精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次月考数学试卷

乌鲁木齐市第一中学2026-2027学年第一学期 2027届高三年级第一次月考 数学试卷 （请将答案写在答题纸上） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，因此,，得， 得或，因此,所以. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】法一：由题意得， 所以，故C正确. 法二：由题意得，故，故C正确. 3. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A，因为，所以是奇函数，但其在整个定义域上不单调递增，所以A错误； 选项B，若，，单调递增，且时，， 若，，单调递增，且时，， 又时，所以在上是单调递增， 因为，所以为奇函数，所以B正确； 选项C，因为，所以是奇函数，但不单调递增，所以C错误； 选项D，因为，所以是奇函数， 在，上单调递增，但在整个定义域上不单调递增，所以D错误. 4. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ，， ， 所以 ， 所以 ， 所以. 5. 已知函数 在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 令，解得或， 所以在上单调递增， 又函数 在区间上单调递增， 所以或，解得或， 所以的取值范围是或. 6. 已知命题是减函数，命题q：函数有两个零点，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数性质求出的范围，利用函数零点的意义，数形结合求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义求解判断. 【详解】由函数是减函数，得，即命题； 由，得，依题意，直线与函数的图象有两个交点， 当时，作出直线与函数的图象，如图1， 由直线与函数的图象有两个交点，得，解得， 当时，作出直线与函数的图象，如图2， 显然，因此直线与函数的图象只有一个交点，不符合题意， 综上命题. 所以p是q的必要不充分条件. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两角和的余弦公式展开已知条件中的，再结合二倍角公式将式子转化为关于和的等式，通过辅助角公式化简后，结合的取值范围确定对应角的三角函数符号，最后利用两角差的正弦公式求解的值. 【详解】∵ ， ∴ . 即得，即. 得，即. ∵ ，∴ ，故. 又，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， 代入数值计算得：. 8. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，下列说法错误的是（ ） A. 的取值范围是 B. 在上可能有3个极小值点 C. 与直线在上的交点恰有2个 D. 在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】由可求得的取值范围，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可判断A选项；结合的极小值位置判断区间内极小值点个数，可判断B选项；在时，由可得出的值，可判断C选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A，，令， 在上有且仅有4个零点，等价于在有且仅有4个零点， 应当依次为，则要求，计算得，故A正确； 对于B，的极小值点为，由A可知，， 在里极小值点最多有3个，故B正确； 对于C，，结合A可知，， 区间右端，因此可取一共两解，故C正确； 对于D，结合，，左端点取值范围为， 右端点取值范围为，的区间随的取值变化,对于任意， 的区间均包含的两侧，因此在上不单调递减，故D错误. 【点睛】正弦函数零点、极值问题，优先进行换元，只看可大幅降低难度. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合正实数满足的条件，利用指数函数单调性、基本不等式、二次函数求最值的方法，逐一判断各选项即可 【详解】对于A选项，因为，，则，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，即无最小值，故B错误； 对于C选项，因为，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，C正确； 对于D选项，因为，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，的最小值为，故D正确； 10. 关于函数，则下列选项正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 在单调递增 C. 的值域为 D. 有两个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若O是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB利用正弦定理边角互化处理；C利用正弦定理将周长化为有关于的函数，再结合取值范围即可；D利用正弦定理将面积差用表示，求关于的函数的取值范围. 【详解】对于A，，则由正弦定理得，因为，所以，则，则，故A正确； 对于B，，所以，则，因为，所以，故B正确； 对于C，由得，，所以 ，因为为锐角三角形，所以，得，则，则，所以，故C错误； 对于D，设锐角的外接圆半径为，，则，则，故和面积之差为 ， 因为，则，故当时，面积最大为；当时，；当时，，则和面积之差的取值范围为，故D正确. 【点睛】三角函数问题要活用转化，将问题全部转化为一个变量的函数即可方便求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是第二象限角，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】，则， 由，解得， 已知是第二象限角，， 则． 13. 已知是定义在上的函数的导函数，对任意的，恒成立，且，则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】设，则． 因为，，所以，则在上单调递增. 因为，所以， 由可得，等价于，解得， 故不等式的解集是. 故答案为：. 14. 在平面四边形中，，，，则_____；点E是边的中点，延长线段至点F，使得，若点H为线段上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据判断四边形的形状，再结合得出四边形的具体特征，进而求出； 建立平面直角坐标系，求出各点坐标，设出点的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】已知，所以四边形是平行四边形，则， 即， 设，，则， 由平面向量基本定理可得即，所以， 已知，则， 所以， 又因为，所以. 以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 由，，可得，， 因为四边形是平行四边形，所以， 又因为点E是边的中点，所以， 由，得， 设，则， 即，解得，所以， ， 因为点H为线段上的动点，可设， 所以，， 则， 当时，取得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，. （1）若时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)先求出A，代入，求出集合B，然后直接求出即可. (2)由题意得，，可得，然后分类讨论：①当；②当；然后直接 【详解】（1）由题意得， 因为a=2，所以 则 （2）因为，所以 ①当时，由题意得9-4a＜0.