湖北武汉市第三中学2026-2027学年高二上学期9月12日数学周测

**基本信息** 武汉三中高二数学周测聚焦空间向量、立体几何、概率统计等核心知识，通过电路图概率、商场抽奖等真实情境设计问题，梯度覆盖基础巩固与创新应用，适配高二阶段性能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间基底判定、线面平行条件|结合长方体模型考查空间观念| |多选题|3/18|频率分布直方图、独立事件判断|通过骰子抛掷情境强化数据意识| |填空题|3/15|方向向量与法向量、方差计算|设置开放型事件个数问题提升推理能力| |解答题|5/77|立体几何证明与二面角计算、概率应用|以翻折问题、促销抽奖为载体，综合考查运算能力与应用意识|

武汉三中高二数学周测0912 一、单选题（40分） 1．（5分）若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（5分）已知不同的直线和不重合的平面，则使成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 4．（5分）已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 5．（5分）已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（    ） A． B． C． D． 6（5分）．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）一个电路图如图所示，，，，，，为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（    ）    A． B． C． D． 8．（5分）在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（18分） 9．（6分）某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（    ）    A． B．众数是 C．中位数是 D．第百分位数是 10．（6分）连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件A与事件B独立 D．事件A与事件C互斥 11．（6分）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 三、填空题（15分） 12．（5分）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 13．（5分）已知A组：2，3，4，5；B组：，7，8，9，A组数据的平均数是______；若A，B两组数据的方差相等，则______. 14．（5分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________． 四、解答题(77分) 15．（13分）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 16．（15分）如图，在四棱锥中，，，，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)已知，，，求二面角的余弦值． 17．（15分）某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件A，“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 18．（17分）如图1，在平面五边形中，，将沿折起得到如图2所示的四棱锥，且，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若为棱上一动点，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求 （ii）求点到平面的距离． 19．（17分）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至. (1)设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上. （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； (2)求二面角的余弦值的最小值. 试卷第4页（共4页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A D A B B ABD ABC 题号 11 答案 BC 1．C 【详解】∵与共面， ∴A，B，D不正确，C正确. 2．D 【分析】结合长方体模型分析判断各个选项的对错可得. 【详解】如图，在长方体中， 选项A：记平面为平面，平面为平面，平面为平面， 显然有，但不满足，所以A错误； 选项B：记为直线，则满足，但不满足，所以B错误； 选项C：记为直线，为直线，则满足，但不满足，所以C错误； 选项D：由线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以D选项正确． 3．C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 4．A 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 5．D 【分析】先通过“至少一个不发生”的概率求出，再用概率加法公式求得，最后利用对立事件算出都不发生的概率. 【详解】， ， ， . 6．A 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 7．B 【分析】先求出灯不亮的概率，再求出灯亮的概率. 【详解】开关C断开的概率为,开关D断开的概率为,开关A、B至少一个断开的概率为,开关E、F至少一个断开的概率为,故灯不亮的概率为,故灯亮的概率为. 故选：B. 8．B 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，， ，， ， ，， ，，， ，， 即. 9．ABD 【分析】利用频率分布直方图中矩形面积等于该组频率，且所有矩形面积总和为1的性质，通过计算累积频率来逐一求解各选项即可. 【详解】，解得，故A正确， 最高的矩形对应的区间是，该区间的中点值为，故B正确， 的频率为，的频率为， 的频率为，， 因为，所以中位数一定落在下一个区间内， 设中位数为，则，解得，故C错误， 由上知前2组的累积频率为，前3组的累积频率为， 所以第百分位数落在区间内， 设第百分位数为，则，解得，故D正确. 10．ABC 【详解】选项A，，事件与事件相互独立， 则，A正确； 选项B，为第二次向上点数为1或2或3或5，则，B正确； 选项C，事件与事件相互不影响，所以事件与事件相互独立，C正确； 选项D，“第一次向上点数为5”，则，即可以同时发生，不互斥，D错误. 11．BC 【分析】做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D. 【详解】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 12．0 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 13． /3.5 6或10 【分析】先根据平均数公式计算A组的平均数，再计算A组的方差，利用两组方差相等列方程求解的取值. 【详解】A组的平均数：. A组的方差： . 设B组的平均数为，则. 由题意知，则 ， 整理得，即，解得或，经检验均符合要求. 14． 【分析】先由三事件乘积独立条件推出的元素个数与元素个数的倍数关系，分情况筛选，再结合独立锁定必含数字 2，结合不独立排除数字，最终统计出符合条件的集合共个. 【详解】由，可得 设事件包含样本点个数为，事件包含样本点个数为，则， 因为，所以，即 因为，包含个样本点，所以，即， 若，则，即，则，，与题意不符； 若，则，，则，所以， 即中有个数来自，个数来自，又，且， 所以，即若，则或，此时，与题意不符； 所以或， 若，则，与题意不符； 综上，满足条件的事件的个数为. 15．(1) (2) 【分析】（1）求出直线的方程，与直线联立，即可求出A的坐标； （2）先求出点C的坐标，进而可求解. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 16．(1)取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，． 又因为，，所以且． 所以四边形为平行四边形．所以．     又因为平面，平面， 所以平面．     (2) 【分析】（1）构造平行四边形，利用线线平行推证线面平行；（2）借助面面垂直性质建立空间直角坐标系，求出各点坐标，分别求出两个半平面的法向量，计算法向量夹角余弦，结合图形判断二面角实际为钝角，得到最终余弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接．因为，所以． 又因为侧面底面，且平面平面，平面， 所以平面．  如图，在平面中，作，则，，，建立空间直角坐标系． 连接，在中，因为，，所以． 在中，因为，，所以．   所以，，，，，． 所以，． 设平面的法向量是，则，即，     令，则，．于是． 因为平面，所以是平面的一个法向量．   所以． 由题意和图形可知，二面角为钝角，所以其余弦值为． 17．(1) (2)①；②事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立. 【分析】（1）利用古典概型概率公式，计算一等奖对应样本数占总样本数的比值即可. （2）①通过对立事件概率公式，用1减去两次均未获得一等奖的概率得到；②分别计算、、，验证是否满足独立事件判定条件即可。 【详解】（1）记个红球分别为，个白球分别为，蓝球为. 一次性摸2个球的样本空间为，共个样本点. 获得一等奖的样本点有，共个样本点. 所以甲获得一等奖的概率为. （2）乙消费1000元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为. ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件，则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件， 所以，，两次均未获得一等奖的概率为， 所以. ②先计算单次抽奖各事件的概率： 按原规则获得二等奖（摸出1红1蓝）的概率为； 摸出1白1蓝的概率为； 未摸到蓝球的概率为. 事件为“恰好获得1个二等奖”，包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸蓝球；两次均摸出1白1蓝（仅获得额外1个二等奖），所以. 事件为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况：第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 所以. 所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 18．(1)证明见解析 (2)（i）或（ii）或． 【分析】（1）先由平面几何性质得到，结合折叠后推出平面，可得，再由勾股定理证得，最后根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）（i）根据第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，设得到的坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用线面角的向量计算公式列方程求解得到结果；（ii）在已建立的空间直角坐标系中求出平面的法向量，结合已得的点坐标，利用点到平面的距离向量公式计算得到所求距离，也可通过等体积法结合三棱锥体积关系求解。 【详解】（1）连接， 因为，所以四边形为矩形， 所以， 因为平面，所以平面． 又平面，所以，所以， 又，， 所以， 因为，所以，所以， 因为平面， 所以平面． （2）过点作于点，由（1）知平面． 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以两两垂直， 过点作交于点， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，所以，则， 所以， 则． 所以． （i）设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则．所以． 又， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 所以或． （ii）设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，所以． 因为，所以点到平面的距离为． 由（i）得或， 当时，，此时点到平面的距离为； 当时，，此时点到平面的距离为． 综上，点到平面的距离为或． 19．(1)（i）证明：在中，由，得， 所以， 且，即， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （ii）. (2). 【分析】（1）（i）通过证明平面，证得平面平面； （ii）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，由此求得球的半径； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其最小值. 【详解】（1）（i）略. （ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径， 则， 所以， 解得，所以球O的半径为； （2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作， 因平面,则平面. 则由（1）， 设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以， 设平面一个法向量为，则， 即，取， 则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 答案第12页（共13页） 答案第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $