15.1.2 线段的垂直平分线（第2课时 作线段的垂直平分线）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

【新教材】人教版·八年级上册 第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 第2课时 作线段的垂直平分线 1 2 3 能说出作线段垂直平分线的尺规作图原理，熟记线段垂直平分线的作图步骤，会用尺规作出线段的垂直平分线； 掌握利用作线段垂直平分线确定轴对称图形对称轴的方法，能规范完成尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线； 经历尺规作图的操作探究过程，体会两点确定一条直线的基本事实，感受转化思想，提升几何作图与逻辑推理的核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们学习尺规作图，掌握作线段垂直平分线的方法，还可以用它来找轴对称图形的对称轴，完成过直线外一点作已知直线垂线的作图． 同学们，上节课我们学习了线段垂直平分线的性质与判定. 如果现在只给你一条线段，你能找到这条线上两个到端点距离相等的点吗？ 导入新课 3 思考：如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 分析：由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点．根据与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，可以作出这样的两个点． 新知探究 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：如图所示． （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD．CD就是线段AB的垂直平分线． 也可以用这种方法确定线段的中点． 新知探究 学习了线段的垂直平分线的作法，能不能用来作成轴对称的两个图形或轴对称图形的对称轴呢？ 由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴． 请利用这种 方法作出五角星的对称轴. 新知探究 （2）作出线段 AA′ 的垂直平分线 l ． 则 l 就是这个五角星的一条对称轴． 作法：如图． （1）找出五角星的一对对应点 A 和 A′，连接 A A′ ． l 用同样的方法，可以作出其它四条对称轴，所以五角星有五条对称轴． A A′ 新知探究 分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线．我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在直线AB上确定这两点．根据前面关于线段垂直平分线的定理，这两点只需满足与点C的距离相等即可． 例：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：如图所示，直线AB和AB外一点C． 求作：AB的垂线，使它经过点C． 利用作线段的垂直平分线，还可以完成其他尺规作图． 新知探究 由（1）可知，点C在线段DE的垂直平分线上，因而再作出与D，E距离相等的另一点F，就能得到线段DE的垂直平分线． 作法：如图所示． （1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E． （2）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F． （3）作直线CF．直线CF就是所求作的垂线． 例：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：如图所示，直线AB和AB外一点C． 求作：AB的垂线，使它经过点C． 典例分析 【解析】三角形的中线将三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等；根据尺规作图痕迹即可得出正确答案． 解：A．由作图可知D为中点，即所作线段能把三角形的面积分成相等的两部分；B．由作图可知，无法判断两部分面积是否相等；C．由作图可知平分，无法判断两部分面积是否相等； D．由作图可知，无法判断两部分面积是否相等． 1．观察下列作图痕迹，所作线段能把三角形的面积分成相等的两部分的是（    ） A． B． C． D． A 基础训练 2. 如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，先作的平分线，然后连接，再作的垂直平分线，与相交于点P，则点P即为建中转站的位置． 解：如图，P点即为所求． 由作图可知点在的平分线上， ∴点到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点在线段的垂直平分线上， ∴，∴P点就是货物中转站的位置． 基础训练 作线段的垂直平分线 ①尺规作线段垂直平分线作法 与线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 分别以线段两端点为圆心，大于线段长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为线段垂直平分线． ③作图应用 找轴对称图形对称轴：找一对对称点，作连接这两点线段的垂直平分线，就是对称轴； 拓展：利用该方法，可完成过直线外一点作已知直线的垂线． ②作图原理 新知总结 12 1．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（    ） A． B． C． D． B 【解析】根据尺规作图痕迹判断与的位置关系及点性质． 解：A、作的是的角平分线，是的角平分线，不符合题意；B、作的是，是的高，符合题意；C、是的垂直平分线，是的中线，不符合题意；D、作的是，不是的高，不符合题意．故选B. 巩固练习 2．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 C 【解析】由尺规作图可得垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质以及线段的和差求解． 解：由尺规作图可得垂直平分线段， ∴． 巩固练习 3．如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线．（1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点；（2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点；（3）作直线，交于点，顺次连结、、、．直线就是所要求作的垂线．给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为．以上结论正确的序号为______． ①②③ 【解析】根据作图可得是的垂直平分线,进而逐项分析判断,即可求解. 解：根据作图可得，，，∴是的垂直平分线 ∴，故①正确，，，∴点与点关于直线对称；故②正确，∵，若，则四边形的周长为 ，故③正确，∵，∴四边形的面积为，故④不正确．综上所述，正确的序号为①②③． 巩固练习 4．按要求用无刻度直尺和圆规作图，（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图①，作的角平分线； (2)如图②，作直线l，使得点A与点P关于直线l对称． 【解析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；（2）根据对称性，连接，作线段的垂直平分线即可. 解：（1）如图，即为所求；  （2）如图，直线即为所求. 巩固练习 5．如图，在中，是边上的中线，点为的中点． (1)用尺规作出边上的高线． (2)若，，求_____度． (3)若的面积为10，，则_____． 【解析】（1）根据垂线的尺规作图方法进行作图即可；（2）直接根据三角形外角的性质解答即可；（3）先根据是中点，的面积为10得出的面积，再根据是边上的中线得出的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论． 解：（1）作图如图所示； （2）； （3）是中点，的面积为10，， ，是边上的中线， ．， ，是边上的高线，， ． 拓展提升 17 课堂总结 必做题： 教材第71页习题15.1第9题、第10题 选做题： 教材第71页习题15.1第11题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! $