简谐运动的能量与受迫振动 讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

本高中物理讲义聚焦简谐运动的能量与受迫振动核心知识点，系统梳理回复力的本质及三步判定法，推导简谐运动通用周期公式，阐释能量转化规律与振幅关系，进而讲解受迫振动特点及共振条件与应用，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料以“二级结论”提炼关键规律，如总机械能与振幅平方成正比，助力学生形成物理观念。通过知识点填空与高考模拟题（如弹簧振子、单摆问题），培养科学思维与探究能力，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生强化应用、查漏补缺。

简谐运动的能量与受迫振动 1、 回复力 1. 回复力的本质 定义：做简谐运动的物体在振动方向受到的合力（或合力的分力），其作用是把物体拉回到平衡位置。 核心公式： 其中： - F 是振动方向上的合力，不是物体所受的所有力。 - x 是相对平衡位置的位移，不是相对出发点的位移。 - 负号表示 F 与 x 方向始终相反。 注意：是简谐运动的"判据"，任何满足该式的运动都是简谐运动。 2. 判断一个运动是不是简谐运动的"三步判定法" （1）找平衡位置（振动方向上合力为零的位置）。 （2）设位移为 x（相对平衡位置，规定正方向）。 （3）证明 F = -kx（即回复力与位移成正比，且方向相反）。 3. 简谐运动的通用周期公式（由 F = -kx 推出的推论） 对任何满足 的简谐运动： 其中 m 为做简谐运动的物体的质量，k 为回复力系数（不一定是弹簧劲度系数）。 2、 简谐运动的能量 1. 三种能量（以弹簧振子为例） 在位移 x 处： - 动能： - 势能（弹性势能）： - 总机械能： 2. 能量与振幅的关系 二级结论1：总机械能与振幅的平方成正比（E ∝ A²）。 E.g.：若振幅变为原来的 2 倍，总能量变为原来的 4 倍；若振幅减半，能量变为原来的 1/4。 3. 能量随位移的变化规律 - |x| = 0（平衡位置）：Ek 最大，Ep 最小（= 0）。 - |x| = A（最大位移）：Ek = 0，Ep 最大。 - |x| 增大：Ek 减小，Ep 增大。 - |x| 减小：Ek 增大，Ep 减小。 二级结论2：位移大小相同的两个位置，速度大小一定相等（因为 Ek 只与 |x| 有关，与方向无关）。 推导：，只含 x²，所以 x = +a 和 x = -a 时 Ek 相同，v 大小相同。 3、 受迫振动（外力驱动的振动） 1. 受迫振动的定义 系统在“周期性外力（驱动力）” 作用下发生的振动，叫做受迫振动。 驱动力：持续作用于系统、维持其振动的周期性外力（不是阻尼力，也不是回复力）。 2. 受迫振动的特点 （1）振动频率“等于驱动力的频率”，与系统固有频率无关。 （2）振幅大小与驱动力的频率有关：驱动力频率越接近系统的固有频率，振幅越大。 （3）受迫振动稳定后，其频率由驱动力频率唯一确定：f受迫 = f驱。 二级结论1：受迫振动的频率与固有频率无关，只取决于驱动力频率（"强迫它怎么动，它就怎么动"）。 3. 阻尼振动 vs 受迫振动 vs 自由振动 - 自由振动：系统在回复力作用下，不受外力也不受阻力，以固有频率振动（理想情况）。 - 阻尼振动：系统在回复力作用下，受到阻力（能量不断损失），振幅逐渐减小，频率仍为固有频率（近似）。 - 受迫振动：系统在周期性驱动力作用下振动，频率=驱动力频率，振幅由驱动力频率与固有频率的差值决定。 4、 共振（受迫振动的"特例"） 1. 共振的定义 当驱动力的频率=系统的固有频率时，受迫振动的振幅达到最大，这种现象叫做共振。 2. 共振的条件：f驱 = f固 3. 共振的特点 （1）振幅最大（理论上无阻尼时振幅趋于无穷大）。 （2）能量转化效率最高：驱动力对系统做功的效率最大，系统从外界吸收能量最多。 二级结论2：发生共振时，驱动力与系统"步调一致"，每个周期驱动力都做正功，系统能量持续增加。 4. 共振的应用 （1）利用共振：共振筛、微波炉加热（水分子共振）、乐器共鸣箱、收音机调谐。 （2）防止共振：桥梁设计时避开车辆振动频率、高层建筑安装阻尼器、军队过桥"便步走"（防止脚步频率与桥梁固有频率一致）。 二级结论3（选择题常考判断）：要增大振幅，就"调频"——让驱动力频率向固有频率靠近；要减小振幅，就"错频"——让驱动力频率远离固有频率。 5. 共振曲线（受迫振动振幅随驱动力频率变化的图线） 曲线特征： - 当 f驱 = f固（系统的固有频率）时，振幅达到最大值（共振峰）。 5、 知识点理解填空 第1题（受迫振动频率判断） 某弹簧振子的固有频率为 2Hz，现施加一个频率为 3Hz 的周期性驱动力，稳定后该振子的振动频率为______Hz。若将驱动力频率改为 2Hz，稳定后振子的振动频率为______Hz，此时振幅______（填"最大""较大"或"较小"）。 第2题（共振条件与判断） 某桥梁的固有频率为 0.8Hz，当士兵以 1.2Hz 的频率齐步走过桥梁时，桥梁做______振动，振幅______（填"较大"或"较小"）。若士兵以 0.8Hz 的频率齐步走过桥梁，桥梁将发生______现象，振幅达到______。 第3题（阻尼对共振的影响） 两个完全相同的弹簧振子，分别在空气和水中做受迫振动，驱动力频率均等于固有频率。在______（填"空气"或"水"）中振幅更大，因为______。 答案：1. 3；2；最大 2.受迫，较小，共振，最大 3.空气，水的阻尼更大，振动能量消耗更快 6、 高考模拟练习 1．如图所示，轻弹簧的下端系着AB两球，，系统静止时弹簧伸长，未超出弹性限度。若剪断AB间的细绳，则A在竖直方向做简谐运动。求： (1)弹簧的劲度系数。 (2)的振幅多大。 (3)球的最大加速度多大。（取） 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.65 【详解】(1)挂AB两球时有 解得 (2)剪断AB间细绳后，球平衡时由 可得，弹簧的伸长量为 刚剪断细绳时弹簧比球平衡时多伸长的长度就是振幅，即 (3)振动中球的最大加速度 2．（多选）如图所示，倾角为、光滑的斜面体固定在水平面上，底端有垂直斜面的挡板，劲度系数为k的轻质弹簧下端拴接着质量为M的物体B，上端放着质量为m的物体P（P与弹簧不拴接）。现沿斜面向下压一段距离后由静止释放，P就沿斜面做简谐运动，振动过程中，P始终没有离开弹簧.则（　　） A．P振动的振幅的最大值为 B．P振动的振幅的最大值为 C．P以最大振幅振动时，B对挡板的最大压力为 D．P以最大振幅振动时，B对挡板的最大压力为 【答案】AD 【难度】0.85 【详解】AB．根据题意可知，物体P做简谐运动，则P位于平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧的形变量为，根据平衡条件有 解得 根据题意可知，P向上达到的最高点位置时，弹簧恰好恢复原长是P能够做简谐运动的最高点，则P的最大振幅为 故B错误A正确； CD．根据题意可知，P以最大振幅振动时，当P到达最低点，即弹簧形变量最大时，B对挡板的压力最大，根据简谐运动知识可知，此时弹簧的形变量为，设挡板对B的支持力为，对物体B，根据平衡条件有 解得 根据牛顿第三定律可得B对挡板的最大压力为 故C错误D正确。 故选AD。 3．质量均为的小球和由劲度系数为的轻质弹簧连接，小球由不可伸长的细线悬挂在点，系统处于静止状态，如图所示。将小球竖直下拉长度后由静止释放。重力加速度大小为，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球后（     ） A．若小球做简谐运动，则其振幅为 B．若小球做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球才能始终做简谐运动 D．当且仅当时，小球才能始终做简谐运动 【答案】D 【难度】0.45 【详解】AB．若小球做简谐运动，则小球初始静止时的位置即为平衡位置，将小球竖直下拉长度后由静止释放，则长度就是小球偏离平衡位置的最大位移，即小球做简谐运动的振幅为，故AB错误； CD．小球初始静止时受力平衡，设此时弹簧的伸长量为，则有 小球要始终做简谐运动，必须保证小球始终静止。假设小球运动到最高点时，细线对小球的拉力恰好为零，即此时弹簧处于压缩状态，且弹簧的弹力大小为 此时对应的小球的下拉长度最大，根据回复力的对称性有 解得 因此当且仅当（即）时，小球才能始终做简谐运动，故C错误，D正确。 故选D。 4．如图所示是一单摆做阻尼振动的图像，则此单摆的摆球在图中P与N时刻的（　　） A．速率 B．重力势能 C．机械能 D．受到的拉力 【答案】A 【难度】0.65 【详解】A．由图可知，P点位移到此次振动位移的最大值之间的差值要比N点位移到此次振动位移的最大值之间的差值要大，故P点到此次振动位移最大值过程中，增加的重力势能更多，增加的重力势能都是动能转化而来，故P点具有的动能更多，故P点的速率大于N点的速率，故A正确； B．由图可知，P、N点的位移同，故两点对应的高度相同，故两点的重力势能相同，故B错误； C．机械能包含重力势能与动能（此处无弹性势能），由A、B选项的分析可知，P点的机械能大于N点的机械能，故C错误； D．单摆运动属于圆周运动，受力分析易得，绳子的拉力与重力在绳子方向的分力的合力提供向心力，由于P、N两点的位移相同，故两点是绳子与竖直方向的夹角也相同，假设绳子与竖直方向的夹角为，绳长为l，故有 由于P点出的速率大于N点的速率，故P点的绳子拉力大于N点的绳子拉力，故D错误。 故选A。 5．如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。 （1）开始时不转动摇把，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次振动，不考虑阻力，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑阻力，振子做什么振动？ （2）在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么运动？其周期是多少？ 【答案】（1）简谐运动，0.5 s，2 Hz，阻尼振动；（2）受迫振动，0.25 s 【难度】0.65 【详解】(1)用手往下拉振子，放手后，因振子所受回复力满足 所以做简谐运动，根据题意 则 由于阻力的存在，振子克服阻力做功消耗能量，振幅越来越小，故振动为阻尼振动。 (2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱=4 Hz，周期T驱=0.25 s，故振子做受迫振动。振动达到稳定状态后，其频率（或周期）等于驱动力的频率（或周期），而跟固有频率（或周期）无关。即f=f驱=4 Hz，T=T驱=0.25 s。 6．（多选）在如图所示装置中，在曲轴AB上竖直悬挂一个弹簧振子．若不转动把手C，让弹簧振子上下振动，测得其周期为1s；若将把手C以0.5s的周期匀速转动，振子的振动稳定后，其振幅为2cm，则（　　） A．把手C转动后，弹簧振子的振动周期为0.5s B．为使弹簧振子的振幅增大为3cm，可让把手C转速减小 C．把手C转动后，弹簧振子的振动周期为1s D．为使弹簧振子的振幅减小为1cm，可让把手C转动周期减小 【答案】ABD 【难度】0.65 【详解】AC．把手C转动后，弹簧振子做受迫振动，其振动周期等于驱动力的周期为0.5s，A正确，C错误； B．为使弹簧振子的振幅增大为3cm，可让把手C转速减小，周期增大，当把手的转动周期等于1s时，弹簧振子发生共振，振幅最大，B正确； D．为使弹簧振子的振幅减小为1cm，可让把手C转动周期减小，使驱动力的周期远离弹簧振子的固有周期，D正确。 故选ABD。 7．（多选）两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图象如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为1∶4 B．若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1 C．单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关 D．周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2 m 【答案】AB 【难度】0.65 【详解】C．做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，单摆振动时的频率由驱动力的频率决定，与单摆的固有频率无关，当驱动力频率等于单摆的固有频率时，单摆的振幅最大，发生共振，故C错误； A．由题图可知，甲、乙两个单摆的固有频率之比为1：2，根据 则 若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为1∶4，故A正确； B．根据 若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4：1，故B正确； D．秒摆频率 在地面附近，秒摆的摆长为 故D错误。 故选AB。 学科网（北京）股份有限公司 $