第4单元 第5课时 等式中的规律&要点总结-【随堂笔记】2026-2027学年五年级上册数学（北师大版·新教材）

随堂笔记·数学·五年级·上册·BS 第⑤课时 等式中的规律 课前·预习笔记 任务 笔记 重点心 知识点① 等式的规律（一）（教材第58页例题) 1天平两侧同时增加2g砝码，天平仍平衡。天平两侧同时减少2g砝码，天平仍平衡。 5+5=10 5+5+2=10+2 12=12 12-2=12-2 等式两边都加2，等式仍然成立。 等式两边都减2，等式仍然成立。 等式的规律（一）：等式两边都加（或减)同一个数，等式仍然成立。 重点心 知识点2等式的规律（二）（教材第58页例题） 天平两侧的砝码质量同时增加到 天平两侧的砝码质量同时减少到 新 原来的2倍，天平仍平衡。 原来的一半，天平仍平衡。 品品 o.oa 55 品品 10×2=20 10×2×2=20×2 5×4=10×2 5×4÷2=10×2÷2 等式两边都乘2，等式仍然成立。 等式两边都除以2，等式仍然成立。 等式的规律（二）：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数)， 等式仍然成立。 重点© 知识点3利用等式的规律解决问题（教材第59页例题） 个鸡蛋的质量+20g=50g+20g+10g 两边同时去掉20g,可得一个鸡蛋的质量+20g-20g=50g+20g+10g 20g 一个鸡蛋的质量=(60)g 理 等式的规律 思 等式中的规律 利用等式的规律解决问题 路 等式的规律（二） 114 四用字母表示（一）》 课堂·听课笔记 精批注 观察下图，你发现了什么规律？ 天平两侧同时增加2g砝码，天平仍平衡 天平两侧同时减少2g砝码，天平仍平衡。 0 5+5=10 5+5+2=10+2 12=12 12-2=12-2 天平两侧都增加相同的 天平两侧都减少相同的 质量，天平仍平衡。 质量，天平仍平衡。 再写出一些这样的等式，说明上面的规律是成立的。 等式的规律（一）： 10+9=19 55+7=62 等式两边都加(（或 10+9+10=19+10 55+7-2=62-2 减)同一个数，等 10+9+20=19+20 55+7-20=62-20 式仍然成立。 ○等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式还成立吗？与同伴交流你的 想法。 天平两侧的砝码质量同时增加到 天平两侧的砝码质量同时减少 原来的2倍，天平仍平衡。 到原来的一半，天平仍平衡。 55 55 10×2=20 10×2×2=20×2 5×4=10×2 5×4÷2=10×2÷2 。。。 等式的规律（二）： 等式两边都乘同一个数， 等式两边都除以同一个不 等式仍然成立。 为0的数，等式仍然成立。 0作除数没有意义。 115 随堂笔记·数学·五年级·上册·BS 。鸡蛋的质量是多少克？想一想，说一说。 天平是平衡的，鸡蛋的 两侧同时减少相同的质量， 质量加20g等于 都去掉20g 80g0 天平仍平衡。 练一练 1.请你画图或举例说说下面两句话的意思。 提示：一自己可以画图试一试 (1)等式两边都加（或减)同一个数，等式仍然成立。 (2)等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 2.如果每颗樱桃的质量都相同，一颗樱桃是多少克？说一 20g20 说你的想法。 一颗樱桃是10克。 提示：4颗樱桃的总质量为20+20=40(g）。 3.不计算，根据规律填上合适的符号和数。 提示：等式的左边发生什么变化，等式的右边也发生相应的变化。 37-6=31 20×3=60 37-6+3=31 +)儿3 20×3×5=60(×)5 37-6-10=31 10 20×3÷5=60(÷)5 (答案不唯一 (答案不难一 7-6(+1=31(+1 20×3(×)2)=60×)2 你知道吗 用字母表示未知数的历史久远。3世纪，古希腊数学家丢番图在《算术》 中首次使用希腊字母表示未知数。中国宋元时期的“天元术”也是用字符 表示数的范例，其中数学家李治在《测圆海镜》中使用“元”字来表示未 知数。1637年，笛卡儿在《几何学》中首次使用“x”表示方程中的未知数， 这也成为今天我们的普遍做法。 学习了本单元内容，你有哪些收获？还想研究哪些问题？与同伴交流。 116- 四用字母表示（一） 学方法 ○运用代入法解决复杂的用图形表示数的问题 口，△，O分别代表一个数，它们满足下面三个等式，求出它们各代表什么数。 ☐+☐+△=46① ▣+△+△=47② ▣+O+△=48③ 思路分析：根据等式的规律，可以把等式①和等式②的左右两边分别相加，求出3个☐与 3个△的和，再用46+47的和除以3，求出1个口与1个△的和，最后将1个 □与1个△的和分别代入三个等式中，即可求出这三个图形各代表什么数。 正确解答：由①+②得出： ☐+☐+△+☐+△+△=46+47→3×（☐+△）=93→□+△=93÷3=31 将口+△=31分别代人三个等式中： 口+☐+△=46→☐+31=46→☐=46-31=15解决此类题时，可以把每 ☐+△+△=47→31+△=47→△=47-31=16 个等式都含有的部分看作 一个整体，再利用等式的 口+0+△=48→0+31=48→0=48-31=17规律求解。 ○运用整体思想解决求值问题 如果8a-2b=6,那么4a-b+10的值是多少？ 思路分析：这道题无法分别求出和b的值，观察两个算式的特点。 8a-2b=6 把4a-b看作一个整体。 2（4a-b)=6 2(4a-b)÷2=6÷2 4a-b=3 把4a-b=3代入所求式子可得出结果。 正确解答：8a-2b=6 2(4a-b)=6 4a-b=3 解决此类问题的关健是先通过观察发现两个式 4a-b+10=3+10=13 子中未知数的关系，然后把问题中的未知量看 成一个整体，求出这个整体的值，再将这个整 答：4a-b+10的值是13。 体的值代入所求式子中求值。 117 随堂笔记·数学·五年级·上册·BS 课后·提升笔记 巧总结 ○易错点：在运用等式的规律时，等式两边没有做相同的运算 判断下面的等式变形是否正确。 运用等式的规律时，等式 两边要做相同的运算。 已知等式：3×5=15 变形：3×5-4=15+4 易错解读：等式两边必须都加（或减）同一个数，等式才仍然成立。此题一边加4、一边减4， 运算类型不一致，因此变形后的等式不再成立。所以本题的正确答案为不正确。 举一反三： 不计算，根据规律填上合适的符号和数。 45+10=55 60÷2=30 45+10-12=55○ 60÷2×3=30 45+10+20=55○□ 60÷2÷3=30○☐ 45+10○☐=55○☐ 60÷2○☐=30○■ 提素养 1.利用等式的规律求出等式中的未知数。 (1)如果x-15=28,求x的值。 (2)如果3y=4.5,求y的值。 2.如果每个苹果的质量都相同，一个苹果重多少克？ 提示：先算出两个苹果的质量，再算一个苹果的质量。 δ0g 500g 250g 118· 四用字母表示（一）》 第四单元要点总结 要点1 用字母表示数、数量关系、运算律和计算公式 (1)用字母或含有字母的式子不仅可以表示数，还可以表示数量关系，但字母的取值范 围要符合实际情况。 (2)用字母表示运算律和计算公式时，先要弄清有几个不同的量，不同的量要用不同的 字母表示。 练习 一个正方形的边长是acm,另一个长方形的长是这个正方形边长的2倍，宽比正方形的边长 少1cmo (1)用含有a的式子表示长方形的周长。（2)当a=4时，长方形的周长是多少厘米？ ,要点2用字母表示规律 解决用字母表示规律的问题时，先列前几项的表达式，再找通用形式。找到通用形式后， 定要将前几项代入验证是否和已知数一致。 练习 (1)像这样摆下去，摆n个正方形需要 根小棒。 (2)摆21个正方形需要（)根小棒。 要点3 等式的规律 等式的规律（一）：等式两边都加（或减）同一个数，等式仍然成立。 等式的规律（二）：等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 练习 利用等式的规律求出等式中的未知数。 (1)如果a+12=45,求a的值。 (2)如果b÷5=1.2,求b的值。 119随堂笔记·数学·五年级·上册·BS (3)a÷6(4)10×m (5)a-2a+2 2.玲珑塔，塔玲珑，玲珑宝塔第n层，n张桌子 4×n条腿，n个和尚2×n本经。 第2课时回声测距离 举一反三 (1)2×am (2)b÷50个 Q提素养 1.（m÷12-n) 2.（1)(38+a)×tkm (2)(38+50)×1.5=132(km) 答：此时两地之间的距离是132km。 第3课时用字母表示数量关系 举一反三 m2=6×6=36 2m=2×6=12 Q.提素养 1.蛋糕的块数面包和蛋糕的总块数 蛋糕比面包多的块数 2.(1)周长：2(x+y)dm 面积：ydm (2)2(x+y+2)dm (3)原长方形周长：2×(8+5)=26(dm) 新长方形周长：2×(8+5+2)=30(dm) 第4课时用字母表示规律 举一反三 (1)981 (2)481 ②提素养 (1)第n行有(2n-1)个数。 2×6-1=11(个) 2×10-1=19(个) 答：第6行有11个数，第10行有19个数。 (2)1+3+5+7+9=25(个) 1+2+3+…+24+25=325 答：第1行到第5行一共有25个数，第1行 到第5行所有的数加起来的和是325。 第5课时等式中的规律 举一反三 （部分答案不唯一)-12+20+30+30×3÷ 3×10×10 ②提素养 1.(1)x-15=28 x-15+15=28+15 x=43 (2)3y=4.5 3y÷3=4.5÷3 y=1.5 2.假设一个苹果的质量为xg 2x+50=500+250 2x+50-50=500+250-50 2x=700 2x÷2=700÷2 x=350 答：一个苹果重350g。 第四单元要点总结 要点1练习 (1)长：2acm宽：(a-1)cm 周长：(2a+a-1)×2=6a-2(cm) (2)6×4-2=22(cm) 答：当a=4时，长方形的周长是22cm。 要点2练习 (1)(3n+1) 6 (2)64 要点3练习 (1)a+12=45 a+12-12=45-12 a=33 (2)b÷5=1.2 b÷5×5=1.2×5 b=6 五多边形的面积 第1课时比较图形的面积 举一反三 (1)×(2)V ②提素养 1.<= 2.①④② 3.② 第2课时认识底和高 举一反三 略 ①提素养 1.4.2cm5.7cm6.4cm3.6cm8.4dm5.6dm 2.略 3. 高 (画法不唯一） 底 第3课时探索平行四边形面积 举一反三 18÷2-5=4(cm) 4×5=20(cm2) 答：图中平行四边形的面积是20cm。 23 本书练习题参考答案 0提素养 1.15×11.5=172.5(cm2) 4×3=12(dm2) 1.5×2=3(cm2)或2.5×1.2=3(cm2) 2.25×16×50=20000(枝) 答：这个花圃一共可以产鲜花20000枝。 3.48×12-48×1=528(m2) 答：这块地的实际耕地面积是528m。 第4课时探索三角形面积 举一反三 (1)B (2)C ②提素养 1.12×9.5÷2=57(cm2) 3×4÷2=6(m2) 3×2.8÷2=4.2(dm2) 2.330×2÷30=22(cm) 答：每个三角形的高约是22cm。 3.20×2÷4=10(dm) 5×10÷2=25(dm2) 答：空白部分的面积是25dm。 第5课时探索梯形面积 举一反三 (2.2+4.6)×4.2÷2=14.28(m2) (4+7)×8÷2=44(dm2) (2.8+5.2)×5.6÷2=22.4(cm2) ①提素养 1.(1)36(2)10.5(3)5 2.(82-20)×20÷2=620(m) 答：这个养鸡场的占地面积是620m。 3.72×2÷(4+8)=12(cm) 8×12÷2=48(cm2) 答：涂色部分的面积是48cm。