误. 课 前 基 础 巩 固 11 （2）若函数在区间上单调递减，则函数 的单 调递减区间是 .( ) × [解析] 函数在区间上单调递减，但 的单调递减 区间是 ，故错误. （3）函数 的单调递增区间是 .( ) × [解析] 函数的单调递增区间是， ，故错误. 课 前 基 础 巩 固 12 （4）若是函数的最大值，则是 图象上的最高 点.( ) √ [解析] 由函数的最大值与函数图象最高点的关系可知，正确. 课 前 基 础 巩 固 13 题组二 教材改编 1.已知函数,，则函数 的最大值为( ) A.15 B.10 C.0 D. [解析] 易知函数在 上单调递增， 则，所以函数 的最大值为15. 故选A. √ 课 前 基 础 巩 固 14 2.函数 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] 当时，，当时， ， 所以函数的值域为 .故选B. 3.函数 在区间 上的最大值为___，最小值为__. 3 [解析] 易知在 上单调递减， 所以所求最大值为，最小值为 . √ 课 前 基 础 巩 固 15 4.已知函数在上单调递增，则 的单调递减区间 为__________. [解析] 因为函数在上单调递增，所以在 上单调递增. 设，由，解得或 ， 易知在上单调递减， 所以 的单调递减区间为 . 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 求函数的单调区间 题型1 由函数的解析式求单调区间 例1（1）[2026·江苏苏州期末]函数 的单调递减区间为 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 对于函数，由可得或 ， 所以函数的定义域为 . 因为函数在区间上单调递减，在 上单调 递增，函数 为增函数，所以由复合函数的单调性可知，函数 的单调递减区间为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 18 （2）函数 的单调递增区间是_________. [解析] 函数的定义域为 ， 在定义域上为增函数，在 上单调递减，在 上单调递增， 由复合函数的单调性可得，当，即时， 函数 单调递增，即函数的单调递增区间为 . 课 堂 考 点 探 究 19 题型2 由函数图象求单调区间 例2 已知函数则函数 的单调递增区 间为______________. [解析] 作出函数 的大致图象， 如图所示， 由图可知，函数 的单调递增 区间为 . 课 堂 考 点 探 究 20 总结反思 （1）已知函数解析式求单调区间时，要注意函数的定义域.复合函数 的单调性应根据外层函数和内层函数 的 单调性判断,遵循“同增异减”的原则. （2）利用函数图象求单调区间时,要注意函数图象是否连续，在某点 处是否存在定义等. （3）需要注意的是，当函数存在不止一个单调区间时，各个单调区 间之间要用“，”连接，不能用“ ”. 课 堂 考 点 探 究 21 【对点演练1】（1）[2023·北京卷]下列函数中，在区间 上单 调递增的是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 对于A，因为在上单调递增，在 上单 调递减，所以在 上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在 上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为 在上单调递减，在上单调递减， 所以 在 上单调递增，故C正确； 对于D，因为，, ，所以在 上不单调，故D错误. 故选C. 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 函数 作出函数 的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递 减区间为， . （2）[2026·广东高州中学期中] 函数 的单调递减区 间为________________. ， 课 堂 考 点 探 究 24 探究点二 函数单调性的判断与证明 例3 [2026·浙江温州期中] 已知函数 . （1）若，求 的值； 解：由函数 ，， 可得 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）根据函数单调性的定义证明函数在 上单调递增. 证明：任取,，且 ， 则 . 因为，所以， 所以 ， ， 所以，即 ， 所以在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 26 总结反思 根据函数解析式判断函数单调性时，要特别注意基本初等函数本身 的一些性质. 课 堂 考 点 探 究 27 【对点演练2】 [2025·安徽合肥检测] 已知函数 . （1）求 的定义域； 解：由，得或，所以函数 的定义域为 . 课 堂 考 点 探 究 28 （2）证明:在区间 上单调递减. 证明：设 ，由题得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，所以， 所以 ，故在区间 上单调递减. 课 堂 考 点 探 究 29 探究点三 函数单调性的应用 题型1 比较函数值的大小 例4 [2025·河南焦作质检]已知定义在上的函数 ， 若，， ，则( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为函数在上单调递增，在 上 单调递增，所以函数在 上单调递增. 又，， ， 所以，即 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 30 题型2 解函数不等式 例5 已知定义在上的奇函数在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 因为函数是定义在上的奇函数，且 ，所以 . 因为函数在 上单调递增，所以函数在上也 单调递增. 当时，，由 可得，解得 ； 当时， ，由可得，此时不存在； 当 时，，由可得，解得 . 综上所述，不等式的解集为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 32 题型3 求参数的值或范围 例6（1）[2023· 新课标Ⅰ卷]设函数在区间 单调递 减，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为在 上是增函数，所以根据复合函数的单调性可 得在上单调递减， 故 ，解得 ，故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 33 （2）（多选题）[2026· 陕西宝鸡期末]已知函数 为上的单调函数，则实数 的取值可以 是( ) A. B. C.2 D.3 [解析] 因为函数是上的单调函数，所以当 时, 单调递减，所以在 上单调递减， 则解得.故选 . √ √ 课 堂 考 点 探 究 34 总结反思 1.利用函数单调性解不等式的具体步骤:（1）确定函数 的单调性; （2）将要比较大小的两个函数值所对应的自变量转化到同一个单调 区间内，根据函数的单调性去掉“”,转化为形如“ ”或“ ”的常规不等式,从而得解. 2.若分段函数是单调函数,不仅要保证在各个区间上单调性一致,还要 确保在解析式发生改变处附近的单调性与函数单调性一致. 课 堂 考 点 探 究 35 【对点演练3】（1）已知函数的图象关于直线 对称， 且函数在上单调递增.设,, ， 则，， 的大小关系为( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为函数的图象关于直线 对称， 所以，所以 ， . 又因为函数在 上单调递增，且， 所以 ，即 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 36 （2）[2025·福建泉州五中检测]已知函数 则不 等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 当，即时，因为在 上单调 递增，所以由，可得，所以 ； 当，即时，由 ，可得 ，即，得 ; 当，即时，由 ，得 ，即 ， 因为，所以不等式 无解. 综上所述,不等式的解集为 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 38 （3）已知函数在 上单调递减，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 由题意得，当时， 单调递减， 所以 恒成立，所以； 当时， 单调递减，所以 恒成立， 所以. 又在 上单调递减，所以解得， 所以 的取值范围是 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 40 探究点四 利用函数的单调性求函数的值域与最值 例7 已知函数在 上的最 大值为，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由可知函数 在 和上单调递减，在和 上单调递增. √ 课 堂 考 点 探 究 41 当时，在上单调递增，则函数在 上 的最大值为，符合题意； 当时，在 上单调递增，在上单调递减， 则函数在 上的最大值为，不符合题意； 当时，在和 上单调递增，在上单调递减， 此时若在 上的最大值为，则， 即解得 . 综上所述，的取值范围是 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 总结反思 1.利用函数的单调性求函数的值域（最值）的基本步骤: （1）判断或证明函数在区间上的单调性； （2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值（值域）. 2.需要注意的是，当自变量趋近无穷时，函数值有可能趋近某个确定 的值，也有可能趋近无穷，例如对于定义在 上的减函数 和，当 时,, . 课 堂 考 点 探 究 43 【对点演练4】（1）函数 的值域为______. [解析] 因为与在上均单调递减，且当 时，,，所以当时， ， 故的值域为 . 课 堂 考 点 探 究 44 （2）以,,表示数集,,中最大的数，,, 表示数集 ,,中最小的数，则,, ___. 5 [解析] 在同一坐标系中画出函数 ， ， 的图象，如图. 由解得或 ，所以 ； 由解得或 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 45 由图可知，, , 所以当时，, , 取得最大值5， 则,, . 课 堂 考 点 探 究 $