专题04 二次根式章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

该初中数学讲义以“专题+考点”形式系统构建二次根式知识体系，通过17个易错考点覆盖求二次根式的值、参数确定、有意义范围等核心内容，按“基础理解-性质应用-综合运算”逻辑呈现知识脉络，突出性质化简、混合运算等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“易错必刷”分层练习设计，如求参数最小值（第4题）、比较二次根式大小（第36题）等题型，培养运算能力与推理意识，规律探究题（第51题）发展创新意识。基础题巩固概念，综合题提升应用，助力学生自主突破薄弱点，为教师实施精准复习提供清晰教学路径。

专题04 二次根式章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 求二次根式的值】 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）当时，二次根式的值是_______． 3．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）． 【易错必刷二 求二次根式中的参数】 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若是一个整数，则最小正整数的值是______． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【易错必刷三 求二次根式有意义时字母的取值范围】 7．（25-26八年级下·吉林·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）使式子有意义的x的取值范围是______． 9．（25-26八年级下·广西河池·期中）已知x ，y是实数，且．求的值． 【易错必刷四 利用二次根式的性质化简】 10．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）若，，则________．（用含、的代数式表示） 12．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： 【易错必刷五 二次根式的乘除混合运算】 13．（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）计算的结果为______． 15．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）计算 (1)； (2)． 【易错必刷六 由根式化简结果反推字母取值范围】 16．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 17．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 18．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【易错必刷七 最简二次根式的判断】 19．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若是最简二次根式，则的值可以是________．（写出一个即可） 21．（26-27八年级上·北京·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【易错必刷八 复合二次根式的化简】 22．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·山东青岛·单元测试）当时，化简：______． 24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【易错必刷九 分母有理化计算】 25．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 26．（2025八年级上·上海·专题练习）化简：_____． 27．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【易错必刷十 同类二次根式】 28．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）最简二次根式能与合并，则________． 30．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【易错必刷十一 二次根式的加减运算】 31．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）下列各式中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 32．（26-27八年级上·吉林长春·期中）______． 33．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是和．求圆环的宽度d（取）． 【易错必刷十二 比较二次根式的大小】 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）的值一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 35．（25-26八年级上·全国·课前预习）通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6_______； （2）_______； （3）_______1； （4）_______． 36．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【易错必刷十三 已知字母的值，化简求值】 37．（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 38．（2025·湖北孝感·二模）已知，则的值为______． 39．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段检测）已知，，求的值． 【易错必刷十四 已知条件式，化简求值】 40．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，则代数式的值为（　） A．2 B．6 C．4 D． 41．（25-26八年级上·河南新乡·期中）若，则化简______ ． 42．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______． (2)化简； (3)若，求的值． 【易错必刷十五 二次根式混合运算】 43．（2026·河北·一模）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 44．（2026·天津红桥·一模）计算的结果为________． 45．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【易错必刷十六 实数的混合运算】 46．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，是聪聪、亮亮和贝贝学习了实数之后的对话，请你根据他们三人的对话内容，求的值（　　） A． B． C． D． 47．（25-26七年级下·福建厦门·期中）若，则，其中m的值为_________． 48．（25-26七年级下·北京·期末）计算：． 【易错必刷十七 与实数运算相关的规律题】 49．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8……，按此规律，则第10个“智慧数”是________，第2022个智慧数是________． 51．（25-26八年级下·福建莆田·期中）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 求二次根式的值】 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当时，二次根式的值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将代入二次根式可得． 2．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）当时，二次根式的值是_______． 【答案】 【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、化简绝对值、零指数幂、二次根式化简，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的运算，能正确运用运算法则是解题的关键． 【易错必刷二 求二次根式中的参数】 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若是一个整数，则最小正整数的值是______． 【答案】6 【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽． 【详解】解：， 当，6，时，都可以开方， 是最小正整数， 时，被开方数开得尽，结果为整数，故． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 【易错必刷三 求二次根式有意义时字母的取值范围】 7．（25-26八年级下·吉林·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，即可求出的取值范围． 【详解】∵ 二次根式有意义的条件是被开方数满足， ∴ 对于二次根式，可得 因此的取值范围是． 8．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）使式子有意义的x的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：二次根式有意义要求被开方数非负，分式有意义要求分母不为， ， 且． 9．（25-26八年级下·广西河池·期中）已知x ，y是实数，且．求的值． 【答案】0 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求得的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：根据二次根式的意义可得：， 解之得：， 把代入，得： ∴． 【易错必刷四 利用二次根式的性质化简】 10．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A，，A错误； 对于选项B，，B错误； 对于选项C，，C错误； 对于选项D，．等式成立，D正确． 11．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）若，，则________．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，将拆分为，再代入已知条件计算即可. 【详解】解：，， . 12．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）当时，化简： 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【易错必刷五 二次根式的乘除混合运算】 13．（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 14．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）计算的结果为______． 【答案】6 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 15．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的计算，遵循运算法则，先乘除后加减，结果要计算到最简的形式． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【易错必刷六 由根式化简结果反推字母取值范围】 16．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 对选项逐一判断： A、，被开方数含分母，不满足条件，错误； B、，是能开得尽方的因数，不满足条件，错误； C、，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，正确； D、，被开方数含分母，不满足条件，错误． 17．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需为非负数，且不含能开得尽方的因数，据此求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴被开方数的值需为不含完全平方因数的正整数， ∴可令， 解得（答案不唯一）． 18．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【易错必刷七 最简二次根式的判断】 19．（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义处理：被开方数的因数是整数，因式是整式；不含开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．是最简二次根式，符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．的根指数为3，不是二次根式，不符合题意． 20．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）若是最简二次根式，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：当时，是最简二次根式， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义． 21．（26-27八年级上·北京·课后作业）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是，； (2)是； (3)不是，． 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． （1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可； （2）根据定义判断是最简二次根式； （3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，； （2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式． （3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式， ． 【易错必刷八 复合二次根式的化简】 22．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 23．（25-26八年级下·山东青岛·单元测试）当时，化简：______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 24．（25-26八年级上·上海·阶段检测）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 【易错必刷九 分母有理化计算】 25．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理化因式，有理化因式是指与给定表达式相乘后结果为有理式的表达式．对于单个平方根表达式 ，其自身即为有理化因式，因为相乘后可得有理式 ． 【详解】∵ （有理式）， ∴ 是自身的一个有理化因式． 故选：D． 26．（2025八年级上·上海·专题练习）化简：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化，根据二次根式的性质得到，再分母有理化即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，则； ∴； 故答案为：． 27．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）找出规律后，根据运算法则进行运算即可； （2）根据（1）中的规律把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第个等式：； 故答案为： （2）解： 【易错必刷十 同类二次根式】 28．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列式子中和是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式； 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为； A选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； B选项：，化简后为整数，不符合要求； C选项：是最简二次根式，被开方数为，，不符合要求； D选项：，最简二次根式的被开方数为，与的被开方数相同， 和是同类二次根式； 29．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）最简二次根式能与合并，则________． 【答案】2 【分析】根据能合并的最简二次根式为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：最简二次根式能与合并， 与是同类二次根式， ， 解得． 30．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 【易错必刷十一 二次根式的加减运算】 31．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）下列各式中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用同类二次根式合并法则和二次根式乘法法则判断，只有同类二次根式可以合并，合并时系数相加被开方数不变，二次根式乘法满足． 【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，A错误； ，B错误； 根据二次根式乘法法则，，计算符合法则，C正确； 与不是同类二次根式，不能合并，D错误． 32．（26-27八年级上·吉林长春·期中）______． 【答案】 【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：． 33．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是和．求圆环的宽度d（取）． 【答案】 【分析】先利用圆的面积公式及二次根式的性质求得两个圆的半径，再作差求解即可． 【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r， 根据题意，得，， ∴，， ∴，， ∴圆环的宽度． 【易错必刷十二 比较二次根式的大小】 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）的值一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 【答案】B 【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可． 【详解】解: = ∵有意义， ∴,， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键． 35．（25-26八年级上·全国·课前预习）通过估算，比较下列各组数的大小： （1）6_______； （2）_______； （3）_______1； （4）_______． 【答案】 【分析】本题考查了整数、分数与算术平方根的大小比较，利用平方运算，将整数转化为二次根式，对被开方数进行大小比较，并掌握作差法，若，则；若，则；若，则，是解题的关键． （1）计算得到为的算术平方根，比较与大小即可求解； （2）两个算术平方根比较大小，只需要比较被开方数的大小即可； （3）把与作差，再与比较即可； （4）把与作差，再与比较即可． 【详解】解：（1），且， ， 故答案为：． （2）被开方数， ， 故答案为：． （3）， ，即， 故答案为：． （4）， ，即， 故答案为：． 36．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）老师在课堂上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a>b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和 的大小． 解：，， ∵，∴， 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)比较 与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，， 又，即， ， ∴， ∴． 【易错必刷十三 已知字母的值，化简求值】 37．（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 38．（2025·湖北孝感·二模）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·新疆喀什·阶段检测）已知，，求的值． 【答案】20 【分析】先求得的值，然后根据完全平方公式将代数式变形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【易错必刷十四 已知条件式，化简求值】 40．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，则代数式的值为（　） A．2 B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】将代数式配方得，然后将，代入求解即可． 【详解】解： ． 故选A 【点睛】本题考查了代数式求值，掌握完全平方公式，实数的计算是解题的关键． 41．（25-26八年级上·河南新乡·期中）若，则化简______ ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，可得，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案． 【详解】解：由，得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，解题关键是利用二次根式的性质化简二次根式． 42．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∵ ∴ ∴即 ∴ ∴． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______． (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用分母有理化计算； (2)先分母有理化，然后合并即可； (3)先利用得到，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）解： ； （3）， ， ∴，即． ∴． ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式． 【易错必刷十五 二次根式混合运算】 43．（2026·河北·一模）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，本题可运用平方差公式进行简便计算，直接代入公式运算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 44．（2026·天津红桥·一模）计算的结果为________． 【答案】2 【分析】因为符合平方差公式的结构，所以可采用平方差公式进行计算． 【详解】原式． 45．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷十六 实数的混合运算】 46．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，是聪聪、亮亮和贝贝学习了实数之后的对话，请你根据他们三人的对话内容，求的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方根，算术平方根，绝对值，正确求出是解题的关键． 先根据平方根，算术平方根的概念，绝对值，求出，，，再代入进行计算． 【详解】解：∵实数a的平方根是它本身， ∴， ∵正实数b的算术平方根是它本身， ∴， ∵负实数c的绝对值是3， ∴， ∴ ， 故选：A． 47．（25-26七年级下·福建厦门·期中）若，则，其中m的值为_________． 【答案】3 【分析】将已知两边同时平方，将结果与对比，即可求出的值． 【详解】解： 又 48．（25-26七年级下·北京·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【易错必刷十七 与实数运算相关的规律题】 49．（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵… ∴用含的等式表示为， ∴第2021个等式为． 故选：C． 50．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为，，，……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8……，按此规律，则第10个“智慧数”是________，第2022个智慧数是________． 【答案】 16 2699 【分析】观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，则第n组的第一个数为4n（n≥2，且n为正整数），用2020除以3可知2020是第674组的第1个数，用4乘以674即可得出答案． 【详解】解：“智慧数”按从小到大顺序构成如下数列： 3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，… ∴第10个“智慧数”是16； 观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数， ∴第n组的第一个数为4n（n≥2，且n为正整数）． ∵2022÷3＝674， ∴第2022个智慧数是第674组中的第3个数，即为4×674+3＝2699． 故答案为：16，2699． 【点睛】本题考查规律探索，根据题目中的数据，找出规律是解题的关键． 51．（25-26八年级下·福建莆田·期中）观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)__________________；__________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______； (3)利用上述规律计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． （1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）根据已知等式的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题中规律可得； ． （2）解：根据题中规律可得； （3）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $