第四单元 加法模型和乘法模型-四年级上册数学期中复习讲义（人教版·新教材）

第四单元 加法模型和乘法模型 考点梳理 考点一：总量与分量之间的关系（加法/减法模型） 1. 核心逻辑 整体由若干部分组成，部分之和等于整体。 2. 基本公式 (1) 求总量：分量 + 分量 = 总量 (2) 求分量：总量 - 已知分量 = 未知分量 3. 关键提示 (1) 注意单位统一。 (2) 识别关键词：“一共”、“总共”、“比...多/少”。 4. 典型示例 班级男生20人，女生18人，全班多少人？ （人） 考点二：经济问题（乘法/除法模型） 1. 核心概念 (1) 单价：每件商品的价格。 (2) 数量：购买商品的件数。 (3) 总价：一共花费的钱数。 2. 基本公式 (1) 求总价： (2) 求单价： (3) 求数量： 3. 解题技巧 (1) 先判断已知条件是哪两个量。 (2) 若求总价用乘法，若求单价或数量用除法。 4. 典型示例 钢笔每支12元，买5支需要多少钱？ （元） 考点三：基础行程问题（乘法/除法模型） 1. 核心概念 (1) 速度：单位时间内行的路程（如：千米/时）。 (2) 时间：行驶所用的时长。 (3) 路程：一共行的距离。 2. 基本公式 (1) 求路程： (2) 求速度： (3) 求时间： 3. 易错点警示 (1) 速度单位必须与时间单位对应（如：米/分 对应 分钟）。 (2) 区分“速度”与“路程”的概念，不要混淆。 4. 典型示例 汽车每小时行80千米，行驶3小时，共行多少千米？ （千米） 例题讲解 题型一、总量与分量之间的关系 【典型例题】根据所求问题先说说总量和分量分别是什么，应先求什么，再列式计算。 【对应练习1】李阿姨逛街时看到这样一条广告：转发此条消息到朋友圈，并集齐166个赞，即可免费获得精品豆浆机一台。李阿姨转发了这条广告，现已集了89个赞，她再集( )个赞，即可免费获得一台精品豆浆机。在这个问题中，总量是( )，分量是( )和( )。 【对应练习2】实验小学组织三、四、五年级的学生参加“书画大赛”活动。三年级有135人参加，四年级有204人参加，五年级有189人参加。三个年级一共有多少人参加？ (1)这里的总量是( )，分量是( )、( )和( )。 (2)列式计算： 题型二、经济问题 【典型例题】夏至是盛夏的起点，从夏至起，经过三个“庚日”，便进入一年中最热的“三伏天”。西瓜是夏季消暑必备水果，水果店购进105千克冰糖小西瓜，每千克5元，又购进麒麟西瓜475元，水果店购进这两种瓜一共需要多少钱？ 【对应练习1】研学基地为参加此次研学活动的学生准备了快餐，每份快餐18元，学校要预定620份快餐，要准备多少钱？ 【对应练习2】李叔叔花870元批发来29箱苹果，他以每箱35元的价格全部卖出。李叔叔一共赚了多少钱？ 题型三、基础行程问题 【典型例题】从公园到图书馆路程是420米，小琪步行走完需要6分钟，小桐步行走完需要7分钟。谁走得快？两人每分钟分别走多少米？ 【对应练习1】“五一”小长假期间，西安的李叔叔和王叔叔同时同地开车到洛阳龙门石窟游玩，李叔叔开车的平均速度是101千米/时，王叔叔开车的平均速度是90千米/时。4小时后，李叔叔到达龙门石窟景区，此时王叔叔距离龙门石窟景区还有多少千米？ 【对应练习2】李叔叔开车去某地，他前2时平均每时行驶84千米，后3时共行驶了262千米。李叔叔平均每时行驶多少千米？ 变式巩固练习 一、选择题 1．小明买了两盒钢笔，每盒6支，花了60元。钢笔单价是（    ）。 A．3支/盒 B．30元/支 C．5元/支 D．10元/支 2．实验小学饲养小组一共养了60只兔，白兔22只，黑兔10只，剩下的都是灰兔。灰兔有多少只？下列数量关系式错误的是（    ）。 A．灰兔的只数＝总只数－白兔只数－黑兔只数 B．灰兔的只数＝总只数－（白兔只数＋黑兔只数） C．灰兔的只数＝总只数－黑兔只数－白兔只数 D．灰兔的只数＝总只数＋白兔只数－黑兔只数 3．超市运来一批大米，卖了180千克，还剩240千克。这批大米原来一共有多少千克？正确的算式是（    ）。 A．240－180 B．180＋240 C．240－180＋240 D．240×180 4．阿泽一家四口开车去森林公园游玩，已知小轿车的行驶速度是60千米/时，_________。阿泽家离森林公园大约有多远？解决这个问题还需要补充的信息是（    ）。 A．森林公园9：00～17：00开放 B．买门票花了150元 C．全家通过公园检票口花了6分钟 D．大约开了30分钟到达 5．韩叔叔买了7盒月饼，付给收银员500元。收银员需要找给韩叔叔多少钱？要解决这个问题，下列说法正确的是（    ）。 商品标价签 每盒12个 68元/盒 A．所有信息都要用上。 B．是与价钱有关的问题，只需要“500元”和“68元”两个信息。 C．用到的信息是“7盒月饼，68元/盒，付了500元”。 D．用到的信息是“每盒12个，68元/盒，付了500元”。 二、填空题 6．一种拼图每套36元，购买18套，这里的单价是( )，数量是( )。 7．当航天器每秒飞行约8千米的时候，它便可以绕地球运动而不会落到地上，这个速度可以记作( )，某航天器以这样的速度飞行30秒，可以飞行多少千米？解决这个问题用到的数量关系是( )。 8．杨叔叔自驾前往山海关，一共要行驶210km，他开车每小时行驶65km，3小时后离山海关还有( )km。 9．一天，欢欢和琪琪同时从学校出发去少年宫，欢欢的速度是72米/分，琪琪的速度是68米/分。经过22分钟，欢欢到达少年宫，这时琪琪离少年宫还有( )米。 10．某海洋馆的门票价格规定如下。晨光小学四年级同学去该海洋馆游玩，一班有42人，二班有45人，三班有52人。 购票人数 1～50 51～100 100以上 票价 135元/人 122元/人 90元/人 (1)每个班分别购票，二班需要( )元，三班需要( )元。 (2)三个班合起来购票，一共需要( )元。 三、计算题 11．脱式计算。 366＋574＋34     43×102－86     （902－673）×18 12．看图列式计算，并写出数量关系。 算式：______________________________ 数量关系：______________________________ 四、解答题 13．学校要购置40套新的课桌椅，其中一张桌子要85元，一把椅子要45元，一共需要多少元？ 14．学校开展期末安全防空演练，警报声在空气中的传播速度是340米/秒，警报声发出15秒后，学校5000米外的居民区能听到吗？ 15．小区环形跑道一圈350米，张阳一共跑8圈，总共用时28分钟，张阳跑步的平均速度是多少？ 16．顺丰快递计划用小货车9小时完成一批物品的运送并返程。已知去的时候速度是56千米/时，5小时到达指定地点。如果要按时原路返回到出发地，返回时平均每小时行多少千米？ 17．王老师和张老师带领48名学生进行研学活动。如果按照一日票价购买门票，他们一共要花费多少钱？ 一日票价 学生25元/人 成年人50元/人 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 加法模型和乘法模型 考点梳理 考点一：总量与分量之间的关系（加法/减法模型） 1. 核心逻辑 整体由若干部分组成，部分之和等于整体。 2. 基本公式 (1) 求总量：分量 + 分量 = 总量 (2) 求分量：总量 - 已知分量 = 未知分量 3. 关键提示 (1) 注意单位统一。 (2) 识别关键词：“一共”、“总共”、“比...多/少”。 4. 典型示例 班级男生20人，女生18人，全班多少人？ （人） 考点二：经济问题（乘法/除法模型） 1. 核心概念 (1) 单价：每件商品的价格。 (2) 数量：购买商品的件数。 (3) 总价：一共花费的钱数。 2. 基本公式 (1) 求总价： (2) 求单价： (3) 求数量： 3. 解题技巧 (1) 先判断已知条件是哪两个量。 (2) 若求总价用乘法，若求单价或数量用除法。 4. 典型示例 钢笔每支12元，买5支需要多少钱？ （元） 考点三：基础行程问题（乘法/除法模型） 1. 核心概念 (1) 速度：单位时间内行的路程（如：千米/时）。 (2) 时间：行驶所用的时长。 (3) 路程：一共行的距离。 2. 基本公式 (1) 求路程： (2) 求速度： (3) 求时间： 3. 易错点警示 (1) 速度单位必须与时间单位对应（如：米/分 对应 分钟）。 (2) 区分“速度”与“路程”的概念，不要混淆。 4. 典型示例 汽车每小时行80千米，行驶3小时，共行多少千米？ （千米） 例题讲解 题型一、总量与分量之间的关系 【典型例题】根据所求问题先说说总量和分量分别是什么，应先求什么，再列式计算。 【答案】总量是科技书和故事书的总数量，分量分别是科技书的数量、故事书的数量。 应先求故事书的本数。 （本） 【分析】首先明确总量是科技书和故事书的总数量，分量分别是科技书的数量、故事书的数量。因为已知科技书数量，且故事书比科技书少20本，所以先根据两者的数量差求出故事书的数量。如果要得到两种书的总数量，那么将科技书数量和求出的故事书数量相加即可。 【详解】已知总量是科技书和故事书的总本数，分量分别是科技书的本数、故事书的本数。如果要得到两种书的总数量，要先算出故事书的本数。 总本数： （本） 答：科技书和故事书一共有240本。 【对应练习1】李阿姨逛街时看到这样一条广告：转发此条消息到朋友圈，并集齐166个赞，即可免费获得精品豆浆机一台。李阿姨转发了这条广告，现已集了89个赞，她再集( )个赞，即可免费获得一台精品豆浆机。在这个问题中，总量是( )，分量是( )和( )。 【答案】 77 166个赞 89个赞 77个赞 【分析】根据题意，获得豆浆机需要的总赞数是总量，已集的赞数和再集的赞数是分量。总量等于两个分量之和，求其中一个分量，用总量减去另一个分量计算。 【详解】（个） 李阿姨转发了这条广告，现已集了89个赞，她再集77个赞，即可免费获得一台精品豆浆机。在这个问题中，总量是166个赞，分量是89个赞和77个赞。 【对应练习2】实验小学组织三、四、五年级的学生参加“书画大赛”活动。三年级有135人参加，四年级有204人参加，五年级有189人参加。三个年级一共有多少人参加？ (1)这里的总量是( )，分量是( )、( )和( )。 (2)列式计算： 【答案】(1) 三个年级参加的总人数 三年级参加的人数 四年级参加的人数 五年级参加的人数 (2) 135＋204＋189＝528（人） 【分析】（1）已知三年级、四年级和五年级参加书画大赛的具体人数，求三个年级一共有多少人参加，也就是求总量。根据总量与分量的意义，把各个部分合起来的数是总量，各个部分的数是分量。 （2）求总量需要用加法计算，将三个年级的人数相加。 【详解】（1）这里的总量是三个年级参加的总人数，分量是三年级参加的人数、四年级参加的人数和五年级参加的人数。 （2）135＋204＋189 ＝339＋189 ＝528（人） 答：三个年级一共有528人参加。 题型二、经济问题 【典型例题】夏至是盛夏的起点，从夏至起，经过三个“庚日”，便进入一年中最热的“三伏天”。西瓜是夏季消暑必备水果，水果店购进105千克冰糖小西瓜，每千克5元，又购进麒麟西瓜475元，水果店购进这两种瓜一共需要多少钱？ 【答案】1000元 【分析】根据“单价×数量＝总价”，用冰糖小西瓜的单价乘购买数量，算出冰糖小西瓜的总花费，再加上麒麟西瓜的花费，即可求出两种瓜的总费用。 【详解】5×105＋475 ＝525＋475 ＝1000（元） 答：水果店购进这两种瓜一共需要1000元钱。 【对应练习1】研学基地为参加此次研学活动的学生准备了快餐，每份快餐18元，学校要预定620份快餐，要准备多少钱？ 【答案】11160元 【分析】已知每份快餐的价格和预定份数，根据总价=单价×数量，求总钱数就是求620个18是多少，用乘法计算。 【详解】（元） 答：要准备11160元。 【对应练习2】李叔叔花870元批发来29箱苹果，他以每箱35元的价格全部卖出。李叔叔一共赚了多少钱？ 【答案】145元 【分析】要计算赚的钱数，根据总价＝单价×数量，先用35×29求出29箱苹果全部卖出的总钱数，再减去批发的成本870元即可。 【详解】35×29－870 ＝1015－870 ＝145（元） 答：李叔叔一共赚了145元。 题型三、基础行程问题 【典型例题】从公园到图书馆路程是420米，小琪步行走完需要6分钟，小桐步行走完需要7分钟。谁走得快？两人每分钟分别走多少米？ 【答案】小琪走得快；小琪每分钟走70米，小桐每分钟走60米 【分析】路程相同，用时越少速度越快；根据速度＝路程÷时间，分别代入数据计算两人的速度。据此解答。 【详解】6＜7，小琪走得快 小琪每分钟走的路程：420÷6＝70（米） 小桐每分钟走的路程：420÷7＝60（米） 答：小琪走得快，小琪每分钟走70米，小桐每分钟走60米。 【对应练习1】“五一”小长假期间，西安的李叔叔和王叔叔同时同地开车到洛阳龙门石窟游玩，李叔叔开车的平均速度是101千米/时，王叔叔开车的平均速度是90千米/时。4小时后，李叔叔到达龙门石窟景区，此时王叔叔距离龙门石窟景区还有多少千米？ 【答案】44千米 【分析】李叔叔和王叔叔同时同地出发，4小时后李叔叔到达龙门石窟。两人速度差是（101－90）。4小时后两车的路程差就是王叔叔距离龙门石窟的距离。用速度差乘时间。 【详解】（101－90）×4 ＝11×4 ＝44（千米） 答：王叔叔距离龙门石窟景区还有44千米。 【对应练习2】李叔叔开车去某地，他前2时平均每时行驶84千米，后3时共行驶了262千米。李叔叔平均每时行驶多少千米？ 【答案】 86千米 【分析】求平均速度需用总路程除以总时间，先根据速度乘时间算出前2小时的行驶路程，加上后3小时的路程得到总路程，再计算总时间，最后用总路程除以总时间得到结果。 【详解】（千米） （千米） （时） （千米） 答：李叔叔平均每时行驶86千米。 变式巩固练习 一、选择题 1．小明买了两盒钢笔，每盒6支，花了60元。钢笔单价是（    ）。 A．3支/盒 B．30元/支 C．5元/支 D．10元/支 【答案】C 【分析】根据“总价÷数量＝单价”，先用总花费除以2，求出每盒的单价，再除以6，即可求出钢笔的单价。 【详解】60÷2÷6 ＝30÷6 ＝5（元/支） 所以，钢笔单价是5元/支。 2．实验小学饲养小组一共养了60只兔，白兔22只，黑兔10只，剩下的都是灰兔。灰兔有多少只？下列数量关系式错误的是（    ）。 A．灰兔的只数＝总只数－白兔只数－黑兔只数 B．灰兔的只数＝总只数－（白兔只数＋黑兔只数） C．灰兔的只数＝总只数－黑兔只数－白兔只数 D．灰兔的只数＝总只数＋白兔只数－黑兔只数 【答案】D 【分析】要解决这道题，我们需要根据“总只数＝白兔只数＋黑兔只数＋灰兔只数”的基本数量关系，分析每个选项的数量关系是否合理。 【详解】A．灰兔的只数＝总只数－白兔只数－黑兔只数，先用总只数先减去白兔的只数再减黑兔的只数，得到灰兔的只数；正确。 B．灰兔的只数＝总只数－（白兔只数＋黑兔只数），先算白兔和黑兔的总只数，再用总只数减去这个和，得到灰兔只数；正确。 C．灰兔的只数＝总只数－黑兔只数－白兔只数，先用总只数先减黑兔只数再减白兔只数，结果和总只数－白兔只数－黑兔只数”一致，正确。 D．灰兔的只数＝总只数＋白兔只数－黑兔只数，总只数已经包含白兔只数，再“加白兔只数”会导致重复计算，不符合实际数量关系，错误。 3．超市运来一批大米，卖了180千克，还剩240千克。这批大米原来一共有多少千克？正确的算式是（    ）。 A．240－180 B．180＋240 C．240－180＋240 D．240×180 【答案】B 【分析】求大米原来的总质量，就是把卖出的质量和剩下的质量两部分合起来，用加法计算。 【详解】超市运来一批大米，卖了180千克，还剩240千克。这批大米原来一共有多少千克？正确的算式是。 4．阿泽一家四口开车去森林公园游玩，已知小轿车的行驶速度是60千米/时，_________。阿泽家离森林公园大约有多远？解决这个问题还需要补充的信息是（    ）。 A．森林公园9：00～17：00开放 B．买门票花了150元 C．全家通过公园检票口花了6分钟 D．大约开了30分钟到达 【答案】D 【分析】计算路程的公式为：，题中已给出行驶速度，需要补充行驶的时间相关信息。 【详解】A．公园开放时间，和行驶时间无关，不符合要求。 B．买门票的费用，和路程计算无关，不符合要求。 C．检票花费的时间，不是行驶时间，不符合要求。 D．行驶的时间，符合要求。 5．韩叔叔买了7盒月饼，付给收银员500元。收银员需要找给韩叔叔多少钱？要解决这个问题，下列说法正确的是（    ）。 商品标价签 每盒12个 68元/盒 A．所有信息都要用上。 B．是与价钱有关的问题，只需要“500元”和“68元”两个信息。 C．用到的信息是“7盒月饼，68元/盒，付了500元”。 D．用到的信息是“每盒12个，68元/盒，付了500元”。 【答案】C 【分析】计算找零需要先求买月饼的总花费，总花费＝月饼单价×购买盒数，找零＝付款金额－总花费，“每盒12个”是多余信息，用不到。 【详解】买月饼总花费：（元） 应找回金额：（元） 计算过程用到的信息是“7盒月饼，68元/盒，付了500元”，其余信息无用。 二、填空题 6．一种拼图每套36元，购买18套，这里的单价是( )，数量是( )。 【答案】 36元 18套 【分析】每件商品的价格，叫做单价；买了多少，叫做数量。 【详解】一种拼图每套36元，购买18套，这里的单价是36元，数量是18套。 7．当航天器每秒飞行约8千米的时候，它便可以绕地球运动而不会落到地上，这个速度可以记作( )，某航天器以这样的速度飞行30秒，可以飞行多少千米？解决这个问题用到的数量关系是( )。 【答案】 8千米/秒 路程＝速度时间 【分析】在写速度时，先写单位时间内所行的路程，然后在后面画一斜线，最后在斜线后面写上时间单位即可。每秒飞行8千米表示速度是8千米/秒。已知速度和飞行时间，求路程时用“路程＝速度×时间”。 【详解】速度是8千米/秒，飞行时间是30秒。 8×30＝240（千米） 所以该航天器30秒飞行240千米，解决这个问题用到的数量关系是路程＝速度时间。 8．杨叔叔自驾前往山海关，一共要行驶210km，他开车每小时行驶65km，3小时后离山海关还有( )km。 【答案】 15 【分析】要求剩余路程，需先根据“速度×时间＝路程”求出已行驶的路程，再用总路程减去已行驶的路程。 【详解】 ＝ ＝15（km） 9．一天，欢欢和琪琪同时从学校出发去少年宫，欢欢的速度是72米/分，琪琪的速度是68米/分。经过22分钟，欢欢到达少年宫，这时琪琪离少年宫还有( )米。 【答案】88 【分析】先求出学校到少年宫总路程，再算出琪琪22分钟走的路程，总路程减去琪琪走的路程，就是剩下的距离。 【详解】学校到少年宫总长：72×22＝1584（米） 琪琪22分钟走的路程：68×22＝1496（米） 琪琪距离少年宫：1584－1496＝88（米） 所以这时琪琪离少年宫还有88米。 10．某海洋馆的门票价格规定如下。晨光小学四年级同学去该海洋馆游玩，一班有42人，二班有45人，三班有52人。 购票人数 1～50 51～100 100以上 票价 135元/人 122元/人 90元/人 (1)每个班分别购票，二班需要( )元，三班需要( )元。 (2)三个班合起来购票，一共需要( )元。 【答案】(1) 6075 6344 (2)12510 【分析】（1）二班不超过50人，按照每人135元计算；三班超过50人，按照每人122元计算；根据总价＝数量×单价解答； （2）先算出3个班的总人数，看在哪个购票人数范围，再用总人数×票价＝总价解答。 【详解】（1）二班：45×135＝6075（元） 三班：52×122＝6344（元） （2）42＋45＋52 ＝87＋52 ＝139（人） 139人超过了100人，所以按90元/人计算。 139×90＝12510（元） 三、计算题 11．脱式计算。 366＋574＋34     43×102－86     （902－673）×18 【答案】974；4300；4122 【分析】（1）观察发现366和34能凑成400，利用加法交换律和结合律简算。 （2）观察发现86＝43×2，将原式转化为43×102－43×2，利用乘法分配律简算。 （3）先算括号内的减法，再算乘法。 【详解】（1）366＋574＋34 ＝（366＋34）＋574 ＝400＋574 ＝974 （2）43×102－86 ＝43×102－43×2 ＝43×（102－2） ＝43×100 ＝4300 （3）（902－673）×18 ＝229×18 ＝4122 12．看图列式计算，并写出数量关系。 算式：______________________________ 数量关系：______________________________ 【答案】 245÷7＝35（元） 单价＝总价÷数量 【分析】看图可知，7个足球花了245元，根据单价＝总价÷数量，用245÷7求出每个足球多少元；据此解答。 【详解】 算式：245÷7＝35（元） 数量关系：单价＝总价÷数量 四、解答题 13．学校要购置40套新的课桌椅，其中一张桌子要85元，一把椅子要45元，一共需要多少元？ 【答案】5200元 【分析】先算出1套课桌椅的总价钱，再乘购置的套数，即可求出总费用。 【详解】 ＝ 130×40 （元） 答：一共需要5200元。 14．学校开展期末安全防空演练，警报声在空气中的传播速度是340米/秒，警报声发出15秒后，学校5000米外的居民区能听到吗？ 【答案】 能听到 【分析】先根据“路程速度时间”求出警报声秒传播的路程，然后与米比较大小，判断学校米外的居民区能否听到。 【详解】（米） 答：学校米外的居民区能听到。 15．小区环形跑道一圈350米，张阳一共跑8圈，总共用时28分钟，张阳跑步的平均速度是多少？ 【答案】100米/分 【分析】先求张阳一共跑的总路程，用一圈长度乘圈数。再求平均速度，用总路程除以总时间。 【详解】350×8÷28 ＝2800÷28 ＝100（米/分） 答：张阳跑步的平均速度是100米/分。 16．顺丰快递计划用小货车9小时完成一批物品的运送并返程。已知去的时候速度是56千米/时，5小时到达指定地点。如果要按时原路返回到出发地，返回时平均每小时行多少千米？ 【答案】70千米/时 【分析】先根据去时的速度和行驶时间算出单程的路程，再用总时长减去去时的时间得到返回可用的时间，最后用路程除以返回时间得到返回的平均速度。 【详解】9－5＝4（小时） 56×5÷4 ＝280÷4 ＝70（千米/时） 答：返回时平均每小时行70千米。 17．王老师和张老师带领48名学生进行研学活动。如果按照一日票价购买门票，他们一共要花费多少钱？ 一日票价 学生25元/人 成年人50元/人 【答案】 1300元 【分析】先确定成人有2人、学生有48人，根据“总价＝单价×数量”分别算出学生票总费用和成人票总费用，再把两部分相加得到总花费。 【详解】学生票总费用：（元） 成人票总费用：（元） 总费用：（元） 答：他们一共要花费1300元。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $