第二十章 二次根式 单元检测卷 -2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过系统梳理二次根式知识体系，从最简二次根式概念、运算性质到实际应用，构建“概念-运算-应用”的递进框架，并用对比表格呈现易混淆点如最简与非最简根式的区别，清晰展现全章重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如第14题规律探究培养推理意识，第25题文化长廊面积计算强化应用意识，第23题通过等式规律引导数学思维。基础题夯实运算能力，综合题提升创新意识，教师可据此实施分层教学，学生自主复习时能明确薄弱点，高效突破重难点。

2026-2027学年八年级上学期数学沪教五四版第二十章二次根式单元重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、的被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； C、的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D、的被开方数含分母，不是最简二次根式． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式指化简为最简二次根式后，被开方数与的被开方数相同，因此将各选项化为最简二次根式后判断即可． 【详解】解：选项A中是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项B中，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式，可以合并； 选项C中，化简后被开方数为，与被开方数不同，故不能合并； 选项D中，不含被开方数为的二次根式，故不能合并． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）一个矩形的长和宽分别是，，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式乘法法则化简计算，即可得到答案． 【详解】解：． 5．（26-27八年级上·广东深圳·期中）算术平方根有如下运算：，（），故化简：可得或两种不同结果．化简：，会有几种不同的结果（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用算术平方根的性质将原式转化为含绝对值的式子，通过零点分段讨论得到不同的化简结果． 【详解】解：由二次根式有意义的条件得，即 原式 ， ， ， 原式 当时，，， 原式 当时，，， 原式 当时，，， 原式 ∴会有3种不同的结果． 6．（25-26七年级下·天津河东·期末）如图长方形内两个正方形的面积分别为，，长方形的周长、阴影部分的面积分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先由正方形面积求出两个正方形的边长，再确定长方形的长和宽，然后根据长方形周长公式计算出长方形的周长．用长方形面积减去两个正方形面积得到阴影部分面积． 【详解】解：正方形面积为的正方形，其边长为，面积为的正方形，其边长为， 长方形的长为，宽为， 长方形周长： ； 长方形面积 ， 两个正方形面积之和为， 阴影部分面积为 ． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·山东威海·期末）要使有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，确定被开方数需大于，据此列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需同时满足分式分母不为和二次根式的被开方数非负， 因此可得， 解不等式得． 8．（2026·上海闵行·模拟预测）分母有理化后的结果是______ 【答案】 【分析】要去掉分母中的根号得到有理化结果，给原式分子分母同乘分母的二次根式化简即可． 【详解】解：给的分子分母同时乘以， 可得． 9．（26-27八年级上·四川绵阳·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 10．（25-26八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 11．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】由数轴可知，进而化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 根据二次根式的性质可得， 根据绝对值的性质可得， 所以． 12．（25-26八年级下·广东惠州·期中）已知，，则的值为________． 【答案】/ 【分析】先对所求代数式提取公因式因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ． 13．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是和，那么图中两块阴影部分的面积和是_________． 【答案】/ 【分析】根据正方形的面积求出边长，确定长方形的长和宽，利用面积的和差关系求解即可． 【详解】解： 两个正方形的面积分别为 和， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， 长方形的长为，宽为， 阴影部分的面积和为． 14．（25-26八年级下·全国·暑假作业）小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 【答案】 【分析】（1）根据前4个等式写出第5个等式即可； （2）根据前5个等式归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1个等式为，即 第2个等式为，即， 第3个等式为，即， 第4个等式为，即， 第5个等式为，即， 归纳推得：第n个等式为，其中n为正整数． 15．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 【答案】/ 【分析】根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 16．（24-25八年级上·四川内江·期中）形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据题目给出的方法结合完全平方公式将转化为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 17．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查利用完全平方公式化简复合二次根式，熟练掌握二次根式的性质与完全平方公式的结构是解题关键，将被开方数拆分为两个正数的和，构造完全平方式即可化简． 【详解】解： 18．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝_____． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式以及分式的运算，先将代入得到原式，再根据分母有理化的方法将分式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4.4 (2) 【详解】（1）解：                       ． （2）解： ． 20．（25-26八年级下·湖北黄冈·阶段检测）先化简；，然后再选取你喜欢而又合适的、的值，代入化简后的式子进行计算． 【答案】，当，时，原式． 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算和化简求值，先利用二次根式的乘除法化简，再选取合适的字母值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 21．（24-25八年级下·广西防城港·期中）素养提升：阅读下列解题过程： ， ． 利用上面的解法化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解答的关键． （1）仿照例子，直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）仿照例子，直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】（1）解：根据材料中的方法看，可得 （2）解： 22．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的． (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______________． (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2)当时， (3)2 【分析】（1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，理由如下： ∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的． （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，． （3）解：， ． 原式． 23．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式： ①；②；③；… 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子． (2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律． (3)利用上述结果计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算的应用，根据题意正确总结规律是解题的关键． （1）利用题中等式的规律即可得到； （2）根据题目中式子的特点，找到规律得出第n个等式； （3）利用（2）的结论得出的规律，再裂项计算即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；… ∴第⑥个式子为． （2）根据题干规律可得：第n个式子为． （3）根据（2）中规律可得： 原式 ． 24．（25-26八年级下·全国·周测）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题 解法 已知，，试用含，的式子表示 利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 【答案】 【分析】模仿题目给出的示例，先将化为，然后将分子利用已知条件，进行代换，化简即可． 【详解】解： = =． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．解题关键是将目标根式拆成已知根式与的乘积，再整理成用、表示的形式． 25．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学沪教五四版第二十章二次根式单元重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东临沂·期末）下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）一个矩形的长和宽分别是，，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·广东深圳·期中）算术平方根有如下运算：，（），故化简：可得或两种不同结果．化简：，会有几种不同的结果（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级下·天津河东·期末）如图长方形内两个正方形的面积分别为，，长方形的周长、阴影部分的面积分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·山东威海·期末）要使有意义，则的取值范围是___________． 8．（2026·上海闵行·模拟预测）分母有理化后的结果是______ 9．（26-27八年级上·四川绵阳·期中）计算：______． 10．（25-26八年级下·天津西青·期末）已知是整数，则正整数的最小值为____________． 11．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 12．（25-26八年级下·广东惠州·期中）已知，，则的值为________． 13．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图所示，长方形内两个正方形的面积分别是和，那么图中两块阴影部分的面积和是_________． 14．（25-26八年级下·全国·暑假作业）小明做数学题时，发现，，，，… 按上述规律，第五个等式是________，第个等式是________． 15．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______． 16．（24-25八年级上·四川内江·期中）形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是________． 17．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如 请用上述方法探索并解决下列问题：__________． 18．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝_____． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）计算： (1)． (2)．             20．（25-26八年级下·湖北黄冈·阶段检测）先化简；，然后再选取你喜欢而又合适的、的值，代入化简后的式子进行计算． 21．（24-25八年级下·广西防城港·期中）素养提升：阅读下列解题过程： ， ． 利用上面的解法化简下列各式： (1)； (2)． 22．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的． (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______________． (3)当时，求的值． 23．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）观察下列等式： ①；②；③；… 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑥个式子． (2)用含n（n为正整数）的式子表示上面各个等式的规律． (3)利用上述结果计算：． 24．（25-26八年级下·全国·周测）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题 解法 已知，，试用含，的式子表示 利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 25．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $