2.3 单摆 第二课时 利用单摆测量重力加速度（举一反三·讲义）物理沪科版选择性必修第一册

本讲义聚焦“利用单摆测量重力加速度”核心知识点，前承单摆简谐运动条件（摆角小于5°），后接实验操作与误差分析，通过实验思路、器材选择、数据处理（公式法与图像法）等学习支架构建完整知识脉络。 该资料以“机械表在不同地点准确性”情景导入激发兴趣，实验设计突出理想化模型建构（单摆简谐运动）培养科学思维，数据分析结合公式与图像法、例题作业覆盖误差分析提升科学探究能力。课中辅助教师实验教学，课后帮助学生巩固与查漏补缺。

· 2.3 单 摆 · 第二课时 利用单摆测量重力加速度 · 【高中物理沪科版(2019)选择性必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 “同学们，如果把一块机械表从北京带到赤道，或者带上空间站，它还会走得一样准吗？其实，决定单摆摆动快慢的，正是当地的重力加速度（g）。既然单摆的周期和g有严密的数学关系，我们能不能把单摆当成一把‘尺子’，通过测摆长和周期，去‘称’出脚下的重力加速度？ 一、实验思路 1．单摆在摆角较小（小于5°）时的运动可看成简谐运动，根据其周期公式，可得__ 。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。 实验装置 二、实验器材 铁架台及铁夹、金属小球（上面有一个通过球心的小孔）、 、细线（长1m左右）、刻度尺（最小刻度为1mm）、 。 三、实验原理与设计 1.实验的基本思想——理想化模型：单摆在偏角很小（不大于5°）时的运动，可以看成 运动。 2．实验原理：由单摆的周期公式，可得g＝ _，据此通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。 3．实验设计——两个物理量的测量方法。 （1）单摆长度的测量。 用 测量单摆的线长，用 测量摆球的直径。摆长即摆线静止时从悬点到球心间的距离。 （2）单摆周期的测量。 测出单摆n次全振动的总时间t，单摆周期为T＝ 。 四、数据分析 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 2.图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵轴、以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的 球。 2．单摆摆线的上端应夹紧在 中，不可随意卷在铁架台的杆上。 3．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不应超过 。 4．摆球摆动时，要使之保持在同一 ，不要形成圆锥摆。 5．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过 位置（平衡位置）时开始计时，要测n次全振动的时间t。 例题1．在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于）摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间关系的图像。 (1)关于此单摆下列说法正确的是__________。 A．摆球摆到最高点时速度、加速度均为零 B．摆球摆动过程中合力方向始终沿绳指向悬挂点 C．最低点为平衡位置，此时合力为零 D．摆球的回复力由重力在垂直摆线方向上的分力充当 (2)某同学在实验操作过程中，你认为正确的是__________。 A．选用密度大、体积小的金属球作摆球 B．先测出细线长作摆长，再将细线缠绕在悬点固定好 C．实验中由于操作失误摆球形成圆锥摆运动，仍用原测量摆长计算重力加速度 (3)根据图乙的信息，该单摆的周期为__________（用、表示）；测得正确摆长为，可得当地重力加速度为__________（用、、、表示）。 例题2.某班同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的实践和探究： (1)用游标卡尺测量摆球直径d，如图甲所示，则摆球直径为_________cm，测量单摆摆长为l； (2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=60时，秒表的示数如图乙所示，秒表读数为__________s； (3)将测量数据代入公式得到的测量结果与真实的重力加速度值比较，发现测量结果偏大，可能的原因是 ； A．误将59次数成了60次 B．在未悬挂单摆之前先测定好摆长 C．将摆线长当成了摆长 D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长 (4)该组同学纠正了之前的错误操作，尝试测量不同摆长l对应的单摆周期T，并在坐标纸上画出T2与l的关系图线，如图丙所示。由图线计算出的重力加速度的值g=________m/s2。（保留3位有效数字） (5)在测量时，某小组由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比__________（填“偏大”、“偏小”、“不变”）。 模块三 课后作业 1．有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换了实验数据，并由计算机绘制了T2-L图像，如图甲所示。去北大的同学所测实验结果对应的图线是_______（选填“A”或“B”）。另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了在南大实验室摆动的两种单摆的振动图像（如图乙），由图可知，两单摆摆长之比=________。 2．用图1所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)下列实验操作对减少实验误差有益的是_____（填选项前的字母）。 A．用轻且不易伸长的细线和密度大且直径较小的球组装成单摆 B．让小球从细线与竖直方向夹角为的位置开始运动 C．在最高点释放小球并同时开始计时 D．在小球经过最低点时开始计时，测量30~50次全振动的时间 (2)如图2所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径_____。 (3)测量摆球直径，摆线长，单摆完成次全振动的时间，可得重力加速度的大小__________（用题目所给的字母表示）。 3．用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”实验。 (1)下列器材选择和实验操作中，正确的有（     ） A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C．为方便测量，开始时应将摆球拉开较大角度再释放 D．用刻度尺测量摆线的长度，这就是单摆的摆长 (2)测出单摆的摆长，单摆完成次全振动所用的时间，则重力加速度_____（用、、及相关常数表示）； (3)若某小组在记录全振动次数时，误将次全振动记为次，其余物理量测量准确，则实验测得的值_____（填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 4．某同学利用图1所示装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 (1)关于本实验，下列说法不正确的是________。 A．需要用天平测量小钢球的质量 B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．应无初速度、小摆角释放小钢球 D．应保证小钢球在同一竖直平面内摆动 (2)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度l，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图2所示，小钢球直径d=________mm，记摆长。 (3)多次改变摆线长度l并测得不同摆长对应小钢球的摆动周期T，并作出图像，如图3所示。根据图线斜率可计算重力加速度g=________（保留3位有效数字，取9.87）。 (4)该同学发现上述处理数据时将摆线长度误认为摆长，他修正后，作出图像，得到的重力加速度值与原来相比（不考虑偶然误差）________（选填“变大”“变小”或“不变”）。 (5)如果物体所受的力具有的形式，物体就做简谐运动。设摆球的质量为m，摆长为L，重力加速度为g，单摆做简谐运动时，其k值为________。 5．随着科技发展，智能手机不仅为我们的生活带来了便利，也可以利用它的摄像头和内部传感器协助我们完成物理实验。某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机磁传感器和一个磁性小球进行了如下实验： (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图1所示的单摆。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为（读数如图2所示）。从图2可知，摆球的直径为________。 (2)将智能手机磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，打开智能手机的磁传感器，准备测量磁感应强度的变化。将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图3所示。由图3可知，单摆的周期为________。 (3)经测量得到多组不同的摆线长和对应的周期，画出图线，然后在图线上选取、两个点，坐标如图4所示（图中物理量均已知），由图可得当地重力加速度________。 6．某课外兴趣小组在“用单摆测量重力加速度”的实验中，测得摆球经过次全振动的总时间为。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为。回答下列问题： (1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球的最低点； (2)重力加速度的表达式为_________（用题目中给出的字母表示） (3)如果测得的值偏小，可能的原因是________ A．测摆长时，摆线拉的过紧 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 D．实验时误将49次全振动记为50次 (4)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长，并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标，为纵坐标做图线。若某同学忘记加小球半径，直接用摆线长度代替摆长，由此拟合出的图像可能是图乙中的________（选填①、②、③）。 7．根据单摆周期公式，可以通过实验测量当地的重力加速度。 (1)如图甲所示，组装单摆时，应在下列器材中选用____________。 A．长度为1m左右的细线 B．长度为10cm左右的细线 C．直径为1.8cm的塑料球 D．直径为1.8cm的铁球 (2)为使重力加速度的测量结果更加准确，以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有____________。 A．在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定 B．摆线偏离平衡位置的角度不能太大 C．测量周期时应该从摆球运动到最高点时开始计时 (3)用上面的方法测得的值比当地的实际值偏大，可能的原因是____________。 A．摆球的质量偏大 B．计算摆长时，把悬线长当作了摆长 C．摆动的偏角偏小 D．测量周期时，将次全振动误记成了次全振动 (4)小刚同学在实验中改变摆长重复实验，他只测出了悬线的长度及对应的周期，得到几组数据，再以为横坐标，为纵坐标作出图线如图乙所示。已知图线与纵轴的截距为，图线上点坐标为，则由此计算重力加速度____________。（用题中字母表示） (5)小丽同学为了研究“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的定量关系”，在伽利略用斜面“冲淡”重力思想的启发下，创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图丙所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把长为的摆线固定于斜面上的点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至点，静止释放后，摆球在之间做简谐运动。测得摆角为、摆球的摆动周期为。多次改变斜面的倾角，重复实验，记录、和，为了能方便准确地利用图像处理数据进而获得结论，她应绘制____________图像（写出图像的纵坐标—横坐标）。 (6)请读出图丁中游标卡尺的示数：____________mm。 8．某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)如图乙中A、B、C是摆线上端的三种悬挂方式，应选哪种方式更好？答：应选__________； (2)用游标卡尺测量摆球直径如图所示，则摆球直径为_______cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长l0，通过计算得到摆长L； (3)当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=0，单摆每经过最低点记一次数，当n数到一定数值时秒表的示数如上图所示，则此时秒表读数为_______s； (4)若某同学实验中测出单摆做N次全振动所用时间为t、摆线长为L、摆球直径为d，则当地的重力加速度g=_______（用测出的物理量表示）； (5)小组内其他同学测量了多组实验数据作出了周期的平方与摆长（T2-L）的关系图像如图丁所示，已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的是（　　） A．出现图线c的原因可能是误将摆线长记作摆长L B．出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L C．由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，由图线c计算出的g值偏小 (6)在利用单摆测定重力加速度的实验中，若测得的g值偏大，可能的原因是（　　） A．测摆长时，摆线拉得过紧，则L偏大，重力加速度偏大 B．测量摆长时，只考虑了线长，忽略了小球的半径，重力加速度偏大 C．测量周期时，把n个全振动误认为（n+1）个全振动，使周期偏小，重力加速度偏大 D．测量周期时，把n个全振动误认为（n-1）个全振动，使周期偏大，重力加速度偏大 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2.3 单 摆 · 第二课时 利用单摆测量重力加速度 · 【高中物理沪科版(2019)选择性必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 “同学们，如果把一块机械表从北京带到赤道，或者带上空间站，它还会走得一样准吗？其实，决定单摆摆动快慢的，正是当地的重力加速度（g）。既然单摆的周期和g有严密的数学关系，我们能不能把单摆当成一把‘尺子’，通过测摆长和周期，去‘称’出脚下的重力加速度？ 一、实验思路 1．单摆在摆角较小（小于5°）时的运动可看成简谐运动，根据其周期公式，可得__ 。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。 实验装置 二、实验器材 铁架台及铁夹、金属小球（上面有一个通过球心的小孔）、__游标卡尺__、细线（长1m左右）、刻度尺（最小刻度为1mm）、_秒表 。 三、实验原理与设计 1.实验的基本思想——理想化模型：单摆在偏角很小（不大于5°）时的运动，可以看成_简谐_运动。 2．实验原理：由单摆的周期公式，可得g＝___，据此通过实验测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。 3．实验设计——两个物理量的测量方法。 （1）单摆长度的测量。 用__刻度尺 测量单摆的线长，用___游标卡尺__测量摆球的直径。摆长即摆线静止时从悬点到球心间的距离。 （2）单摆周期的测量。 测出单摆n次全振动的总时间t，单摆周期为T＝______。 四、数据分析 1．公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 2.图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵轴、以l为横轴作出T2－l图像(如图所示)。其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。 五、注意事项 1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m；摆球应选用密度较大、直径较小的_金属球。 2．单摆摆线的上端应夹紧在_铁夹_中，不可随意卷在铁架台的杆上。 3．摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不应超过___。 4．摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过___最低__位置（平衡位置）时开始计时，要测n次全振动的时间t。 例题1．在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于）摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间关系的图像。 (1)关于此单摆下列说法正确的是__________。 A．摆球摆到最高点时速度、加速度均为零 B．摆球摆动过程中合力方向始终沿绳指向悬挂点 C．最低点为平衡位置，此时合力为零 D．摆球的回复力由重力在垂直摆线方向上的分力充当 (2)某同学在实验操作过程中，你认为正确的是__________。 A．选用密度大、体积小的金属球作摆球 B．先测出细线长作摆长，再将细线缠绕在悬点固定好 C．实验中由于操作失误摆球形成圆锥摆运动，仍用原测量摆长计算重力加速度 (3)根据图乙的信息，该单摆的周期为__________（用、表示）；测得正确摆长为，可得当地重力加速度为__________（用、、、表示）。 【答案】(1)D (2)A (3) 【详解】（1）[1] A．摆球摆到最高点时速度为零，但重力沿切线方向的分力提供回复力，加速度不为零，故A错误； B．摆球摆动过程中合力一般有沿切线方向和沿绳方向的分量，方向不始终沿绳指向悬挂点，故B错误； C．最低点为平衡位置，此时回复力为零，但摆球做曲线运动需要向心力，合力不为零，故C错误； D．单摆小角度摆动时，摆球的回复力由重力在垂直摆线方向上的分力充当，故D正确。 故选D。 （2）[2] A．选用密度大、体积小的金属球作摆球，可减小空气阻力和浮力的影响，使摆球更接近质点，故A正确； B．摆长应为悬点到摆球球心的距离，不能只把细线长 当作摆长，且缠绕后有效摆长会改变，故B错误； C．圆锥摆不是同一竖直平面内的小角度单摆，不能仍用原测量摆长计算重力加速度，故C错误。 故选A。 （3）[3] 由图乙可知，绳子拉力最大时摆球经过最低点，相邻两次拉力最大对应摆球两次经过最低点，时间间隔为半个周期，故单摆周期为 [4] 由单摆周期公式 代入，解得 例题2.某班同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的实践和探究： (1)用游标卡尺测量摆球直径d，如图甲所示，则摆球直径为_________cm，测量单摆摆长为l； (2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=60时，秒表的示数如图乙所示，秒表读数为__________s； (3)将测量数据代入公式得到的测量结果与真实的重力加速度值比较，发现测量结果偏大，可能的原因是 ； A．误将59次数成了60次 B．在未悬挂单摆之前先测定好摆长 C．将摆线长当成了摆长 D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长 (4)该组同学纠正了之前的错误操作，尝试测量不同摆长l对应的单摆周期T，并在坐标纸上画出T2与l的关系图线，如图丙所示。由图线计算出的重力加速度的值g=________m/s2。（保留3位有效数字） (5)在测量时，某小组由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比__________（填“偏大”、“偏小”、“不变”）。 【答案】(1)2.06 (2)67.4 (3)AD (4)9.86 (5)偏大 【详解】（1）游标卡尺的主尺读数为20mm，游标读数为0.1×6=0.6mm，则最终读数为20.6 mm=2.06 cm。 （2）秒表的读数为60s＋7.4s=67.4s。 （3）根据单摆周期公式 解得 A．误将59次数成了60次 ，导致测量时周期T测小，可知g值测量值偏大，故A正确； B．在未悬挂单摆之前先测定好摆长 ，导致测量的摆长小于真实的摆长，可知g值偏小；故B错误； C．将摆线长当成了摆长没有加小球的半径，导致测量的摆长偏小，可知g值偏小，故C错误； D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长，导致测量的摆长变长，根据可知g值偏大，故D正确； 故选AD。 （4）根据单摆周期公式 解得 则在与 l 的关系图线中，斜率为 解得 （5）以L表示摆长，表示摆线与竖直方向的夹角，m表示摆球的质量，F表示摆线对摆球的拉力，T表示摆球圆锥摆运动的周期，由牛顿第二定律得 在竖直方向，由平衡条件得 解得 等效摆长小于单摆摆长L，则单摆周期的测量值偏小，根据单摆周期公式求出的重力加速度偏大，即重力加速度的测量值偏大。 模块三 课后作业 1．有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换了实验数据，并由计算机绘制了T2-L图像，如图甲所示。去北大的同学所测实验结果对应的图线是_______（选填“A”或“B”）。另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了在南大实验室摆动的两种单摆的振动图像（如图乙），由图可知，两单摆摆长之比=________。 【答案】 B 【详解】[1]由单摆周期公式 得 知图象的斜率越大，则重力加速度越小，因为南京更靠近赤道，北京更靠近北极，因此南京当地的重力加速度小于北京，去北大的同学所测实验结果对应的图线的斜率小，应该是B图线。 [2]由振动图像知，两单摆的周期比为 由可知，两单摆摆长之比 2．用图1所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)下列实验操作对减少实验误差有益的是_____（填选项前的字母）。 A．用轻且不易伸长的细线和密度大且直径较小的球组装成单摆 B．让小球从细线与竖直方向夹角为的位置开始运动 C．在最高点释放小球并同时开始计时 D．在小球经过最低点时开始计时，测量30~50次全振动的时间 (2)如图2所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径_____。 (3)测量摆球直径，摆线长，单摆完成次全振动的时间，可得重力加速度的大小__________（用题目所给的字母表示）。 【答案】(1)AD (2)18.8 (3) 【详解】（1）A．轻且不易伸长的细线可保证摆长稳定，密度大直径小的摆球可减小空气阻力影响，操作正确，A正确； B．单摆做简谐运动要求摆角小于5°，30°偏角过大，不再是简谐运动，B错误； CD．单摆计时应选在最低点，此处小球速度大，计时误差更小，且测量多次全振动可减小周期测量误差，C错误，D正确； 故选AD。 （2）用游标卡尺测量摆球直径为 （3）单摆摆长，周期 代入单摆周期公式 整理得重力加速度 3．用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”实验。 (1)下列器材选择和实验操作中，正确的有（     ） A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些 B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的 C．为方便测量，开始时应将摆球拉开较大角度再释放 D．用刻度尺测量摆线的长度，这就是单摆的摆长 (2)测出单摆的摆长，单摆完成次全振动所用的时间，则重力加速度_____（用、、及相关常数表示）； (3)若某小组在记录全振动次数时，误将次全振动记为次，其余物理量测量准确，则实验测得的值_____（填“大于”“等于”或“小于”）真实值。 【答案】(1)AB (2) (3)大于 【详解】（1）A．摆线选择细、伸缩性小、较长的摆线，可减小空气阻力、避免摆长变化，同时减小周期测量误差，故A正确； B．摆球选择质量大、体积小的，可减小空气阻力对实验的影响，故B正确； C．单摆只有小角度（摆角小于）摆动时才满足简谐运动周期公式，大角度摆动不满足公式条件，故C错误； D．单摆摆长是摆线长度加上摆球半径，不是摆线长度，故D错误。 故选 AB。 （2）单摆周期 代入单摆周期公式 整理得重力加速度 （3） 若将次全振动误记为次，计算得到的周期偏小，则测得的值大于真实值。 4．某同学利用图1所示装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 (1)关于本实验，下列说法不正确的是________。 A．需要用天平测量小钢球的质量 B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．应无初速度、小摆角释放小钢球 D．应保证小钢球在同一竖直平面内摆动 (2)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度l，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图2所示，小钢球直径d=________mm，记摆长。 (3)多次改变摆线长度l并测得不同摆长对应小钢球的摆动周期T，并作出图像，如图3所示。根据图线斜率可计算重力加速度g=________（保留3位有效数字，取9.87）。 (4)该同学发现上述处理数据时将摆线长度误认为摆长，他修正后，作出图像，得到的重力加速度值与原来相比（不考虑偶然误差）________（选填“变大”“变小”或“不变”）。 (5)如果物体所受的力具有的形式，物体就做简谐运动。设摆球的质量为m，摆长为L，重力加速度为g，单摆做简谐运动时，其k值为________。 【答案】(1)A (2)20.034/20.035/20.036 (3)9.87 (4)不变 (5) 【详解】（1）A．实验原理为与质量无关，因此不需要测量小钢球的质量，故A错误； B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B正确； CD．应无初速度、小摆角释放小钢球目的是保证摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动，故CD正确。 本题选不正确的，故选A。 （2），故均正确。 （3）由得，则图像斜率 由图像得 解得 （4）仍用上述图像处理数据，图线斜率不变，仍为，故得到的重力加速度值不变。 （5）设单摆小角度摆动，偏离平衡位置的弧位移为x，摆角很小，则有 回复力为重力切向分力： 即 5．随着科技发展，智能手机不仅为我们的生活带来了便利，也可以利用它的摄像头和内部传感器协助我们完成物理实验。某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中，利用了智能手机磁传感器和一个磁性小球进行了如下实验： (1)将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成图1所示的单摆。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为（读数如图2所示）。从图2可知，摆球的直径为________。 (2)将智能手机磁传感器置于磁性小球平衡位置正下方，打开智能手机的磁传感器，准备测量磁感应强度的变化。将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图3所示。由图3可知，单摆的周期为________。 (3)经测量得到多组不同的摆线长和对应的周期，画出图线，然后在图线上选取、两个点，坐标如图4所示（图中物理量均已知），由图可得当地重力加速度________。 【答案】(1)5.315 (2) (3) 【详解】（1）由图2可知，螺旋测微器的精确度为0.01mm，摆球的直径为 （2）小球每次经过平衡位置时离磁传感器最近，磁感应强度出现峰值。单摆一个周期内，小球会两次经过平衡位置，相邻两个峰值的时间间隔为，从图3可知，是第一个峰值的时刻，是第四个峰值的时刻，共3个时间间隔，则 解得 （3）根据单摆周期公式有 解得 则图像的斜率为 解得 6．某课外兴趣小组在“用单摆测量重力加速度”的实验中，测得摆球经过次全振动的总时间为。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为。回答下列问题： (1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球的最低点； (2)重力加速度的表达式为_________（用题目中给出的字母表示） (3)如果测得的值偏小，可能的原因是________ A．测摆长时，摆线拉的过紧 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 D．实验时误将49次全振动记为50次 (4)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长，并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标，为纵坐标做图线。若某同学忘记加小球半径，直接用摆线长度代替摆长，由此拟合出的图像可能是图乙中的________（选填①、②、③）。 【答案】 B ③ 【详解】[1] 单摆的周期公式，其中 由题意知 解得 [2]A．测摆长时，摆线拉的过紧，则偏大，值偏大，A错误； B．振动中悬点出现松动，摆线长度的数据不变，但测量得到的偏大，值偏小，B正确； C．开始计时时，停表过迟按下，则偏小，值偏大，C错误； D．实验时误将49次全振动记为50次，即偏大，偏小，值偏大，D错误。 故选B。 [3] 根据 可得，若忘记加小球半径，则修正的摆长为 代入得，对应图乙中的③。 7．根据单摆周期公式，可以通过实验测量当地的重力加速度。 (1)如图甲所示，组装单摆时，应在下列器材中选用____________。 A．长度为1m左右的细线 B．长度为10cm左右的细线 C．直径为1.8cm的塑料球 D．直径为1.8cm的铁球 (2)为使重力加速度的测量结果更加准确，以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有____________。 A．在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定 B．摆线偏离平衡位置的角度不能太大 C．测量周期时应该从摆球运动到最高点时开始计时 (3)用上面的方法测得的值比当地的实际值偏大，可能的原因是____________。 A．摆球的质量偏大 B．计算摆长时，把悬线长当作了摆长 C．摆动的偏角偏小 D．测量周期时，将次全振动误记成了次全振动 (4)小刚同学在实验中改变摆长重复实验，他只测出了悬线的长度及对应的周期，得到几组数据，再以为横坐标，为纵坐标作出图线如图乙所示。已知图线与纵轴的截距为，图线上点坐标为，则由此计算重力加速度____________。（用题中字母表示） (5)小丽同学为了研究“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的定量关系”，在伽利略用斜面“冲淡”重力思想的启发下，创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图丙所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把长为的摆线固定于斜面上的点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至点，静止释放后，摆球在之间做简谐运动。测得摆角为、摆球的摆动周期为。多次改变斜面的倾角，重复实验，记录、和，为了能方便准确地利用图像处理数据进而获得结论，她应绘制____________图像（写出图像的纵坐标—横坐标）。 (6)请读出图丁中游标卡尺的示数：____________mm。 【答案】(1)AD (2)AB (3)D (4) (5) (6)20.7 【详解】（1）摆线一般1米左右的细线，摆球密度要大一些，避免空气阻力的影响。 故选AD。 （2）A．为使重力加速度的测量结果更加准确，在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定，防止振动过程中摆长变化，故A正确； B．摆线偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过5°，故B正确； C．测量周期时应该从摆球运动到最低点时开始计时，这样会减小误差，故C错误。 故选AB。 （3）根据单摆周期公式 解得 A．根据知，重力加速度的表达式与摆球的质量无关，故A错误； B．根据知，计算摆长时，把悬线长当作了摆长l，则摆线的长度偏小，计算的重力加速度的值偏小，故B错误； C．根据知，重力加速度的表达式与摆球的偏转角无关，故C错误； D．周期的测量值，实验中误将n次全振动数为（n+1）次，则周期测量值偏小，根据知，重力加速度的测量值偏大，故D正确。 故选D。 （4）由单摆周期公式得 解得 结合图像的斜率 解得重力加速度 （5）根据单摆的原理可知，等效重力加速度为，与摆角无关，则有 变形可得 则为了能方便准确地利用图像处理数据进而测出重力加速度，应绘制图像，利用斜率求出。 （6）游标卡尺的精确度为0.1mm，读数为 8．某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)如图乙中A、B、C是摆线上端的三种悬挂方式，应选哪种方式更好？答：应选__________； (2)用游标卡尺测量摆球直径如图所示，则摆球直径为_______cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长l0，通过计算得到摆长L； (3)当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=0，单摆每经过最低点记一次数，当n数到一定数值时秒表的示数如上图所示，则此时秒表读数为_______s； (4)若某同学实验中测出单摆做N次全振动所用时间为t、摆线长为L、摆球直径为d，则当地的重力加速度g=_______（用测出的物理量表示）； (5)小组内其他同学测量了多组实验数据作出了周期的平方与摆长（T2-L）的关系图像如图丁所示，已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的是（　　） A．出现图线c的原因可能是误将摆线长记作摆长L B．出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L C．由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，由图线c计算出的g值偏小 (6)在利用单摆测定重力加速度的实验中，若测得的g值偏大，可能的原因是（　　） A．测摆长时，摆线拉得过紧，则L偏大，重力加速度偏大 B．测量摆长时，只考虑了线长，忽略了小球的半径，重力加速度偏大 C．测量周期时，把n个全振动误认为（n+1）个全振动，使周期偏小，重力加速度偏大 D．测量周期时，把n个全振动误认为（n-1）个全振动，使周期偏大，重力加速度偏大 【答案】(1)C (2)2.125 (3)126.0/126 (4) (5)B (6)AC 【详解】（1）如图乙中A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选C方式更好，用夹子夹住摆线可防止摆长发生变化，故选C。 （2）摆球直径为 （3）此时秒表读数为 （4）根据题意可知实际摆长为 周期 根据单摆周期公式 当地的重力加速度 （5）AB．根据图线c可知，在取为0时，L不为0，表明选择的L的长度比实际的摆长大一些，即有可能是将摆线的长与摆球的直径之和作为摆长L，摆长取值偏大，则图线右移；同理出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L，摆长取值偏小，图线左移，故A错误；B正确； C．根据 可得 三条直线的斜率均为由三条直线计算出的g值都相同，故C错误。 故选B。 （6）A．测摆长时，摆线拉得过紧，则L偏大，由 重力加速度偏大，故A正确； B．测量摆长时，只考虑了摆线长，忽略了小球的半径，由 重力加速度偏小，故B错误； C．测量周期时，把n个全振动误认为（n+1）个全振动，使周期偏小，由 重力加速度偏大，故C正确； D．测量周期时，把n个全振动误认为（n-1）个全振动，使周期偏大，重力加速度偏小， 故D错误； 故选AC。 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $