2.2.1有理数的乘法（第2课时 有理数的乘法运算律及多个有理数相乘）同步练- 2026‑2027学年人教版(七年级数学上册

**基本信息** 第二章有理数的乘法第2课时同步练，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，实现从单一运算到综合应用的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|乘法符号法则、运算律基本形式|选择1-5考查符号判断，填空11-13强化运算律直接应用，夯实概念理解| |中档|运算律灵活运用、多有理数相乘|选择6-8辨析运算律适用，解答17-19训练简算技能，提升运算准确性| |提升|综合应用与实际问题|解答21-23结合行程、股票等情境，22题规律探究，发展应用意识与创新思维|

第二章 有 理 数 的 运 算 2.2.1 有理数的乘法 第2课时 有理数的乘法运算律及多个有理数相乘 一、选择题 1．在数5，﹣3，2，﹣4中任取三个数相乘，其中积最小的是（　　） A．﹣30 B．24 C．﹣40 D．60 【答案】C． 【分析】因为几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，而负数小于一切正数，由于本题负数只有两个，故四个数中取三个数相乘，负因数有1个时，可得到积的最小值． 【详解】解：由题意，知两个正数与最小的负数的积最小， 即5×2×（﹣4）＝﹣40． 故选：C． 【点睛】比较有理数的大小的方法： （1）负数＜0＜正数； （2）两个负数，绝对值大的反而小． 2．下列式子中，积的符号为负的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负号，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； 故选B． 3．已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），下列叙述正确的是（　　） A．a，b皆为正数 B．a，b皆为负数 C．a为正数，b为负数 D．a为负数，b为正数 【答案】D． 【分析】根据有理数乘法的运算法则，有理数乘法运算中有偶数个负数相乘结果为正数，有奇数个负数相乘结果为负数． 【详解】解：∵a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）中共有3个负数相乘， ∴a为负数， ∵b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45）中共有4个负数相乘， ∴b为正数， ∴a为负数，b为正数， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数乘法中符号的运算规律，其依据是：有理数乘法运算中有偶数个负数相乘结果为正数，有奇数个负数相乘结果为负数． 4．已知 a ，b ，c 为非零有理数 ，若，则 a ，b ，c 可能是  （        ） A．a，b，c同负 B．，b与c同号 C．，a与c同号 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练正确处理符号． 根据得到a、b、c中负数的个数为0或2，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中负数的个数为0或2， A、当a、b、c同负时，，故该选项错误； B、当且b与c同号时，若b、c同正，则；若b、c同负，则，故可能； C、∵，无论a、c同正还是同负，则，故，故不可能； D、∵，∴，故不可能； 故选：B． 5．简便运算15×（）＝1515运用的运算律是（　　） A．乘法交换律 B．加法结合律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 【答案】D． 【分析】乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，据此判断即可． 【详解】解：简便运算15×（）＝1515运用的运算律是乘法分配律． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 6．某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律，核心是掌握不同运算律的定义．乘法分配律的内容为：一个数与几个数的和(或差)相乘，等于把这个数分别与这几个数相乘，再将所得的积进行相应的加减．第一步是将括号外的数与括号内的每一项分别相乘，符合乘法分配律的应用． 【详解】解：观察第一步运算：，是把分别与括号内的、、相乘，再将积相加，这符合乘法分配律的特征． 故选：C． 7．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 8．下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 9．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 10．若“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（　　） A． B． C．2450 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的乘除法的运算方法，以及阶乘的含义和求法，要熟练掌握．根据阶乘的定义，，再代入计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 二、填空题 11．运用运算律填空． （1）﹣2×（﹣3）＝（﹣3）×（　 　）． （2）[（﹣3）×2]×（﹣4）＝（﹣3）×[（　 　）×（　 ）]． （3）（﹣5）×[（﹣2）+（﹣3）]＝（﹣5）×（　 　）+（　 　）×（﹣3）． 【答案】（1）﹣2； （2）2，﹣4； （3）﹣2，﹣5． 【分析】（1）根据乘法交换律即可得出结果； （2）根据乘法结合律即可得出结果； （3）根据乘法分配律即可得出结果． 【详解】解：（1）∵ab＝ba， ∴﹣2×（﹣3）＝（﹣3）×（﹣2）， 故答案为：﹣2； （2）∵（ab）c＝a（bc）， ∴[（﹣3）×2]×（﹣4）＝（﹣3）×[（ 2）×（﹣4）]， 故答案为：2，﹣4； （3）∵a（b+c）＝ab+ac， ∴（﹣5）×[（﹣2）+（﹣3）]＝（﹣5）×（﹣2）+（﹣5）×（﹣3）， 故答案为：﹣2，﹣5． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律是解决问题的关键． 12．计算的过程中运用的运算律是______． 【答案】乘法的交换律和乘法的结合律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，在计算过程中，通过改变因子的顺序和分组，简化运算步骤，这涉及乘法运算律的应用． 【详解】解：的过程中运用的运算律是乘法的交换律和乘法的结合律， 故答案为：乘法的交换律和乘法的结合律． 13．如果三个数的积为正数，那么这三个数中，负数的个数是 个． 【答案】0或2 【分析】由于三个数的积是正数，根据有理数的乘法法则，可知负因数为偶数个，又一共只有3个因数，不大于3的非负偶数是0或2，故负因数是0个或2个． 【详解】解：因为三个数的积是正数， 所以负因数为偶数个，是0个或2个． 故答案为：0或2． 【点睛】本题考查了正数和负数．几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 14．计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．计算______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，原式先化为，再根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 16．已知a、b、c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|=0，则（a-1）（b+2）（c-3）的值为 ． 【答案】0． 【分析】根据绝对值的非负性分别求出a、b、c，根据有理数的乘法法则计算，得到答案． 【详解】解：∵|a+1|+|b+2|+|c+3|=0， ∴|a+1|≥0，b+2|≥0，|c+3|≥0， ∴a+1=0，b+2=0，c+3=0， 解得，a= -1，b=-2，c= -3， ∴（a-1）（b+2）（c-3）=（-1-1）×（-2+2）×（-3-3）=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查的是绝对值的概念和性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 三、解答题 17．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．某学校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有三个班级分别计划借篮球总数的，和．请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个？如果不够，缺几个篮球？ 【分析】根据题意列出算式，计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得： 60×（1） ＝60×1﹣606060 ＝60﹣30﹣15﹣12 ＝3（个）， 则够了，还多3个． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，列出正确的算式是解本题的关键． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 20．运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律应用运算律，通常可以使运算简便，如图，是老师讲解的两个例题． 请你参考黑板中老师的讲解，运用运算律简便计算： （1）（﹣9）×31； （2）99（﹣36）． 【答案】（1）﹣31； （2）﹣3599． 【分析】（1）先变形，然后根据乘法分配律的逆用可以解答本题； （2）先变形，然后根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】解：（1）（﹣9）×31 ＝﹣9×318×3116×31 ＝（﹣9﹣8+16）×31 ＝（﹣1）×31 ＝﹣31； （2）99（﹣36） ＝（100）×（﹣36） ＝100×（﹣36）（﹣36） ＝﹣3600 ＝﹣3599． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用． 21．某检修小组乘一辆汽车在东西走向的公路上检修线路，约定向东行为正，某天从A地出发到收工时的行动记录如下（单位：）：，，，，，，，，. (1)请通过计算说明收工时检修小组是否回到A地；如果没有回到A地，说明检修小组最后的位置 (2)直接写出距离A地最近的记录是哪一次？距离A地多远？ (3)求这一天检修小组的总路程，如果汽车耗油是，今天耗油多少L． 【答案】(1)没有回到A地. 检修小组最后的位置在A地东面处 (2)第7次记录距离A地最近，距离A地 (3)这一天检修小组总路程为，今天耗油 【分析】（1）将所有行走记录相加，根据结果是否为0判断是否回到A地，根据结果的正负和绝对值判断最终位置； （2）依次计算每次移动后距离A地的距离，比较大小得到最近的次数和距离； （3）总路程为所有行走记录的绝对值之和，再乘以单位耗油量得到总耗油量． 【详解】（1）解：根据题意，将所有行动记录相加得：， ∵，且结果为正， ∴收工时检修小组没有回到A地，在A地东面处； （2）解：依次计算每次记录后距离A地的距离: 第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：； 第8次：； 第9次：； 比较可得， ∴第7次记录距离A地最近，距离为； （3）解：总路程为所有行动记录的绝对值之和： ， 总耗油量为： 答: 这一天检修小组的总路程为，今天耗油． 22．观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【答案】（1）； （2） ； （3） （3）1． 【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）∵ … ∴ 故答案为：； （2）①原式（）×（）×…×（）×（） ； ②由题意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016 ＝1． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）；（“+”表示收盘价比前一天涨） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知买进股票时需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的（千分之）的手续费和的交易税．如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费） 【答案】(1)元 (2)最高价是每股元，最低价是每股24元 (3)赔元 【分析】（1）根据题意，买进时每股为25元，周一收盘时，每股涨了2元，可得周一收盘时每股的价格，依此类推即可解答； （2）根据表格，可求出每天的股价，再进行比较即可解答； （3）根据题意推出周五收盘前的每股价格，然后计算出1000股的总价，再减去所缴纳的手续费和交易税，即为周五收盘前将股票全部卖出的总额，再跟买进时股票的总成本进行比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 即星期四收盘时，每股是元； （2）解：星期一：元； 星期二：元； 星期三：元； 星期四：元； 星期五：元； 因为， 所以本周内最高价是每股元，最低价是每股24元； （3）解：买进的总成本：元； 卖出的净收入：元， 则赔钱：元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有 理 数 的 运 算 2.2.1 有理数的乘法 第2课时 有理数的乘法运算律及多个有理数相乘 一、选择题 1．在数5，﹣3，2，﹣4中任取三个数相乘，其中积最小的是（　　） A．﹣30 B．24 C．﹣40 D．60 2．下列式子中，积的符号为负的是（   ） A． B． C． D． 3．已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），下列叙述正确的是（　　） A．a，b皆为正数 B．a，b皆为负数 C．a为正数，b为负数 D．a为负数，b为正数 4．已知 a ，b ，c 为非零有理数 ，若，则 a ，b ，c 可能是  （        ） A．a，b，c同负 B．，b与c同号 C．，a与c同号 D． 5．简便运算15×（）＝1515运用的运算律是（　　） A．乘法交换律 B．加法结合律 C．乘法结合律 D．乘法分配律 6．某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 7．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 8．下列各式运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 10．若“！”是一种数学运算符号，并且，则的值为（　　） A． B． C．2450 D． 二、填空题 11．运用运算律填空． （1）﹣2×（﹣3）＝（﹣3）×（　 　）． （2）[（﹣3）×2]×（﹣4）＝（﹣3）×[（　 　）×（　 ）]． （3）（﹣5）×[（﹣2）+（﹣3）]＝（﹣5）×（　 　）+（　 　）×（﹣3）． 12．计算的过程中运用的运算律是______． 13．如果三个数的积为正数，那么这三个数中，负数的个数是 个． 14．计算：_____． 15．计算______． 16．已知a、b、c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|=0，则（a-1）（b+2）（c-3）的值为 ． 三、解答题 17．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 18．某学校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有三个班级分别计划借篮球总数的，和．请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个？如果不够，缺几个篮球？ 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律应用运算律，通常可以使运算简便，如图，是老师讲解的两个例题． 请你参考黑板中老师的讲解，运用运算律简便计算： （1）（﹣9）×31； （2）99（﹣36）． 21．某检修小组乘一辆汽车在东西走向的公路上检修线路，约定向东行为正，某天从A地出发到收工时的行动记录如下（单位：）：，，，，，，，，. (1)请通过计算说明收工时检修小组是否回到A地；如果没有回到A地，说明检修小组最后的位置 (2)直接写出距离A地最近的记录是哪一次？距离A地多远？ (3)求这一天检修小组的总路程，如果汽车耗油是，今天耗油多少L． 22．观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 23．股民小王上星期五买进某股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票收盘价比前一天的涨跌情况（单位：元）；（“+”表示收盘价比前一天涨） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知买进股票时需付成交额的手续费，卖出时需付成交额的（千分之）的手续费和的交易税．如果小王在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？（收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费） 1 学科网（北京）股份有限公司 $