专题05 二次根式 章末题型专训（7大题型）-2026-2027学年（沪教版五四制）八年级数学上册

该初中数学讲义通过“题型分类+知识整合”构建二次根式章末复习体系，以7大压轴题型（化简与分母有理化、非负性综合等）为框架，用目录清晰呈现知识脉络，突出非负性应用、条件求值等重难点的内在逻辑联系。 讲义亮点在于压轴题分层设计，如“和谐二次根式”新定义题培养抽象能力，几何综合题（长方形面积计算）提升应用意识，规律探究题（等式归纳）发展推理意识。例题涵盖基础巩固与思维拓展，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统素材。

专题05 二次根式章末56道压轴题型专训（7大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、二次根式化简与分母有理化 1 题型二、二次根式的非负性综合问题 2 题型三、条件求值压轴问题 3 题型四、二次根式与几何综合问题 4 题型五、二次根式新定义阅读理解问题 5 题型六、二次根式探究规律题 6 题型七、与实数运算相关的规律题 7 【经典例题一 二次根式化简与分母有理化】 1．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 2．（24-25八年级下·广东江门·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如、的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：＝__________； (2)化简：； (3)当时，化简：． 3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段检测）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照b式化简＝______； (2)化简：； (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 4．（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读下面的材料，然后进行化简： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，，这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简：； (3)化简： 5．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）阅读下列材料．然后回答问题： 在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)请用不同的方法化简：参照③式求； (2)化简：． (3)利用上面的规律，比较和的大小． 6．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）阅读材料： （一）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ． 那么我们称这个过程为分式的分母有理化． （二）如果我们能找到两个实数，使且， 这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式．” 例如：． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简：； (2)化简“和谐二次根式” ①________；②________． (3)已知，，求的值． 7．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： (1)化简：__________；__________；__________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即： ， 所以． 解答问题： (3)填空：__________，__________； (4)化简：（请写出化简过程）． 8．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【经典例题二 二次根式的非负性综合问题】 9．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若，为实数，且，求的值； (3)已知实数， 满足，求的值． 10．（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）我们已经学习了二次根式的性质：，根据等式的对称性，可以得到即可以把一个非负数写成完全平方的形式.据此解答下列问题： (1)把13写成非负数的完全平方，结果是 ___________； (2)在实数范围内因式分解：. 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知. (1)计算：当时， ___________， ___________； 当时， ___________，___________； 当时，__________，__________． (2)猜想：无论为任何非负实数， __________始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）． (3)请说明（2）中猜想的合理性． 12．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需x(x-3)0， 由乘法法则得或， 解得x或， 即当x或有意义． 体会解题思想后，解答：x为何值时，有意义？ 13．（25-26八年级下·山东烟台·阶段检测）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简： 解：隐含条件，解得： ， 原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 14．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 15．（25-26八年级下·重庆江津·期中）阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是零； 当时，比如，则，此时的绝对值是它的相反数由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当满足什么条件时，． 16．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【经典例题三 条件求值压轴问题】 17．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）期末复习时李老师给出了一道题：“已知，，求的值．”大家经过讨论后给出了2种不同的解题思路： 思路①：直接代入计算即可．思路②：可以先求，，再变形代入求值． 请你根据以上的思路，选择其中一种进行计算． 19．（25-26八年级下·山东日照·期末）某同学在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ∴，，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 20．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 21．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 22．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 23．（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 24．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【经典例题四 二次根式与几何综合问题】 25．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，某公园有一块长方形空地，，，园区管理员计划在中间小长方形部分（阴影）种植花卉，其余部分种植草坪，且小长方形的长为，宽为．求种植草坪的面积．（结果化为最简二次根式） 26．（26-27八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)把一个圆的面积四等分．你能想出几种分割方法？ (2)如图，以点O为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆O的面积四等分．若，求这三个圆的半径，，的长． 27．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 28．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形木板裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的倍． (1)若甲，乙面积分别为，，求的长； (2)若阴影部分①的面积为，求阴影部分②的面积． 29．（2026·湖北襄阳·二模）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】活动一 定义“漂亮数”：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． (1)判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”. ①1，4，16____；②4，16，25____；③3，9，12____；④3，12，48____； 活动二  将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． (2)1，4，9是“漂亮数”， 2，8，18____（填“是”或“不是”）“漂亮数”． (3)结论：若a，b，c是“漂亮数”，则，，(，且k是整数) ____（填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 30．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 31．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 (1)填空： ； ． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 32．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“和谐二次根式”．根据上述材料，解答下列问题： (1)若a与是关于6的“和谐二次根式”，求a的值； (2)若m为有理数，且与是关于4的“和谐二次根式”．求m的值． 【经典例题五 二次根式新定义阅读理解问题】 33．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 34．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）新考法． 求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)____________的解法是错误的，错误的原因是_____________； (2)求代数式的值，其中． 35．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）阅读材料： 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________与________； (2)若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？ (3)若数对一个“对称数对”是，求、的值． 36．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）材料一：定义：（x，y为正整数）． 材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2． ∴3﹣2； ∴1． (1)仿照材料二，化简：； (2)结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b； (3)由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2＋n2的值． 37．（25-26八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 38．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 39．（25-26八年级下·广西玉林·期中）阅读材料，理解定义，完成下列问题： 在二次根式运算中，我们常遇到分母含有根号的式子．为了使分母不含根号，我们引入一种新的运算——“共轭化简法”． 定义：共轭化简法 对于形如或的式子，通过乘以一个适当的根式，使分母变为有理数，这个过程称为共轭化简． 1．若分母为单根号，则分子分母同乘； 2．若分母为，则分子分母同乘（称为“共轭式”）． 示例： 问题： (1)利用共轭化简法化简_____；_____． (2)方法迁移，解决变式问题：化简_____． (3)计算：． 40．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得_______，分母有理化得______． (2)，求的值； (3)利用上述方法，化简． 【经典例题六 二次根式探究规律题】 41．（25-26八年级上·全国·周测）观察下列各式： ；；；； (1)根据上述式子的规律填空：______；______； (2)计算：； (3)请用含自然数的代数式把上述规律表示出来． 42．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）观察下列式子： ； ； ； (1)请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； (2)请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 43．（25-26八年级下·江西赣州·期末）观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题： (1)按照这个规律，写出第④个式子：__________； (2)若式子（为正整数）符合以上规律，则__________； (3)请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：__________； (4)请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的． 44．（25-26八年级下·山西大同·期中）观察下列等式： ， ， ， … (1)利用你发现的规律，化简_________； (2)根据以上等式猜想第个等式（为正整数），并写出来； (3)证明你猜想的第个等式成立． 45．（25-26八年级上·北京海淀·期中）探索规律 观察下列各式及验证过程： 时，有式①：； 时，有式②：； 时，有式③：； (1)针对上述式①、式②、式③的规律，请写出时的式子； (2)请写出满足上述规律的用（为自然数且）表示的等式，并证明此等式成立． 46．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 47．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 48．（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【经典例题七 与实数运算相关的规律题】 49．（25-26八年级上·江西吉安·期中）观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 50．（2026七年级下·重庆涪陵·模拟预测）观察下列等式： 将以上三个等式相加得 (1)猜想并写出： ； (2)已知数列，，表示的前n项和，试求数列的前2022项和的值． 51．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 52．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面材料： 将边长分别为的正方形面积分别记为． 则 例如：当时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，_____； (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当时，令，且，求的值． 53．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）观察下面两组式子： ①；；； ②；；…． 请利用你发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律： ________；_________（n为正整数）； (2)计算：； (3)若，则_________． 54．（2025·安徽合肥·模拟预测）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 55．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列解题过程： …………………………，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出___________； (2)利用上面的化解方法，请计算： 56．（25-26八年级上·福建漳州·期中）【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母含有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的． 如：，． 【知识理解】 （1）填空：的有理化因式是 ； （2）计算：①；②． 【启发运用】 （3）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次根式章末56道压轴题型专训（7大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、二次根式化简与分母有理化 1 题型二、二次根式的非负性综合问题 2 题型三、条件求值压轴问题 3 题型四、二次根式与几何综合问题 4 题型五、二次根式新定义阅读理解问题 5 题型六、二次根式探究规律题 6 题型七、与实数运算相关的规律题 7 【经典例题一 二次根式化简与分母有理化】 1．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 2．（24-25八年级下·广东江门·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如、的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：＝__________； (2)化简：； (3)当时，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时， 3．（24-25八年级上·四川巴中·阶段检测）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．； ．． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)参照b式化简＝______； (2)化简：； (3)你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，分母有理化： （1）根据分母有理化的方法计算即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）根据分母有理化的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：能， ． 4．（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读下面的材料，然后进行化简： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，，这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简：； (3)化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义分子与分母同乘以，化简即可； （2）分子与分母同乘，再化简即可； （3）将各项乘以2，再除以2，分母有理化后化简即可． 【详解】（1）解：； （2） （3） ． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，分母有理化计算，正确掌握计算法则及确定分母有理化的因式是解题的关键． 5．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）阅读下列材料．然后回答问题： 在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)请用不同的方法化简：参照③式求； (2)化简：． (3)利用上面的规律，比较和的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目中的例子，可以解答本题； （2）先将题目中的式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （3）先求出分别求出和的倒数，再进行比较即可． 【详解】（1）解：， ． （2） ＝． （3）∵，， 又∵， ∴ ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式的应用． 6．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）阅读材料： （一）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ． 那么我们称这个过程为分式的分母有理化． （二）如果我们能找到两个实数，使且， 这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式．” 例如：． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简：； (2)化简“和谐二次根式” ①________；②________． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据材料（一）中的方法进行分母有理化即可； （2）根据材料（二）中的方法进行化简即可； （3）先分母有理化，然后代入求解即可． 【详解】（1） ； （2）①； ②； （3）， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化． 7．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： (1)化简：__________；__________；__________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即： ， 所以． 解答问题： (3)填空：__________，__________； (4)化简：（请写出化简过程）． 【答案】(1) (2)9 (3)； (4) 【分析】（1）根据分母有理化，即可求解； （2）每个二次根式分母有理化，进而即可求解； （3）先把根号内化为完全平方形式，进而即可求解； （4）先把根号内化为完全平方形式，进而即可求解． 【详解】（1）解：=；=；=； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， 故答案为：；； （4）解：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，分母有理化，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质是关键． 8．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）仿照题干，利用完全平方公式进行化简； （3）分别化简与，求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ∴． 【经典例题二 二次根式的非负性综合问题】 9．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若，为实数，且，求的值； (3)已知实数， 满足，求的值． 【答案】(1)-2 (2)x+y的值为2或8； (3)m+n的值为1． 【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值为-2； （2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值； （3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得m+n的值． 【详解】（1）解：∵， 且≥0，≥0， ∴a-1=0，且3+b=0， ∴a=1，b=-3， ∴a+b=-2； 故答案为：-2； （2）解：∵x2+9， ∴y-5≥0且5-y≥0， ∴y≥5且y≤5， ∴y=5， ∴x2=9， ∴x=±3， 当x=3时，x+y=3+5=8； 当x=-3时，x+y=-3+5=2； 答：x+y的值为2或8； （3）解：∵|2m-4|+|n+2|++4=2m， ∴（m-3）n2≥0， ∴m≥3， ∴2m-4＞0， ∴|2m-4|+|n+2|++4=2m， 2m-4+|n+2|++4=2m， ∴|n+2|+=0， ∵|n+2|≥0，≥0， ∴n+2=0，（m-3）n2=0， ∴n=-2，m=3， ∴m+n=3-2=1． 【点睛】本题考查的非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解性质的含义，在中考中经常出现． 10．（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）我们已经学习了二次根式的性质：，根据等式的对称性，可以得到即可以把一个非负数写成完全平方的形式.据此解答下列问题： (1)把13写成非负数的完全平方，结果是 ___________； (2)在实数范围内因式分解：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的性质即可求解； （2）根据平方差公式解答即可． 【详解】（1）解：把13写成非负数的完全平方，结果是， 故答案为：； （2） 【点睛】本题考查二次根式，因式分解，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及平方差公式． 11．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知. (1)计算：当时， ___________， ___________； 当时， ___________，___________； 当时，__________，__________． (2)猜想：无论为任何非负实数， __________始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）． (3)请说明（2）中猜想的合理性． 【答案】(1)；；， (2) (3) 因为， 所以 ，， 因为 ，， 所以 ， 因为 ， 所以， 所以， 即． 【分析】本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把的值分别代入计算即可求解； （2）根据（1）所得结果即可判断求解； （3）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证． 【详解】（1）解：当时，，； 当时， ，； 当时， 故答案为：；；，； （2）猜想：无论为任何非负实数，始终成立， 故答案为：． （3）略 12．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？ 解：要使该二次根式有意义，需x(x-3)0， 由乘法法则得或， 解得x或， 即当x或有意义． 体会解题思想后，解答：x为何值时，有意义？ 【答案】x或． 【分析】根据题目信息，列出不等式组求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：要使该二次根式有意义，需0， 由乘法法则得或， 解得x或， 即当x或有意义． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键． 13．（25-26八年级下·山东烟台·阶段检测）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简： 解：隐含条件，解得： ， 原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）1（2） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可； 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ； 14．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，那么．那么如何将双重二次根式化简呢？如能找到两个数，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简； 例如化简：； ∵且， ∴， ∴． 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：__________；__________； (2)化简：①；②． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）①将原式转成，转化成完全平方式，化简即可求得答案． ②将原式转化成，转成完全平方式，化简即可求得答案． 【详解】（1）解： ； 故答案为：，； （2）解：① ， ② ． 15．（25-26八年级下·重庆江津·期中）阅读下列材料并解决问题． 当时，比如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是零； 当时，比如，则，此时的绝对值是它的相反数由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即： 在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想． 问题解决： (1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式的各种可能； (2)猜想：与的大小关系； (3)当满足什么条件时，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）讨论：当时，直接利用二次根式的性质得到；当时，利用零的算术平方根的定义得到，当时，先把变形为，再根据二次根式性质化简； （2）由题中结论和（1）中的结论可得； （3）先根据二次根式有意义的条件得，所以，则，所以只要满足即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，， 即； （2）由题意可得：； （3）有意义， ， ， ， 即， 解得， 即当满足时，． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的性质是解决问题的关键． 16．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）； (2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？ 【答案】(1)， (2)长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． 【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵，当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． 【经典例题三 条件求值压轴问题】 17．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）阅读理解：已知，将其分母有理化，小明同学是这样解答的：．请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】（1）根据所给材料，分子分母同乘，计算即可； （2）先将a分母有理化，再代入求值即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 18．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）期末复习时李老师给出了一道题：“已知，，求的值．”大家经过讨论后给出了2种不同的解题思路： 思路①：直接代入计算即可．思路②：可以先求，，再变形代入求值． 请你根据以上的思路，选择其中一种进行计算． 【答案】解：思路①：∵， ∴ ； 思路②：∵， ∴， ∴ ． 【分析】选择思路①，直接代入计算，即可求解；选择思路②求解．解题思路为先求出与的值，再利用完全平方公式将变形后代入计算，过程简便，用到整式乘法的平方差公式和完全平方公式变形． 【详解】略 19．（25-26八年级下·山东日照·期末）某同学在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ∴，，， ． 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)计算：； (2)若． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将每一项分母有理化，再计算加减法即可； （2）①先求出，再化简，代入计算即可； ②先求出，，再将转化为，代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：①∵， ∴， ∴，即， ∴ ． ②由（2）①已得：， ∴， ∴ ． 20．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】(1)， (2)1， (3)12或28 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ， ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、． （3）解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 21．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在解决问题“已知，求的值”时，红华是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴ ∴ 请根据红华的分析过程，解决下列问题： (1)化简：． (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 22．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 23．（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题干规律直接作答即可； （2）根据题干规律将已知两式进行变形为两个二次根式相加，然后比较大小即可； （3）根据题干规律化简，再根据、为有理数对比未知数的系数，即可得解； （4）根据平方差公式计算，即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ，即； （3）解：，， ， ， ， 、为有理数， 与均为有理数， ； （4）解： ， ， ． 24．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 【经典例题四 二次根式与几何综合问题】 25．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，某公园有一块长方形空地，，，园区管理员计划在中间小长方形部分（阴影）种植花卉，其余部分种植草坪，且小长方形的长为，宽为．求种植草坪的面积．（结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】求出长方形空地和花卉的面积，进而可知种植草坪的面积． 【详解】解：∵长方形空地的面积为：， 种植花卉的面积为：， ∴种植草坪的面积为：． 故种植草坪的面积为． 26．（26-27八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)把一个圆的面积四等分．你能想出几种分割方法？ (2)如图，以点O为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆O的面积四等分．若，求这三个圆的半径，，的长． 【答案】(1)如图所示：（答案不唯一） (2)；； 【分析】（1）利用互相垂直的两条直径或其他方法把一个圆的面积四等分即可； （2）先求大圆四等分后每份面积，再求以、、为半径的圆的面积，最后利用圆面积公式求出对应半径即可． 【详解】（1）略 （2）解：大圆半径，大圆面积， 三个同心圆把大圆面积四等分，每一份面积为， 以为半径的圆的面积为，即， ∴； 以为半径的圆的面积为，即， ∴； 以为半径的圆的面积为，即， ∴． 27．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 28．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形木板裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的倍． (1)若甲，乙面积分别为，，求的长； (2)若阴影部分①的面积为，求阴影部分②的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由正方形甲的面积为，正方形乙的面积为可得正方形边长，进一步求解即可． （2）设正方形丙的边长为．求出正方形甲的边长为，得到，进一步可得，设正方形乙的边长为，得到，进而推导出，则阴影部分②的面积，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，正方形甲的面积为，正方形乙的面积为， ∴正方形甲的边长为，正方形乙的边长为， 由图可知，的长等于正方形乙的边长与正方形甲的边长之和， ． （2）解：如图：设正方形丙的边长为． ∵甲的面积是丙面积的倍， ∴正方形甲的边长为， ， ∵阴影部分①的面积为，且， ， 设正方形乙的边长为， 由图可知，， ， 阴影部分②的面积． 29．（2026·湖北襄阳·二模）综合与实践． 【探究主题】探究“漂亮数”的奥秘． 【探究过程】活动一 定义“漂亮数”：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”． (1)判断下面几组数是否为“漂亮数”，是的在后面横线上填“是”，不是填“否”. ①1，4，16____；②4，16，25____；③3，9，12____；④3，12，48____； 活动二  将一组“漂亮数”中的每一个数都乘以同一个大于1的整数． (2)1，4，9是“漂亮数”， 2，8，18____（填“是”或“不是”）“漂亮数”． (3)结论：若a，b，c是“漂亮数”，则，，(，且k是整数) ____（填“是”或“不是”）“漂亮数”，并说明理由． 【答案】(1)是，是，否，是 (2)是 (3)是，理由见解析 【分析】本题为新定义综合题，根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可． 【详解】（1）解：①∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． ②∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． ③∵不是整数， ∴这三个数不是“漂亮数”． ④∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． （2）解：∵，，均是整数， ∴这三个数是“漂亮数”． （3）解：∵，且k是整数， ∴，，， ∵a，b，c是“漂亮数”， ∴是整数， ∴是整数， ∴若a，b，c是“漂亮数”，则，，（，且k是整数）是“漂亮数”． 30．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 【答案】(1) (2)解：∵要裁的长方形面积为，宽为， ∴它的长为 ， ∵原长方形的长为、宽为， ∴， 即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， ∴小牛的想法不可行． 【分析】（1）因为正方形是面积为的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正方形边长等于，也等于，所以代入和的长度，可分别求出长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算其面积． （2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形的长和宽比较大小，判断是否可行． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为． ∵，： ∴， ． ∴长方形的面积为 ． （2）略 31．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 (1)填空： ； ． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 【答案】(1)，；； (2)； (3)． 【分析】（）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； 结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）设两小正方形的边长分别为，，则有，，然后化简得，，然后通过剩余部分的面积为即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，； ， 故答案为：； （2）解： （3）解：设两小正方形的边长分别为，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴剩余部分的面积为． 32．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“和谐二次根式”．根据上述材料，解答下列问题： (1)若a与是关于6的“和谐二次根式”，求a的值； (2)若m为有理数，且与是关于4的“和谐二次根式”．求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义得到,即可求出的值． （2）根据定义得，整理得出，最后得出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ． （2）解：由题意可得， 整理得， ∴． 【经典例题五 二次根式新定义阅读理解问题】 33．（25-26七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 34．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）新考法． 求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)____________的解法是错误的，错误的原因是_____________； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮；小亮在化简时，没有考虑时的正负，错误地认为 (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）先求出，则可化为，再化简并将代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． ∴小亮的解法是错误的，小亮在化简时，没有考虑时，的正负，错误地认为． 故答案为：小亮；小亮在化简时，没有考虑时的正负，错误地认为． （2）解：， ， 则 ． 当时，原式． 35．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）阅读材料： 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________与________； (2)若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？ (3)若数对一个“对称数对”是，求、的值． 【答案】(1)，； (2) (3)，或， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“对称数对”的定义代入计算即可； （2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出，，即可知、的值． 【详解】（1）由题意得，， 数对的一对“对称数对”是与； 故答案为：，； （2）由题意得， 数对的一对“对称数对”为与， 数对的一对“对称数对”相同， ， ； （3）数对一个“对称数对”是，， ，或，， ，或，． 36．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）材料一：定义：（x，y为正整数）． 材料二：观察、思考、解答：；反之3﹣2． ∴3﹣2； ∴1． (1)仿照材料二，化简：； (2)结合两个材料，若（a，b，m，n均为正整数），用含m、n的代数式分别表示a和b； (3)由上述m、n与a、b的关系，当a＝4，b＝3时，求m2＋n2的值． 【答案】(1) (2)， (3)10 【分析】（1）仿照材料二解答即可； （2）给左右两边分别平方，然后对比即可解答； （3）由（2）可得m+n、mn的值，然后再运用完全平方公式变形即可解答． 【详解】（1）解： ∴ ∴． （2）解：∵ ∴ ∴，． （3）解：∵，，a＝4，b＝3 ∴=4， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式成为解答本题的关键． 37．（25-26八年级下·陕西延安·期中）定义：形如“”，“”的根式，我们称之为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将根号去掉．当分式的分母上含有根号时，我们可以分子，分母同时乘以分母的对偶式，这样就可以消除分母上的根式，这样的做法我们叫做“分母有理化”．同样的道理，我们可应用此法将分子上的根号去掉，这样的做法叫做“分子有理化”． 根据以上材料，解答下列问题． (1)利用分母有理化，计算：的值． (2)利用分子有理化，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （）根据分母有理化即可求解； （）根据分子有理化即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 38．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）在数学中，我们经常遇到形如的二次根式，为了简化计算，可以通过“有理化”将其转化为更简单的形式．例如： ，这种方法称为“分母有理化”．类似的，我们也可以对分子进行有理化． 问题： (1)将下列根式进行分母有理化，并化简： (2)定义一种新运算“”：当时，；当时， 已知：，， ①求的值； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）①根据新定义可得，，而，据此代值计算即可；②设，则可推出，即；再根据题意可得，则，即． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵，， ∴， ， ∴ ； ②设， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 39．（25-26八年级下·广西玉林·期中）阅读材料，理解定义，完成下列问题： 在二次根式运算中，我们常遇到分母含有根号的式子．为了使分母不含根号，我们引入一种新的运算——“共轭化简法”． 定义：共轭化简法 对于形如或的式子，通过乘以一个适当的根式，使分母变为有理数，这个过程称为共轭化简． 1．若分母为单根号，则分子分母同乘； 2．若分母为，则分子分母同乘（称为“共轭式”）． 示例： 问题： (1)利用共轭化简法化简_____；_____． (2)方法迁移，解决变式问题：化简_____． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中定义的方法直接计算； （2）应用分母为二项式的有理化方法进行计算； （3）将每一项分式进行分母有理化，可以发现原式是一个各项可以前后相消的裂项和，合并后即可求值； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 40．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得_______，分母有理化得______． (2)，求的值； (3)利用上述方法，化简． 【答案】(1)， (2)322 (3)27 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）利用分母有理化直接求解； （2）先利用分母有理化把x、y化简，然后再求它们的和与积，再利用完全平方公式变形求解即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， ∴； 故答案为：322； （3）解： ． 【经典例题六 二次根式探究规律题】 41．（25-26八年级上·全国·周测）观察下列各式： ；；；； (1)根据上述式子的规律填空：______；______； (2)计算：； (3)请用含自然数的代数式把上述规律表示出来． 【答案】(1)；； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意进行计算即可； （）结合题意和（）的结论，以此类推计算即可； （）结合（）和（）的结论，归纳规律表示代数式即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴；； 故答案为：；； （2）解：∵； ； ； ； ∴； （3）解：∵； ； ； ； ∴． 42．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）观察下列式子： ； ； ； (1)请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； (2)请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 【答案】(1)第四个式子为，理由如下： 左边右边， 因此等式成立； (2)归纳规律得：对任意正整数，； 证明：左边 ， 为正整数， ， ， 左边右边 ， 等式成立． 【分析】先观察已知等式中各部分数字的变化规律，归纳得到第四个式子和含的一般性规律，再利用二次根式的性质化简验证等式成立． 【详解】（1）略 （2）略 43．（25-26八年级下·江西赣州·期末）观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题： (1)按照这个规律，写出第④个式子：__________； (2)若式子（为正整数）符合以上规律，则__________； (3)请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：__________； (4)请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的． 【答案】(1) (2)4 (3) (4) 解：当时，有． 左边右边． 左边=右边． 当n=20时，对应的式子是正确的． 本题第4问还有其他验证方法．不同解法酌情合理给分即可． 【分析】观察①、②、③三个式子，我们可以发现：等式左边根号里面是一个整数加上一个分数，而且这个整数与等式的序号相同，分数的分子是1，分母比整数多2；等式右边根号外面的整数比等式的序号多1，根号里面的分数就是等式左边的分数． （1）根据以上规律，可得第4个式子； （2）利用得出的规律求出与的值，代入原式计算即可； （3）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （4）先把代入（3）中的等式，再将等式左右两边的式子化简即可验证． 【详解】（1）由规律可得第4个式子为：． （2）由并结合规律，得到． 原式． （3）总结一般性规律得到： （4）略 【点睛】本题考查数字变化类的规律探索问题以及二次根式的运算． 44．（25-26八年级下·山西大同·期中）观察下列等式： ， ， ， … (1)利用你发现的规律，化简_________； (2)根据以上等式猜想第个等式（为正整数），并写出来； (3)证明你猜想的第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干作答即可； （2）根据已知等式找出规律即可； （3）计算等式左边，看看是否与右边相等即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， …… ； （3）证明： ， 可知猜想成立． 45．（25-26八年级上·北京海淀·期中）探索规律 观察下列各式及验证过程： 时，有式①：； 时，有式②：； 时，有式③：； (1)针对上述式①、式②、式③的规律，请写出时的式子； (2)请写出满足上述规律的用（为自然数且）表示的等式，并证明此等式成立． 【答案】(1) (2) ， 证明：时，有式①：； 时，有式②：； 时，有式③：； 时，有式④：； … 满足上述规律的用（为自然数且）表示的等式：， 证明：左边 右边， 故等式成立． 【分析】（1）根据题中所给式子得出时，有式④：； （2）根据题中所给式子得出满足上述规律的用（为自然数且）表示的等式：，将中根号外面的拿到根号里面，化简即可得到答案． 【详解】（1）解：时，有式①：； 时，有式②：； 时，有式③：； 时，有式④：； （2）略 【点睛】本题考查了数字类规律探索、利用二次根式的性质进行化简，根据题意得出满足上述规律的用（为自然数且）表示的等式：是解此题的关键． 46．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2) 解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）略 （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 47．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②； （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2） 略 （3）原式 48．（24-25八年级下·四川自贡·期中）探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式即可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 【经典例题七 与实数运算相关的规律题】 49．（25-26八年级上·江西吉安·期中）观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： 50．（2026七年级下·重庆涪陵·模拟预测）观察下列等式： 将以上三个等式相加得 (1)猜想并写出： ； (2)已知数列，，表示的前n项和，试求数列的前2022项和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用绝对值的性质进行化简即可； （2）根据题意，先去绝对值，再利用裂项相消法计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：∵， ∴ ． 51．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 52．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面材料： 将边长分别为的正方形面积分别记为． 则 例如：当时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，_____； (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当时，令，且，求的值． 【答案】(1) (2) 猜想结论：，证明如下： ； (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，与二次根式计算有关的规律探索，正确推出是解题的关键． （1）仿照题意利用平方差公式计算出的结果，再代值计算即可； （2）根据（1）所求结合题意得出猜想，再利用平方差公式展开证明即可； （3），据此代值计算即可． 【详解】（1）解：解： ， 当，时，原式； （2）略 （3）解： ． 53．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）观察下面两组式子： ①；；； ②；；…． 请利用你发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律： ________；_________（n为正整数）； (2)计算：； (3)若，则_________． 【答案】(1)； (2) (3)6 【分析】本题考查了二次根式的规律探究，分式运算等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，，； （2）由，计算求解即可； （3）由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：由题意知， ， ∴， 解得，， 故答案为：6． 54．（2025·安徽合肥·模拟预测）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 55．（25-26八年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列解题过程： …………………………，请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出___________； (2)利用上面的化解方法，请计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，实数运算有关的规律，正确理解题意得到规律是解题的关键． （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）根据（1）得到规律，据此求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， … ∴可以得到规律， ∴ ． 56．（25-26八年级上·福建漳州·期中）【知识链接】 （1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母含有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的． 如：，． 【知识理解】 （1）填空：的有理化因式是 ； （2）计算：①；②． 【启发运用】 （3）计算：． 【答案】（1） （2）①；②  （3） 【分析】本题主要考查了分母有理化，数字类的规律探索，熟练掌握分母有理数的方法是解题的关键． （1）根据可得答案； （2）①②仿照题意进行分母有理化即可； （3）根据题意找到规律，据此对所求式子每一项进行分母有理化，然后化简求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）， ， ， ……， 以此类推，， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $