专题01 平方根与立方根重难点题型专训（5个知识点+17大题型+自我检测）-2026-2027学年沪教版（五四版）八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦平方根与立方根核心知识点，系统梳理平方根（概念、表示、性质）、算术平方根（概念、双重非负性、与平方根区别联系）、立方根（概念、性质、与平方根区别）等5个知识点，构建从概念理解到性质应用的递进式学习支架。 该资料以17大基础题型+4大提高题型分层设计，融入规律探索、几何应用等实例，如通过正方形面积问题培养数学眼光，借助方程求解锻炼运算能力，自我检测助力学生查漏补缺。课中辅助教师精准教学，课后帮助学生巩固知识，提升应用意识与推理能力。

专题01 平方根与立方根重难点题型专训（5个知识点+17大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求一个数的算术平方根 1 题型二、利用算术平方根的非负性解题 2 题型三、估计算术平方根的取值范围 3 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 4 题型五、算术平方根的实际应用 5 题型六、平方根概念理解 6 题型七、求一个数的平方根 7 题型八、求代数式的平方根 8 题型九、已知一个数的平方根，求这个数 9 题型十、利用平方根解方程 10 题型十一、平方根的应用 11 题型十二、立方根概念理解 12 题型十三、求一个数的立方根 13 题型十四、已知一个数的立方根，求这个数 14 题型十五、与立方根有关的规律探索 15 题型十六、立方根的实际应用 16 题型十七、算术平方根和立方根的综合应用 17 第二部分·练提高题型 题型一、平方根中的几何问题 1 题型二、平方根的规律探究问题拓 2 题型三、解立方根方程问题 3 题型四、立方根的规律探究问题 4 第三部分・自我检测 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）4的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的算术平方根是. 2．（2026·山东烟台·模拟预测）计算的结果为__________． 【答案】 【详解】解：原式=1−8+4=−3． 知识点02平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知，则的值为（   ） A．2026 B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 【答案】0 【分析】和都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， 故． 知识点03 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（2026·山东东营·模拟预测）2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，且， ∴ 2的算术平方根是. 2．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 知识点04 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 2．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 【答案】 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐步求解，第三个空需先计算的值，再求它的算术平方根． 【详解】解：∵ ， ∴ 4的平方根是； ∵ ， ∴ 的立方根是； ∵ ，且，算术平方根为非负的平方根， ∴ 的算术平方根是． 知识点05 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江西赣州·期中）下列说法中错误的是（   ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根为 D．平方根等于本身的数是 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：∵若一个非负数的平方等于，即，则是的算术平方根，又，∴的算术平方根是，说法正确． ∵若一个数的平方等于，即，则是的平方根，又，∴的平方根是，不是，说法错误． ∵，∴的立方根为，说法正确． ∵正数有两个互为相反数的平方根，的平方根为，不全等于，负数没有平方根，只有的平方根是，∴平方根等于本身的数是，说法正确． 综上，错误的是． 2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ． （2） ___________________ ；_____ ． （3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ． 【答案】 0或 8 2 【分析】（1）结合立方根的性质，得出0或都满足自身的立方根等于它本身，即可作答． （2）结合立方根的性质，进行计算，即可作答． （3）先开立方根再算平方根得出的平方根是；先求出64的算术平方根，再求出其立方根，即可作答． 【详解】解：（1）的立方根等于0，的立方根等于，的立方根等于 即如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0或； （2）， （3）先化简得，的平方根为； 化简，的立方根为． 【基础题型一 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，故该选项正确，符合题意． 【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）计算：_____________． 【答案】 【详解】∵ ，且为非负数， ∴ ． 1．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 2．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）已知，则_______． 【答案】 【分析】根据一个正数的小数点每向右（向左）移动两位，则其算术平方根的小数点向右（向左）移动一位进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，．观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：_________；_________； (2)当时，_________；当时，_________； (3)计算：． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）根据算术平方根的意义仿照题干作答即可； （3）仿照题干去掉算术平方根符号，进而计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）解：原式 ． 【基础题型二 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（25-26七年级下·甘肃定西·阶段检测）若为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由绝对值和算术平方根的非负性质得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵为实数，且， ∴，， ∴，， ∴． 【例2】（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）如果，那么___________，___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（2026九年级·广西防城港·模拟预测）若+=0，则___________，___________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性与二元一次方程组的解法，根据绝对值的非负性可知，两个非负数的和为时，每个非负数均为，据此列出二元一次方程组，求解方程组即可得到结果． 【详解】解：由绝对值的非负性可知，， 因为， 所以， 解得． 3．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 【基础题型三 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 【例2】（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 1．（2026·江苏南京·二模）估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】求出和的值，根据算术平方根的意义即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即介于和之间． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可. 【详解】解：①由表格可知，； ∴，即； 因此的平方根是，故①正确； ②由表格可知，，， ∵， ∴，故②正确； ③由表格可知，， ∴，即； ∴， ∵且， ∴，. ∴，故③错误； ④∵， ∴，即； 满足条件的整数为，共个，故④正确. 综上，合理的推断为①②④. 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 (1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； (2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)或或或 (3) 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格得到对应的的取值范围，即可解答； （3）将代入题中的式子，对比表格即可解答． 【详解】（1）解：根据表格可得112.36的算术平方根是，118.81的平方根是； （2）解：， ， 正整数a的值为或或或； （3）解：将代入可得， 根据表格可得， 答：该物体到达地面大概需要． 【基础题型四 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例2】（25-26七年级下·湖北黄石·阶段检测）已知，．则_______．若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．根据，然后代入求得答案即可，由，可知，那么，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 1．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 【答案】 【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律计算即可得到结果． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ，且是的小数点向左移动两位得到的， ． 3．（25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 【基础题型五 算术平方根的实际应用】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 【例2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：长方形内两个正方形的面积分别为，， 两个正方形的边长分别为，， 长方形的长为，宽为， 两块阴影部分的面积和为． 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是，下面结论中正确的是（   ） A．若，则， B．若，则， C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用，二元一次方程组的应用， 由图得出大正方形的边长是，中间围成的小正方形的边长是，根据正方形的面积可得，，据此根据面积求出a、b，即可判断A、B；根据a、b值求出S，可判断C、D． 【详解】解：∵大正方形的面积是64， ∴ 小正方形的面积 若，则， 则 解得：，，故A选项错误， 若，则， 则 解得：，，故B选项错误， 若，，则，故C选项正确； 若，，则，故D选项错误； 故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则______，______． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 【基础题型六 平方根概念理解】 【例1】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 【例2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若a，b是2026的两个平方根（），则______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键. 先根据平方根的性质可得，，从而可得，再代入计算即可. 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ， ， ． 1．（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义得到，，则可求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵2026的两个平方根是和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察如图所示的各方格图中阴影部分的图形（每一小方格的边长为1），如果它们都可以剪开，并拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少？这些正方形一样大吗？（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形） 【答案】拼成正方形的边长都是，一样大 拼割线如图所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【分析】阴影部分面积都是5，可得剪开重新拼成正方形的边长都是，一样大． 【详解】略 【基础题型七 求一个数的平方根】 【例1】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D：，故D错误； 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）________；________；______；_______． 【答案】 4 【详解】解：；；；． 1．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答错误的是（    ） A．菲菲 B．红红 C．平平 D．英英 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质、对顶角的性质、平方根等知识点，掌握相关性质是解题的关键． 根据平行线的性质、对等角的相等、平方根的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．两直线平行、同旁内角互补，即菲菲回答正确，不符合题意； B．对顶角相等，即红红回答正确，不符合题意； C．若，则，即平平回答错误，符合题意； D．负数没有平方根，即英英回答正确，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数，即如果，那么．反过来，“如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”也成立． （1）若，则__________； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为__________． 【答案】 【分析】（1）根据性质求解即可； （2）根据性质，平方根的定义，立方根的定义，求解即可． 【详解】（1）解：因为，所以，解得； （2）解：根据题意，得， 所以， 解得． 因为的平方根是它本身， 所以，解得， 则， 所以的立方根为． 3．（25-26七年级下·吉林·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可； （2）把a与b的值代入计算，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：， ∴的平方根是． 【基础题型八 求代数式的平方根】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求16的平方根即可 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴=±4， 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，正方形是由四个长都为a，宽都为b（）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为，我们可以通过计算正方形面积的方法求出代数式的值，则这个值为 _____． 【答案】6 【分析】先求出小正方形面积＝大正方形的面积减去4个长方形的面积，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝36， 又∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查乘法公式的变形计算，平方根计算，掌握公式变形的方法用面积法，利用数形结合思想将问题简单化是解题关键． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根． （1）根据平方根和立方根的意义求出字母m，n的值，再求的平方根即可； （2）求出p的值，再求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的算术平方根为2， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是； （2）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得：， ∴， ∴的立方根是． 【基础题型九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 【例2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方根定义，根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解m，再求平方即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴这个正数为． 故答案为：4． 1．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，根据一个数的平方根互为相反数，列式求解可得的值，进而可得平方根，再根据平方根，可得这个数，掌握一个数的平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个数为， 故选：． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）一个正数的平方根为和，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为． (1)求长方形的长与宽； (2)王芳想从这个长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸，能实现吗？请你通过计算帮助王芳分析一下． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)解：不能实现 ， ∴， 又∵半径为的圆形画纸其直径为， ∴长方形的宽小于圆的直径， ∴不能裁出半径为的圆形画纸，王芳的想法不可行． 【分析】（1）根据题意，设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米，列方程求出长方形的长和宽， （2）计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行． 【详解】（1）解：∵长方形画纸的面积为，长与宽的比为， ∴设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米， ∴， 解得：或（舍去）， ∴长方形的长为，宽为． （2）略 【基础题型十 利用平方根解方程】 【例1】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知，，，则的值是（   ） A．8 B．或2 C．或8 D．或8 【答案】B 【分析】本题考查平方根、绝对值的概念以及有理数的加法，关键利用异号条件确定组合． 根据 和 求出和的可能值，再结合 确定异号组合，最后计算的值． 【详解】解： ， 或 ， ， 或 ， 又， 和 异号， 当 时，，则 ； 当 时，，则 ， 的值为 或 ， 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平方根，解题关键是掌握平方根的性质． 一个正数有两个平方根且互为相反数，的平方根是，所以同一个数的平方根可能相等，也可能互为相反数．则或，求解即可得到答案． 【详解】解：和是同一个数的平方根， 有或， 解得或． 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）按下图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是______． 【答案】2或 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，平方根，设输入的数为x，则，利用平方根解方程即可． 【详解】解：设输入的数为x， 由题意得：， 或， 解得或， 故答案为：2或． 3．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图，现有一个边长为5的正方形，将这个正方形边长加2，形成一个新的正方形①，面积记为；再将正方形①的边长加2，形成正方形②，面积记为，以此类推，得到正方形，面积记为． (1)________； (2)请用两种形式表达（用含的代数式表达）； (3)当满足时，请求出． 【答案】(1) (2)、， (3) 【分析】（1）根据图形变换规律可得：当时，新正方形的边长为，由此即可计算面积； （2）根据正方形的边长为可直接表示面积，也可利用边长增加后面积等于增加各部分面积和表示； （3）根据（2）的结论可得，由此利用开平方解方程即可. 【详解】（1）解：， （2）解：、， （3）由（2）得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴． 【基础题型十一 平方根的应用】 【例1】（2026八年级上·吉林长春·期中）已知正方形的面积是5，那么它的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根． 设正方形的边长为 ，根据题意可得，根据平方根的定义解出即可． 【详解】解：设正方形的边长为 ，根据题意得： ，解得： 或 （不合题意，舍去）． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如果两个整数，的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有___________对． 【答案】7 【分析】首先根据题意列得方程：，由两个整数,可得是的倍数，设，代入方程，分析求解即可． 【详解】解：∵两个整数的和、差、积、商的和等于100， ∴ 即 ∴是的倍数，设， 则：， ， ∴或4或25或100， ∴或4或1或-11或-6或-3或-2（0舍去） ∴这样的整数有或或或 ； 故共有7对． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了数的整除性问题．由，得到是的倍数是解此题的关键．此题难度较大，要注意合理应用分类讨论思想． 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）按照国际标准，A系列纸为长方形．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……，将一张纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为（） A．长是宽的2倍 B．长是宽的倍 C．宽是长的倍 D．宽是长的倍 【答案】B 【详解】解：用两张纸，都按照左侧方式，将纸张线沿虚线剪开, 将四块等腰直角三角形形状的纸张，以三角形的斜边为边，以直角边为对角线，按照右侧图形进行拼装，比较两个图形正方形部分的面积，可以得到边长的平方比． 由题意，已知， ， ， 即，A系列纸的长是宽的倍． 故选：B． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是． (1)求红纸的长和宽； (2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3） 【答案】(1)红纸的长为，宽为 (2)能够剪出来，计算过程见解析 【分析】（1）设红纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设完整的圆形剪纸的半径为，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设红纸的长为，宽为，根据题意，得： ， ， ． ， ， ， 答：红纸的长为，宽为． （2）解：能够剪出来． 设完整的圆形剪纸的半径为， 则． 取3， ， 解得（负值已舍去）， ， 她能够完整剪出来． 【基础题型十二 立方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的负的平方根 C．的立方根是2 D．是有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、立方根等知识点，掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根、立方根的定义逐个判断即可． 【详解】解：A． 的平方根是，故该选项错误，不符合题意；     B． 是负数没有平方根根，故该选项错误，不符合题意；     C． 的立方根是2，故该选项正确，符合题意；         D． 是无理数，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 【例2】（25-26七年级下·上海虹口·期中）如果  ，那么_________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，把原式变为，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴为奇数， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根、数字规律等知识点，读懂题意、发现规律是解题的关键． 根据题意给出的规律，并结合数的立方根的定义确定每位数，然后再确定即可． 【详解】解：∵根据题意可知为两位数， ∴的个位上的数是9， ∵，， ∴的十位上的数是7， ∴可以断定， ∴的每位数上的数字之和为16． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了立方根的运算，解题的关键是掌握立方根的性质和运算法则． 利用立方根的性质和运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：①，成立； ②，成立； ③，不成立； ④，成立． 故答案为：③． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 【基础题型十三 求一个数的立方根】 【例1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用算术平方根的含义、立方根的含义可快速排除错误选项． 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）小明生日当天，妈妈给他准备了一份礼物放在了一个带密码锁的盒子里，密码是个三位数，其中，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数，那么这个三位数密码是______． 【答案】 【详解】解：∵已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数 ∴ ∴， ∴这个三位数密码是． 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 2．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步 确定的位数 因为，，，所以是2位数； 第2步 确定个位数字 因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9； 第3步 确定十位数字 划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3； 综合以上可得． 已知185193是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是______． 【答案】 【分析】本题按照题干给出的方法，分三步依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字，即可得到结果. 【详解】解：第1步，确定的位数， ，，， 所以是两位数； 第2步，确定的个位数字， 因为185193的个位上的数是3，，所以的个位上的数是7 ； 第3步，确定的十位数字， 划去185193后面的三位193得到数185，，， 而， 由此确定的十位上的数是5， 因此可得． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）根据表格中所给的信息，完成下列表格： 被开方数 1 平方根 0 算术平方根 2 立方根 3 【答案】 被开方数 1 4 0 27 平方根 0 不存在 算术平方根 1 2 0 不存在 立方根 1 0 3 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，由已知量计算未知量，注意负数没有平方根和算术平方根。 【详解】解：第一列，被开方数为1， ∵ ，， ∴ 的平方根为，算术平方根为，立方根为． 第二列，算术平方根为， ∵ 非负平方根，被开方数， ∵ ，满足的， ∴ 被开方数为，平方根为，立方根为． 第三列，平方根为， ∵ 平方根，被开方数， ∴ 被开方数为，算术平方根为，立方根为． 第四列，立方根为， ∵ 立方根，被开方数， ∴ 被开方数为，平方根为，算术平方根为． 第五列，立方根为， ∵ 立方根，被开方数， ∵ 是负数，负数没有平方根和算术平方根， ∴ 被开方数为，平方根和算术平方根不存在． 【基础题型十四 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 【答案】或1 【分析】设非零实数为 ，根据立方根的定义列出方程 ，通过立方运算和解方程求解． 本题考查了立方根，熟练掌握立方根的相关计算是解题的关键． 【详解】解：设这个非零实数为 ，则 ． 两边立方得 ，即 ． 因式分解得 ． 由于 ， 所以 或 ， 解得 或 ． 经检验， 和 都满足题意． 故答案为 1 或 ． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________ 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 3．（25-26七年级下·重庆潼南·期中）已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． (3)若实数m、n、p满足条件，那么的平方根是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）由平方根的含义列方程，解方程求解a的值，利用立方根的含义求解b，由无理数的整数部分的含义求解c，从而可得答案； （2）把（1）中的a，b，c的值代入，再求解平方根即可； （3）根据非负数的性质求出m、n、p的值，进而求出的值，进而求出的平方根． 【详解】（1）解：某正数的两个不同的平方根是和， ∴， 解得， 的立方根为， ， ， 是的整数部分，， ， ∴； （2）解：∵， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【基础题型十五 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 【例2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：， ． 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 【答案】 【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 【基础题型十六 立方根的实际应用】 【例1】（26-27八年级·上海·暑假作业）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 【例2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 1．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【答案】(1)，，两，1 (2)的立方根是62 【分析】（1）先根据立方根和平方根的定义求解64的平方根和立方根，再根据范例推测立方根的位数，根据个位数推出立方根的个位数字． （2）按照题目提供的步骤，先确定238328的立方根是几位数，再根据238328的个位数推断立方根的个位数，最后通过范围界定确定立方根的十位数． 【详解】（1）解：∵ ∴64的平方根是，立方根是； ∵， ∴是个两位数， ∵， ∴个位数字是1， （2）解：∵，且， ∴ ∴的立方根是两位数； ∵的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 如果划去后面的三位数，得到数238，而． ∴， ∴， ∴， ∴的立方根的十位数字是6， ∴的立方根是62， 验证：． 【基础题型十七 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 2．（25-26七年级下·山西朔州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，则___________． 【答案】5 【分析】根据算术平方根、立方根的意义求出m和n的值，然后代入即可求解． 【详解】解：的算术平方根是3， ， ， 解得． 的立方根是， ， ， 解得． ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于、的方程，联立求解得到、的值； （2）将与的值代入计算，最后根据平方根的定义得到结果． 【详解】（1）解：∵是27的立方根，且的立方根是， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， 整理得， 联立得方程组， 解得； （2）解：把，代入得， ∴的平方根为． 【提高题型一 平方根中的几何问题】 【例1】（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的定义，设正方体的棱长为x，然后依据表面积为12列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为x，则有， 解得． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为______． 【答案】 【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的倍，设未知数，根据长方形面积等于正方形面积列出方程，解方程即可． 【详解】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的倍， 设短直角边为，则长直角边为，由题意得， ， 解得或舍去， 所以周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，理解平方根的定义，掌握直角三角形、长方形的性质是正确解答的前提． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根的应用， （1）根据长方体体积的计算公式“长方体的体积底面积高”列方程求解即可； （2）根据“正方体体积的计算方法以及个小正方体体积与总体积之间的关系”列方程求解即可； 理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 2．（24-25七年级下·河南洛阳·阶段检测）如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 【答案】(1) (2) 解：不能，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为． 【分析】本题考查了平方根的应用、算术平方根的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意计算即可得解； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意得出，求出，再结合题意判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，大正方形的边长为； （2）略 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 【提高题型二 平方根的规律探究问题拓】 【例1】（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，得出第行第个数（从左往右算）为；结合第行第个数与第（是整数，且）行从左向右数第个数相差个位置，据此进行列式计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前行数据的个数是解决本题的关键． 【详解】解：由图中规律知， 第一行第二个数（从左往右算）为； 第二行第三个数（从左往右算）为； 第三行第四个数（从左往右算）为； 第四行第五个数（从左往右算）为； 以此类推， …… 第行第个数（从左往右算）为； 则 ∴第是整数，且行从左向右数第个数是． 故选：C． 【例2】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______． 【答案】45 【分析】仔细观察图形，根据前面几个图形，找到图形变化的规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：第1个图案由个小黑点组成， 第2个图案由个小黑点组成， 第3个图案由个小黑点组成， 第4个图案由个小黑点组成， ……， 第个图案由个小黑点组成， 根据题意可得，解得：（不合题意，舍去），． n的值为45． 1．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）一组实数按下列规律排列： 1；；；2；；；    第1行 ；3；；；；；    第2行 ；4；；；；    ；    第3行 …… 根据这个规律解答以下问题： （1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______； （2）实数排在第几行第几列？并说明理由． 【答案】（1）；（2）第289行第5列 【分析】（1）观察可得每行有7个数字，分别是从1开始的连续自然数的算术平方根，据此可得； （2）计算2021与7的结果，根据余数判断即可． 【详解】解：（1）由题意可得： 第4行第1列所表示的实数是； （2）2021÷7=288…5， ∴排在第289行第5列． 【点睛】本题考查了数字型规律，解题的关键是根据已知数列总结出规律． 2．（25-26七年级下·云南大理·期中）探究题：根据计算结果回答 (1)计算： ； ； ； ； ． (2)一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请用数学语言描述出来； (3)利用（2）题总结的规律计算： 利用你总结的规律计算，当时，的值． 【答案】(1)，，，，， (2)不一定，； (3)； 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：，，， ，，； （2）解：由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，即； （3）解：， ； ∵， ∴， ∴． 3．（2026·河北秦皇岛·一模）设表示一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式： ①当时，； ②当时，； ③当时，； …… 根据以上规律，解决下列问题 (1)写出第六个等式：______ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)运用：若与的差为2525．求的值． 【答案】(1) (2) 解：， 证明如下： ， ； (3) 【分析】（1）观察题干中式子的变化，根据变化规律，即可得到答案； （2）根据题干中式子的变化规律，用代数式表达即可； （3）由与的差为2525，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）略 （3）解： 与的差为2525， 整理得：， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了找规律-数字类，完全平方式的应用，利用平方根的含义解方程，理解题意，找到规律是解题的关键． 【提高题型三 解立方根方程问题】 【例1】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）下列方程中，有实数根的方程是（　　） A．x4+16＝0 B．x3+9＝0 C． D．+3＝0 【答案】B 【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过算术平方根的概念可对D进行判断． 【详解】解：A、x4≥0，x4+16＞0，方程x4+16＝0没有实数解； B、移项得，x3＝﹣9，两边开立方得，x＝，故方程的解为x＝； C、∵分子1≠0，∴，原方程没有实数解； D、∵≥0，∴，原方程没有实数解． 故选：B． 【点睛】本题考查了乘方的意义、立方根的意义、算术平方根的意义、分式的值为零的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【例2】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查利用立方根解方程，移项后，利用立方根的定义，进行求解即可，熟练掌握立方根的定义，是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴； 故答案为：． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的概念，是解题的关键： （1）根据平方根的性质，立方根的定义，进行求解，利用平方根解方程即可； （2）根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴当时， 当时，， ∴的算术平方根为或． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知与互为相反数． （1）求的平方根和立方根；     （2）解关于x的方程． 【答案】（1）平方根为±8．立方根是4；（2）x=±3． 【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得的值，最后依据平方根和立方根的定义求解即可； （2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可． 【详解】解：由题意， ∴得2a+b=0，3b+12=0， 解得b=-4，a=2． （1）∵， ∴的平方根为±8．立方根是4； （2）把b=-4，a=2代入方程，得2x2+4×（-4）-2=0，即x2=9， 解得x=±3． 【点睛】本题主要考查的是平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握平方根的定义、非负数的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和，解出b才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成．进入密室后，需解出关于x的方程，才能兑换奖励． (1)求a， b， x的值； (2)将奖励存入边长为的正方体盒子，若盒子体积比大k，求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)6 【分析】本题考查了平方根、立方根的应用等知识，解题的关键是： （1）根据平方根的定义求出b，根据立方根的定义求出a，然后把a代入方程，最后解方程求出x即可； （2）先求出k的值，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵a是125的立方根， ∴， ∴方程变形为， 解得； （2）解：根据题意，得， ∴的算术平方根为． 【提高题型四 立方根的规律探究问题】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段检测）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、、和四种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴由上述规律得：，． ①当时，，则此时； ②当时，； ③当时，，则此时； ④当时，； 综上，当或时，；当时，；当时，． 【例2】（25-26七年级下·安徽蚌埠·阶段检测）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1) (2)﹣ (3)当或时，；当或时，；当或时，． 【分析】（1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：； （2）解：由（1）中规律可得，已知，若， 则的绝对值是的且符号相反； 用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3）解：，，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或时，； 当或时，． 【点睛】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． 1．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）【发现】①；②；③；④；…… 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________． 【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： 若与的值互为相反数，求的值． 【答案】发现：（答案不唯一）归纳：；应用： 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的概念，根据题意正确找出规律是解题的关键． 发现：根据题目给出的规律解答； 归纳：根据已知的等式规律即可求解； 应用：根据题意列出方程，解方程求出x，根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】解：发现：根据题意；如（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一） 归纳：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若，则；反之也成立； 故答案为：； 应用：与的值互为相反数； ，                 解得，                           则． 2．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 1．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．2或的平方根是4 C．没有平方根 D．16的平方根是4和 【答案】D 【分析】根据平方根的相关定义对每个选项做出判断即可得到答案． 【详解】解：A、64的平方根是，故A选项错误； B、没有平方根，2的平方根是，故B选项错误； C、，9的平方根是，即的平方根是，故C选项错误； D、16的平方根是4和，故D选项正确． 【点睛】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2．（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估计无理数的大小是解题的关键． 先估算的值，确定的整数部分，然后小数部分为原数减整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 3．（2026八年级上·甘肃天水·模拟预测）已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对值和算术平方根的非负性确定的值即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 4．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 5．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 6．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 7．（25-26七年级下·全国·期中）已知一个正数的平方根分别是和，则的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义以及一个正数的两个平方根的特征是正确解答的关键． 根据正数的平方根互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， . 化简得 ， 即 ， 移项得， 解得 ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·海南海口·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为，则的算术平方根是______． 【答案】7 【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的概念，熟练掌握平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键．根据平方根的概念，两个平方根互为相反数，列方程求a的值，根据立方根的概念可求出b的值，然后计算的值，再求其算术平方根即可． 【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数， ， 即 ， 解得 ， 的立方根为 ， ， 解得 ， ， 的算术平方根为7， 的算术平方根是7． 故答案为：7． 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 【答案】 【分析】根据表格数据确定的取值范围，得到其整数部分的值，计算后，根据立方根的定义求解结果． 【详解】解：由表格可得，，， 的整数部分为 的立方根为，即的立方根为． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是_____cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可，熟记立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：这个大铅球的半径是， 由题意得：， ∴，则， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，，解得，．           ． 的平方根为， 的平方根为． 12．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) ， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出关于、的方程，先求出、的值； （2）把，代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解结果． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 把代入得， 解得； （2）解：把，代入得：， 的算术平方根是， 的算术平方根为． 13．（2026·浙江台州·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到的取值范围即可； （2）仿照示例作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵m是的整数部分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6， 所以可以取，则， 则． 14．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 15．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根与立方根重难点题型专训（5个知识点+17大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求一个数的算术平方根 1 题型二、利用算术平方根的非负性解题 2 题型三、估计算术平方根的取值范围 3 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 4 题型五、算术平方根的实际应用 5 题型六、平方根概念理解 6 题型七、求一个数的平方根 7 题型八、求代数式的平方根 8 题型九、已知一个数的平方根，求这个数 9 题型十、利用平方根解方程 10 题型十一、平方根的应用 11 题型十二、立方根概念理解 12 题型十三、求一个数的立方根 13 题型十四、已知一个数的立方根，求这个数 14 题型十五、与立方根有关的规律探索 15 题型十六、立方根的实际应用 16 题型十七、算术平方根和立方根的综合应用 17 第二部分·练提高题型 题型一、平方根中的几何问题 1 题型二、平方根的规律探究问题拓 2 题型三、解立方根方程问题 3 题型四、立方根的规律探究问题 4 第三部分・自我检测 知识点01 平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·山东临沂·期末）4的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东烟台·模拟预测）计算的结果为__________． 知识点02平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知，则的值为（   ） A．2026 B． C． D．1 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 知识点03 算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（2026·山东东营·模拟预测）2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 知识点04 立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 知识点05 立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江西赣州·期中）下列说法中错误的是（   ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根为 D．平方根等于本身的数是 2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）填空题． （1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是 _________ ． （2） ___________________ ；_____ ． （3）的平方根是 _______ ；的立方根是 _____ ． 【基础题型一 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）计算：_____________． 1．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）已知，则_______． 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，．观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：_________；_________； (2)当时，_________；当时，_________； (3)计算：． 【基础题型二 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（25-26七年级下·甘肃定西·阶段检测）若为实数，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【例2】（25-26七年级下·甘肃金昌·期末）如果，那么___________，___________． 1．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 2．（2026九年级·广西防城港·模拟预测）若+=0，则___________，___________． 3．（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【基础题型三 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【例2】 （2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 1．（2026·江苏南京·二模）估算介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表： x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 580.81 585.64 590.49 595.36 600.25 下面有四个推断： ①59049的平方根是； ②由表可知，介于24.2和24.3之间； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的整数x共有5个． 以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号） 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 (1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； (2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【基础题型四 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·湖北黄石·阶段检测）已知，．则_______．若，则_______． 1．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … … … … 根据以上规律，若，，则____________． 3．（25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【基础题型五 算术平方根的实际应用】 【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，，图中两块阴影部分的面积和为__________． 1．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是，下面结论中正确的是（   ） A．若，则， B．若，则， C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则______，______． 3．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【基础题型六 平方根概念理解】 【例1】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【例2】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若a，b是2026的两个平方根（），则______． 1．（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察如图所示的各方格图中阴影部分的图形（每一小方格的边长为1），如果它们都可以剪开，并拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少？这些正方形一样大吗？（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形） 【基础题型七 求一个数的平方根】 【例1】（25-26七年级下·安徽滁州·期中）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）________；________；______；_______． 1．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图是数学交流群中的一个截图片段，其中回答错误的是（    ） A．菲菲 B．红红 C．平平 D．英英 2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数，即如果，那么．反过来，“如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”也成立． （1）若，则__________； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为__________． 3．（25-26七年级下·吉林·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【基础题型八 求代数式的平方根】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【例2】（25-26八年级上·四川巴中·阶段检测）若，求的平方根是___________． 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，正方形是由四个长都为a，宽都为b（）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为，我们可以通过计算正方形面积的方法求出代数式的值，则这个值为 _____． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的两个平方根分别是，的算术平方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 【基础题型九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【例2】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是__________． 1．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）一个正数的平方根为和，则的值为______． 3．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为． (1)求长方形的长与宽； (2)王芳想从这个长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸，能实现吗？请你通过计算帮助王芳分析一下． 【基础题型十 利用平方根解方程】 【例1】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知，，，则的值是（   ） A．8 B．或2 C．或8 D．或8 【例2】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 1．（25-26八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）按下图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是______． 3．（25-26七年级下·浙江湖州·期末）如图，现有一个边长为5的正方形，将这个正方形边长加2，形成一个新的正方形①，面积记为；再将正方形①的边长加2，形成正方形②，面积记为，以此类推，得到正方形，面积记为． (1)________； (2)请用两种形式表达（用含的代数式表达）； (3)当满足时，请求出． 【基础题型十一 平方根的应用】 【例1】（2026八年级上·吉林长春·期中）已知正方形的面积是5，那么它的边长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如果两个整数，的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有___________对． 1．（24-25七年级下·河南周口·期中）按照国际标准，A系列纸为长方形．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……，将一张纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为（） A．长是宽的2倍 B．长是宽的倍 C．宽是长的倍 D．宽是长的倍 2．（25-26七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是． (1)求红纸的长和宽； (2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3） 【基础题型十二 立方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．是的负的平方根 C．的立方根是2 D．是有理数      【例2】（25-26七年级下·上海虹口·期中）如果  ，那么_________． 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列等式：①；②；③；④，不成立的是________．（请填写序号） 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【基础题型十三 求一个数的立方根】 【例1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）小明生日当天，妈妈给他准备了一份礼物放在了一个带密码锁的盒子里，密码是个三位数，其中，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．已知的算术平方根为3，b是8的立方根，c是平方根等于本身的数，那么这个三位数密码是______． 1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？可以按如下步骤思考： 第1步 确定的位数 因为，，，所以是2位数； 第2步 确定个位数字 因为59319的个位上的数是9，，所以的个位上的数是9； 第3步 确定十位数字 划去59319后面的三位319得到数59，，，而，由此能确定的十位上的数是3； 综合以上可得． 已知185193是整数的立方，按照上述方法，它的立方根是______． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）根据表格中所给的信息，完成下列表格： 被开方数 1 平方根 0 算术平方根 2 立方根 3 【基础题型十四 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段检测）若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 2．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为___________ 3．（25-26七年级下·重庆潼南·期中）已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． (3)若实数m、n、p满足条件，那么的平方根是多少？ 【基础题型十五 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 2．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【基础题型十六 立方根的实际应用】 【例1】（26-27八年级·上海·暑假作业）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（      ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 1．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段检测）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为______· 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）综合与实践 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．明杰想知道华罗庚怎样迅速地求出计算结果，于是他按下面的步骤试了一试． 第一步：∵，，且， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步：∵59319的个位数字是9，而，∴能确定的个位数字是9； 第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而， ∴，∴， ∴59319的立方根的十位数字是3，∴59319的立方根是39． 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：64的平方根是________，立方根是________； 1331的立方根是一个________位数，其个位数字是________； (2)仿照明杰的方法求238328的立方根． 【基础题型十七 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 2．（25-26七年级下·山西朔州·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，则___________． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【提高题型一 平方根中的几何问题】 【例1】（2025·广东肇庆·二模）已知一个正方体的表面积为12，则这个正方体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．3 【例2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，把一张面积为的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为______． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 2．（24-25七年级下·河南洛阳·阶段检测）如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 3．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【提高题型二 平方根的规律探究问题拓】 【例1】（25-26八年级下·安徽滁州·阶段检测）如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______． 1．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）一组实数按下列规律排列： 1；；；2；；；    第1行 ；3；；；；；    第2行 ；4；；；；    ；    第3行 …… 根据这个规律解答以下问题： （1）直接写出第4行第1列所表示的实数是______； （2）实数排在第几行第几列？并说明理由． 2．（25-26七年级下·云南大理·期中）探究题：根据计算结果回答 (1)计算： ； ； ； ； ． (2)一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请用数学语言描述出来； (3)利用（2）题总结的规律计算： 利用你总结的规律计算，当时，的值． 3．（2026·河北秦皇岛·一模）设表示一个两位数，其中是十位上的数字（），例如，当时，表示的两位数是45．观察以下等式： ①当时，； ②当时，； ③当时，； …… 根据以上规律，解决下列问题 (1)写出第六个等式：______ (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明： (3)运用：若与的差为2525．求的值． 【提高题型三 解立方根方程问题】 【例1】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）下列方程中，有实数根的方程是（　　） A．x4+16＝0 B．x3+9＝0 C． D．+3＝0 【例2】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）方程的解是______． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知某正数的两个平方根分别是和，64的立方根为，关于x的方程满足 (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）已知与互为相反数． （1）求的平方根和立方根；     （2）解关于x的方程． 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是和，解出b才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成．进入密室后，需解出关于x的方程，才能兑换奖励． (1)求a， b， x的值； (2)将奖励存入边长为的正方体盒子，若盒子体积比大k，求的算术平方根． 【提高题型四 立方根的规律探究问题】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·阶段检测）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【例2】（25-26七年级下·安徽蚌埠·阶段检测）观察下列规律回答问题：，，，，， (1)则　　；　　；按上述规律，已知数小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？ (2)已知，若，用含的代数式表示，则　　； (3)根据规律写出与a的大小情况． 1．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）【发现】①；②；③；④；…… 根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：___________． 【归纳】等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数，，若_____，则；反之也成立． 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： 若与的值互为相反数，求的值．                                   2．（25-26七年级下·山东滨州·阶段检测）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 3．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 1．（25-26七年级下·云南昭通·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．2或的平方根是4 C．没有平方根 D．16的平方根是4和 2．（25-26八年级上·上海静安·期中）的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 3．（2026八年级上·甘肃天水·模拟预测）已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 4．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西临汾·阶段检测）的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 7．（25-26七年级下·全国·期中）已知一个正数的平方根分别是和，则的值为_________． 8．（25-26八年级上·海南海口·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根为，则的算术平方根是______． 9．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）观察下面表格： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 根据上表回答问题：的整数部分为，求的立方根_________． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是_____cm（球的体积公式，其中是球的半径）． 11．（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根．    12．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 13．（2026·浙江台州·二模）在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 14．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 15．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 学科网（北京）股份有限公司 $