解得； ②当时，由题意得 解得. 综上，a的取值范围为. 【点睛】本题考查含参集合的交集和并集运算，难点在于不要遗漏空集情况的考虑，属于难题. 16. 函数（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象最高点确定，利用个周期长度求出，再代入最高点坐标结合的范围求出； （2）根据图象变换规律求出的解析式，再利用余弦函数的性质求出给定区间上的值域 【小问1详解】 解：由图象可知，函数的最大值为，所以. 观察图象，点为函数图象下降过程中的零点，点为函数图象的最高点， 所以，解得. 因为且，所以. 此时，将点代入解析式，得 ， 即 . 所以 ，解得 . 因为 ，令，解得. 所以函数的解析式为 . 【小问2详解】 解：将的图象向左平移个单位长度，得到的图象； 再向上平移个单位长度，得到的图象； 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍 得到的图象. 因为，所以 . 由余弦函数的性质可知，当 ，即时， 取得最小值； 当或时， 取得最大值. 所以 . 所以 . 故函数的值域为 . 17. 已知定义在上的函数（且）． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）若，函数，，求函数的值域． 【答案】（1）是奇函数，证明： 因为，函数的定义域为，关于原点对称， 对于定义域内任意，， 故函数是奇函数． （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，判断函数的奇偶性； （2）先求，再采用换元法转化为二次函数，最后在给定区间求值域． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知，则，即，解得（舍去）或， 故，， 令，令， 已知，且函数在上单调递增，在上单调递增， 故在上单调递增， 时，； 时，； 故的取值范围是， 开口向上，对称轴为， 在区间内，最小值为， ；， 综上可得，． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A． （2）D为边上一点，且． ①若，求面积的最大值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）① 面积的最大值, ② 【解析】 【分析】(1)由正弦定理边化为角，用合一变形公式整理后得求得, (2)①由向量知识可得平方后可得结合面积公式可解， ②在中由正弦定理得都是关于角的函数关系，结合均值不等式可解. 【小问1详解】 ∴ 由正弦定理得： ，展开得： 而 ，故等式两边同时除以 得： 故 ． 【小问2详解】 ① 如图所示， 当时取等号, 由面积公式： ② 如图所示， 为角平分线，在中 由正弦定理得 又 当时取等号, 故 19. 已知函数，，． （1）若，求在处的切线方程； （2）证明：仅有一个极值点； （3）记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． 【答案】（1） （2）已知 ，其定义域为 ，， 令 ，则 ，所以 在 上单调递减. 利用零点存在定理：则 ， 所以存在唯一的 ，使得 ，即 . 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. 所以 仅有一个极值点 . （3）因为，所以对任意恒成立， 即 对任意 恒成立. 令 ，则 ， 对求导：， 由复合函数单调性知 在 上单调递减， 且当 时， ， 当 时， ， 所以存在唯一的 ，使得 ， 即 ， ， （1） 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. ， 由（1）： ，代入： ，因此， 要证 ，只需证 ， （2） 由（1）变形： ， ， 令 ，代入（2），只需证明：，，， 记， ， 为研究 的单调性，设 ， 求导：， 当 时， ，故 ， 因此 在 上严格单调递增，即 在 严格单调递增. ， 由零点存在定理， ，使得 ， 单调递减， 单调递增， ， 在严格递增，由零点存在定理，存在唯一 ，满足 ， 单调递减，, 单调递增， ， 由 得 ， ，等式两边约去 ，得 ， （3） 由 变形： ， ， 即 ， 由 的极值点,满足导数，可得 ， 设 ，求导得 ， 在 严格递减， 方程 的根唯一，故 ， ， 即， 结合 ，得 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数， ，求出为，可求切线方程， （2）求 的导数，再讨论，有唯一实根，进而证明有唯一极值点， （3）根据分析法，结合隐零点进行化简得到最终证明结论. 【小问1详解】 当 时，，， ，， 所以切线方程为 ，即 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第一中学2026-2027学年第一学期 2027届高三年级第一次月考 数学试卷 （请将答案写在答题纸上） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 5. 已知函数 在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 6. 已知命题是减函数，命题q：函数有两个零点，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，下列说法错误的是（ ） A. 的取值范围是 B. 在上可能有3个极小值点 C. 与直线在上的交点恰有2个 D. 在上单调递减 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 关于函数，则下列选项正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 在单调递增 C. 的值域为 D. 有两个零点 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若O是外接圆的圆心，则和面积之差的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是第二象限角，且，则__________． 13. 已知是定义在上的函数的导函数，对任意的，恒成立，且，则不等式的解集是________． 14. 在平面四边形中，，，，则_____；点E是边的中点，延长线段至点F，使得，若点H为线段上的动点，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，. （1）若时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 函数（，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，求的值域． 17. 已知定义在上的函数（且）． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）若，函数，，求函数的值域． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角A． （2）D为边上一点，且． ①若，求面积的最大值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19. 已知函数，，． （1）若，求在处的切线方程； （2）证明：仅有一个极值点； （3）记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $