第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（基础篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元基础复习卷，19题覆盖向量运算、立体几何证明与计算，适配单元复习，助力学生发展空间观念、推理能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量垂直（题1）、法向量（题3）|基础概念与运算结合，梯度合理| |多选|3/18|基底性质（题9）、向量夹角（题10）|多角度考查核心概念，区分度强| |填空|3/15|向量共线（题12）、阳马模型（题14）|融入文化传承，体现数学眼光| |解答|5/77|平行六面体向量化简（题15）、二面角计算（题19）|综合考查推理与表达，适配单元核心素养要求|

第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 5．（5分）（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 6．（5分）（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·陕西商洛·期末）在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·广西贺州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 10．（6分）（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 11．（6分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为； C．与平面所成角的正弦值为 D．到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·上海·期末）已知空间向量，，若，则__________． 13．（5分）（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    14．（5分）（25-26高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·全国·课后作业）已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 16．（15分）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 17．（15分）（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 18．（17分）（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 19．（17分）（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知空间向量，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求解，得的值. 【解答过程】由题可知，，解得. 故选：A. 2．（5分）（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【解答过程】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 3．（5分）（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【解答过程】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即， 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解题思路】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【解答过程】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【解题思路】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【解答过程】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A. 6．（5分）（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出，即可求解的值. 【解答过程】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C. 7．（5分）（25-26高二上·陕西商洛·期末）在长方体中，，，E为上一点且，则点C到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可. 【解答过程】如图所示，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，得， 所以点C到平面的距离为， 故选：D. 8．（5分）（25-26高二上·广西贺州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】过作于，连接，由线面垂直及面面垂直的性质可得，，从而以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】在中，，， 所以， 过作于， 则， 所以， ， 连接， 则四边形为矩形，其中， 因为 平面，平面平面 所以平面， 又因为平面 所以， 又， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为轴垂直于平面， 所以取平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【解题思路】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【解答过程】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 10．（6分）（25-26高二上·福建三明·期末）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解题思路】对于AB，由空间向量垂直，平行坐标表示可判断选项正误；对于C，由空间向量夹角坐标公式可判断选项正误；对于D，由投影向量计算公式可判断选项正误. 【解答过程】对于A，，若，则存在实数，使， 从而，显然不存在，则两向量不平行，A错误； 对于B，，因， 且两向量均不为零向量，则两向量垂直，B正确； 对于C，，又，则，故C错误； 对于D，在上的投影向量为：，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）（25-26高二上·江苏无锡·期末）如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为； C．与平面所成角的正弦值为 D．到平面的距离为 【答案】BCD 【解题思路】建立适当空间直角坐标系后，借助向量模长公式可得A；借助向量夹角余弦公式计算可得B；求出平面法向量后，借助向量夹角余弦公式计算可得C；求出平面法向量后，借助空间中点到平面距离公式计算可得D. 【解答过程】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、； 对A：，则，故A错误； 对B：，， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对C：，，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，故， 则有， 则与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对D：，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，，故， 又，则到平面的距离，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·上海·期末）已知空间向量，，若，则__________． 【答案】 【解题思路】利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量的模长公式可求得的值. 【解答过程】因为空间向量，，且， 则，解得，， 所以，故. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    【答案】 【解题思路】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【解答过程】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则__________． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得，通过平面，建立关于的方程，确定的值，结合两点间的距离公式即可求解. 【解答过程】如图，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·全国·课后作业）已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 【答案】(1)，向量如图所示. (2)，向量如图所示. 【解题思路】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可. 【解答过程】（1） ， 设P是线段的中点， 则， 向量如图所示. （2）， 设Q是线段的中点， 则， 向量如图所示. 16．（15分）（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）首先求出向量，，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； 【解答过程】（1）因为、、，，， 所以，， 则． （2）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 17．（15分）（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 18．（17分）（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）利用空间向量法证明线面平行. 【解答过程】（1）证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； （2）证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 19．（17分）（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质得平面，进而得到，结合正三角形性质得，从而平面，即得两平面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过法向量夹角的余弦值即得二面角的余弦值； （3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求得. 【解答过程】（1）证明：已知底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面， 底面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为是正三角形，是的中点，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 已知底面边长为4，是正三角形， 所以： 因为是的中点，故，所以 ， 设平面的法向量为 ， 所以 ，即 ， 令，，即， 又因为平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则， 又因为所成角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即， 又因为， 所以点到平面的距离为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $