精品解析：广东省汕头市澄海中学2025-2026学年高三上学期第二次学段考试数学试卷

2025—2026学年度高三第一学期第二次学段考试 数学科 试卷 本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 2. 若（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则化简可得，即可得解. 【详解】由， 得，即， 其虚部为， 故选：B. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算函数值，再根据零点存在性定理可判断. 【详解】因，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为 故选：B 4. 若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解. 【详解】 故选：C 5. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的值域可得出，可得出，则有，利用基本不等式可求得结果. 【详解】若，则函数的值域为，不合乎题意， 因为二次函数的值域为，则， 且，所以，，可得，则， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 6. 如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形，可得第1，第2，…，第个三角形的面积满足，即是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的基本量运算即得答案. 【详解】设的面积为，后续各三角形的面积依次为，，，， 则，，，，可见， 即是首项为，公比为的等比数列，则， 于是，，， 故. 故选：D. 7. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合椭圆与双曲线定义可得，然后由向量的运算求解即可. 【详解】如下图所示： 依题意由椭圆定义可得，所以； 即； 依题意由双曲线定义可得，所以； 即； 因此可得； 又易知，即可得； 因此，而， 即满足，所以； 又为的中点，因此. 故选：D 8. 如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当D，E，F三点共面时，容器可盛水最多，计算三棱锥的体积与原体积的关系，可得最多盛水量. 【详解】 连接DE，DF，EF，当D，E，F三点共面时，容器可盛水最多， 因为，所以， 又因为，所以F到平面SDE的距离是C到平面SAB的距离的， 所以，容器可盛水原来水的. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为锐角 D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用向量的模的计算公式；B利用数量积的运算律以及向量的坐标运算；C利用公式；D利用公式 【详解】因，则，故A正确； 因，， 则，故B错误； ，故C正确； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 10. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（ ） 价格（千元） 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的分位数不超过12 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，先确定众数落在区间上，中间值为7.5，A正确；B选项，根据平均数的定义进行计算；C选项，中位数落在中，利用中位数的定义计算出答案；D选项，先得到分位数落在中，利用百分位数定义得到答案. 【详解】A选项，1000名用户购买手机价格的众数落在区间上，中间值为7.5，A正确； B选项，同一组中的数据用该区间的中点值代表， 故平均数为，B正确； C选项，，，故中位数落在中， 中位数为，C错误； D选项，，， 故分位数落在中， 1000名用户购买手机价格的分位数为，D错误． 故选：AB 11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得的轨迹为线段，即可判断；对于B，由题意可得动点所围成的图形是矩形，即可判断；对于C，由正弦定理可得，利用空间坐标运算可得点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体，再利用，求解后即可判断；对于D，由题意可得点的轨迹是以为旋转轴，为母线的共顶点的双圆锥，直线是圆锥的一条母线，从而得点的轨迹在平面与双圆锥的截痕（椭圆）上，求出此椭圆的离心率即可判断． 【详解】对A,因为动点在正方体内及其边界上， 且，则的轨迹为线段． 由于，平面，所以， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对B,易知平面， 动点在正方体内及其边界上，且， 所以动点所围成的图形是矩形，则面积为，故B正确； 对C，设边上的高为,则， 由正弦定理可得，所以，故， 以为点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 则， 又因为，整理得：， 所以空间动点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体， 又因为，所以，故C错误； 对D,在棱上取，则． 因为异面直线与所成角为，则直线与所成角为， 故空间动点的轨迹是以为旋转轴， 为母线的共顶点的双圆锥，直线是圆锥的一条母线， 又动点在底面内，故动点的轨迹在平面与双圆锥的截痕（椭圆）上， 椭圆以为长轴，球是底面与圆锥封闭几何体的内切球， 球与底面的切点为椭圆靠近顶点的焦点． 如图，即， 即，则，所以椭圆的离心率，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是得出每一选项中点P的轨迹． 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 展开式的常数项为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项即可求解. 【详解】的二项展开式的通项为， 令，则， 所以展开式的常数项为. 故答案为：. 13. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为______. 【答案】 ①. 0.38 ②. 0.9 【解析】 【分析】分为只有甲合格，只有乙合格，只有丙合格，3种情况，根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出3种情况的概率，相加即可求得第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；根据已知可求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，因为概率相同，可以把它们看成3次重复试验发生次的概率，然后根据二项分布期望公式直接求解． 【详解】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，， 设表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则 ； 经过前后两次烧制后，甲合格的概率为，乙合格的概率为，丙合格的概率为， 则每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为， 所以，所以． 故答案为：0.38；0.9． 14. 若对任何实数，恒成立，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，，先作出的图象，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】令，， 因为的图象可由向右平移个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变， 再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变， 最后把图象上所有点向下平移个单位得到，其图象如图1， 其中， ， 又函数的图象恒过定点， 故依条件可知当且仅当函数的图象经过， ，时，取得最大值，如图2所示， 此时最小正周期为，所以，取得最大值. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，. （1）若，求证：为等差数列； （2）求的前项和. 【答案】（1） 因为， 所以 ， 又，所以是以为首项和公差的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）将已知条件代入化简即可得证； （2）利用（1）中结论求出的通项，然后根据分组求和法和错位相减法求和可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 记数列的前项和为， 则， ， 两式相减得：， 所以， 所以. 16. 已知焦距为的椭圆过点，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的斜率； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）根据条件，设的方程为，，，联立椭圆方程，利用根与系数间的关系得，，再结合题设条件，即可求解； （3）利用（2）中结果得，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 所以椭圆的方程为，又椭圆过点， 所以，整理得到，解得或（舍）， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为. 由，消得，， 设，，则，， ， ， ，， 因为，所以， 即，所以， 即，整理得到，解得. 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 由（2）得，所以的中点的纵坐标为， 所以的面积， 当且仅当时，的面积最大值为. 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，如图，为边上一点，，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角三角函数的基本关系，即可求解； （2）解法1：根据平面图形的几何关系，可得，在中求得，根据三角形面积公式，分别求得和，加和即可； 解法2：根据平面图形的几何关系得，进而求，结合正弦定理得，，再结合三角形面积公式，代入化简，即可求解. 【小问1详解】 在中，因为，由正弦定理得， 因为，所以，所以，同时平方得， 所以，因为，所以． 【小问2详解】 解法1： 设，易知，， 所以 在中，由余弦定理得，， 又，，， 所以，解得， 又，得， 所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以. 解法2： 因为，所以， 因为，所以，即， 所以，因为为锐角，所以， 又，，根据正弦定理得， 所以，， 所以 . 18. 在四棱锥中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点M到平面PBC的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为?若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形ABCD为正方形， . 又平面PCD，平面PCD， 平面PCD. 又平面PAB，平面平面， . （2） （3）存在，点E为PB上靠近点P的三等分点 【解析】 【分析】（1）由题可证平面PCD，再由线面平行性质可完成证明； （2）以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题可得平面PBC的法向量，然后结合空间向量知识可得答案； （3）由球心定义可得点Q坐标，然后设，由空间向量知识可得平面AEC的一个法向量，及PQ与平面AEC所成的角的正弦值关于的表达式，据此可得答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取BC中点N，连接ON，则， 平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， ， ∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， ．设平面PBC的一个法向量为， 则，得，取， ， 点M到平面PBC的距离为. 【小问3详解】 存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为， ，且平面ABCD为正方形， 点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设， 则，解得． 即， 设，， 设平面AEC的一个法向量为，则得， 取， 设直线PQ与平面AEC所成的角为， ， 化简得，即或（舍）． ∴存在点E为PB上靠近点P的三等分点，使得直线PQ与平面AEC所成角的正弦值为． 【点睛】关键点睛：对于外接球问题关键在于确定球心位置，可先找某一平面外接圆圆心，则球心在过圆心所在平面的垂线上；对于动点问题，常设边长比例为参数，再用参数表示已知量，求解相关方程或不等式. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，函数在区间内有唯一的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：在区间内有唯一的零点，且. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明如下： 由（i）知，当时，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 时，，则， 又在区间上有唯一零点， 即在区间上有唯一零点. ， 由①知， 则， 设， 则， ， 在区间上单调递增，又， 又. . 由前面讨论知在区间上单调递增， . 【解析】 【分析】（1）由导数求得切线斜率，由点斜式得直线方程并整理即可； （2）（i）求出导函数，根据分类讨论，分和两类，对还需对导函数再一次求导，确定单调性，极值点； （ii）在（i）的基础上，先证明是唯一零点，然后证明：求出，利用是极值点，化简消去，得的函数，然后利用导数证明，最后由的单调性得证结论成立． 【小问1详解】 当时，， ，即切点为， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）函数， ①当时，当时，， 则在区间上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去； ②当时，设， 则在区间上恒成立， 在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又在区间上有唯一零点， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 函数在区间内有唯一极值点，符合题意， 综上，的取值范围是. （ii）略 【点睛】方法点睛：本题考查用导数确定函数的极值点与零点问题，属于难题．证明，考虑到的来源，因此联想用的单调性，只要证明，这是关键，为此计算，并由是极值点得出与的关系，从而消去参数，只剩下一个未知数，引入新函数，利用导数证明出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高三第一学期第二次学段考试 数学科 试卷 本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 若 则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 与的夹角为锐角 D. 在上的投影向量为 10. 2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则（ ） 价格（千元） 频数 150 600 180 50 20 A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5 B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45 C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过6 D. 估计1000名用户购买手机价格的分位数不超过12 11. 如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则三棱锥体积为定值 B. 若，则动点所围成的图形的面积为 C. 若，则的最小值为3 D. 若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 展开式的常数项为_____. 13. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为______. 14. 若对任何实数，恒成立，则的最大值为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，. （1）若，求证：为等差数列； （2）求的前项和. 16. 已知焦距为的椭圆过点，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的斜率； （3）求面积的最大值. 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，如图，为边上一点，，，求的面积． 18. 在四棱锥中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，平面平面． （1）求证：； （2）如图，且，求点M到平面PBC的距离； （3）设四棱锥的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为?若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，函数在区间内有唯一的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：在区间内有唯一的零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $