第30讲 带电粒子在叠加场中的运动（复习讲义）（江苏专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

该高中物理讲义聚焦带电粒子在叠加场中的运动，涵盖电场与磁场叠加、三场叠加及交变电磁场等核心考点，按考情分析、知识框架、考点拆解、真题训练逻辑组织，通过考点梳理、方法指导、分层练习帮助学生构建系统思维，突破高考压轴题难点。 资料突出科学思维培养，创新运用“配速法”将复杂曲线运动转化为模型叠加，结合“滚轮线”极值分析等策略，设计从基础例讲到变式训练的教学活动，助力学生高效掌握平衡条件、功能关系等解题范式，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

带电粒子在叠加场中的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 带电粒子在叠加场中的运动 考向1 带电粒子在叠加场中做直线运动 考向2 带电粒子在叠加场中做圆周运动重 考向3 带电粒子在叠加场中做一般曲线运动难 考点二 带电粒子在交变电磁场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电磁场中的运动 考向1 带电粒子在交变电磁场中的运动难 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 电场与磁场的叠加（平衡类，匀速直线运动） 电场与磁场的叠加（一般曲线运动，“滚轮线”模型） 江苏卷·T16，计算题 重力场、电场与磁场的三场叠加 叠加场中的功能关系与能量转化 江苏卷·T16，计算题 叠加场中运动的临界与极值问题 江苏卷·T16，计算题 “配速法”在叠加场中的应用 江苏卷·T16，计算题 考情分析 题型与考向：江苏高考对“带电粒子在叠加场中的运动”的考查以计算题为主，且几乎每年都以压轴题的形式出现。高考对带电粒子在复合场中运动的考查非常频繁，大多以计算题中的压轴题出现，题目阅读量较大，难度较大，对学生的建模能力和数学方法的应用能力考查较高。考查内容涵盖三个核心维度： 平衡类叠加场（匀速直线运动） ：电场力与洛伦兹力平衡（qE = qvB），粒子做匀速直线运动。2023年江苏卷T16第（1）问即为典型——入射速度为v₀时电子沿x轴做直线运动，由Ee = ev₀B求得电场强度E = v₀B。 一般曲线运动（“滚轮线”模型） ：当入射速度不等于v₀时，电场力与洛伦兹力不能平衡，粒子做复杂的曲线运动。2023年江苏卷T16第（2）（3）问考查的即为这种“滚轮线”运动，电子的运动轨迹如虚线所示，在最高点与在最低点所受的合力大小相等。 三场叠加（重力场+电场+磁场） ：带电粒子同时受重力、电场力和洛伦兹力作用。2008年江苏卷第14题即考查了此模型，可用“配速法”处理——“给物体配一个速度v，使得这个速度所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力抵消”，从而将问题简化为只受一个洛伦兹力的运动。 情境与立意： 生活实践类：霍尔推进器（2023年江苏卷T16）——航天器电推进技术的核心装置，利用电场和磁场复合控制电子运动；磁流体发电机、电磁流量计等现代科技设备中的叠加场应用。 学习探究类：叠加场中带电粒子的受力分析方法（电场力qE、洛伦兹力qvB、重力mg的方向判断）；平衡条件（qE = qvB）的建立与应用；“配速法”的物理思想——通过配速将复杂的叠加场运动转化为等效的圆周运动与匀速直线运动的叠加；动能定理在叠加场中的应用（电场力做功与路径无关，洛伦兹力永不做功）；“滚轮线”运动的极值分析（最高点与最低点合力大小相等）。 复习目标 叠加场的分析思路：掌握叠加场问题的基本分析框架——（1）明确叠加场中同时存在哪几种场（重力场、电场、磁场）；（2）对带电粒子进行受力分析（重力mg、电场力qE、洛伦兹力qvB），注意各力的方向特点；（3）根据受力情况判断粒子运动性质——平衡时做匀速直线运动，非平衡时做复杂曲线运动。江苏卷压轴题必备核心技能，务必熟练掌握。 平衡类叠加场（匀速直线运动） ：掌握电场力与洛伦兹力平衡的条件qE = qvB，理解速度选择器的工作原理（v = E/B）。注意：平衡类叠加场中粒子的速度由E/B决定，与粒子的电荷量、质量、电性无关。能运用平衡条件求解电场强度、磁感应强度或粒子速度。 “配速法”的核心思想：深入理解“配速法”——给带电粒子配一对大小相等、方向相反的速度（v₁和-v₁），使配给的一个速度对应的洛伦兹力与电场力（或重力）平衡，从而将问题转化为速度v₁对应的匀速直线运动与剩余速度（v - v₁）对应的匀速圆周运动的叠加。掌握“配速”的选择原则——使一个速度对应的洛伦兹力恰好抵消电场力（或重力），即v₁ = E/B（或v₁ = mg/qB）。江苏卷2023年T16核心解题方法，务必重点突破。 “滚轮线”运动的极值分析：理解“滚轮线”运动的物理图像——粒子在叠加场中的轨迹呈周期性波动，存在最高点和最低点。掌握极值条件——在最高点和最低点，粒子的速度方向水平（与x轴平行），洛伦兹力方向竖直，合力沿竖直方向。掌握“最高点与最低点所受合力大小相等”的物理含义及其应用。 叠加场中的功能关系：掌握叠加场中电场力做功与路径无关的特点（W电 = qU = qEΔy），理解洛伦兹力永不做功的结论（W洛 = 0）。能运用动能定理建立方程：qEΔy = ½mv₂² - ½mv₁²（电场力做功等于动能变化量）。江苏卷压轴题高频考点，务必熟练掌握。 叠加场中运动的临界与极值问题：掌握叠加场中临界问题的分析方法——找出临界条件（如粒子恰好到达某位置、恰好速度为零、恰好沿某方向运动等），建立方程求解。理解极值问题的常见类型——最大/最小速度、最大/最小位移、到达特定位置的纵坐标等（2023年T16第（2）问考查方向）。江苏卷计算题高频考查方向，务必重点突破。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 带电粒子在叠加场中的运动 知●识●解●构 1、叠加场 电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。 2、分类 电场力、重力并存，即电场力+重力＝F等效（恒力）：①带电粒子静止或匀速直线运动，则F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）；②带电粒子做匀变速直线运动，则F等效≠0且与v共线；③带电粒子做匀变速曲线运动，则F等效≠0且与v不共线。 【注意】该情景带电粒子没有圆周运动。 洛伦兹力、重力并存：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝mg且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则重力和洛伦兹力不平衡，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒。 【注意】该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。 磁场力、电场力并存（不计重力的微观粒子）：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝F电且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解。 【注意】该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。 静电力、洛伦兹力、重力并存：①带电粒子静止，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝0；②带电粒子做匀速直线运动，则F电、mg、F洛三力平衡；③带电粒子做匀速圆周运动，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝Fn；④带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则合力不为零且与速度方向不垂直，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。 【注意】该情景带电粒子无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动。 3、带电体在叠加场中有约束情况下的运动 带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。 4、分析方法 叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况； 受力分析：先分析场力（重力、电场力、磁场力），然后分析接触力（弹力、摩檫力），最后分析其它力； 运动分析：注意运动情况和受力情况的结合； 分段分析：粒子通过不同种类的场时，分段讨论； 画出轨迹：①静止或匀速直线运动（运用平衡条件）；②匀速圆周运动（运用牛顿运动定律和圆周运动规律）；③复杂曲线运动（运用动能定理或能量守恒定律）；④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。 【注意】牢记三点：①受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等；②运动过程分析是关键：包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动；③根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等）求解。 ✨得分速记：带电粒子两种运动的总结 直线运动：①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解；②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解 曲线运动：①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解；②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。 考●向●破●译 考向1 带电粒子在叠加场中做直线运动【重】 例1 （25-26·江苏南京·高二上）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，直线MN与水平方向成45°，NP水平，一小球质量为m，带电量为q，恰以速度v沿直线MN运动。当小球到N点时，撤去磁场，一段时间后经过P点，重力加速度为g，则（    ） A．小球沿MN可能为匀加速直线运动 B．磁场强度为 C．小球到P点的速度大小为2v D．小球从N到P的过程中，距离NP的最大距离为 【答案】D 【详解】A．若小球沿MN做匀加速直线运动，速度变化，洛伦兹力大小随之变化，合力方向会偏离MN，无法保持直线运动，因此小球一定做匀速直线运动，故A错误； B．小球匀速运动，三力平衡：沿MN方向合力为零 得 洛伦兹力与重力、电场力的合力平衡 解得，故B错； C．撤去磁场后，重力竖直向下，电场力水平向右，加速度（竖直向下），（水平向右） 以N为原点，NP为x轴，y轴竖直向上，初速度分量， 到达P点时，由 得运动时间 P点速度分量， 合速度，故C错误； D．距离NP的最大距离出现在竖直方向速度减为0时，由运动学公式得 ，故D正确。 故选D。 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏淮阴·高二上）如图所示，虚线间空间存在由匀强电场E和匀强磁场B组成的正交或平行的电场和磁场，有一个带正电小球（电量为，质量为m）从正交或平行的电、磁混合场上方的某一高度自由落下，带电小球通过下列电、磁混合场时，可能沿直线运动的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．小球在叠加场中受重力、向左的电场力、向右的洛伦兹力，下降过程中速度一定变大，故洛伦兹力一定变化，不可能一直与电场力平衡，故合力不可能一直向下，一定做曲线运动，故A错误； B．小球在叠加场中受重力、向上的电场力、垂直向外的洛伦兹力，合力与速度一定不共线，一定做曲线运动，故B错误； C．小球在叠加场中受重力、斜向左上方的电场力、水平向右的洛伦兹力，若三力平衡，则小球做匀速直线运动；故C正确； D．小球在叠加场中受重力、向上的电场力、垂直向里的洛伦兹力，合力与速度一定不共线，一定做曲线运动，故D错误。 故选C。 【变式训练2·变情境】（25-26·江苏常州高二上·期末）如图所示，质量为1kg的小球，带有0.5C的负电荷，套在一根与水平方向成37°角的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为μ=0.5，杆所在空间有磁感应强度B=0.4T的匀强磁场，小球由静止开始下滑。（）求： (1)小球下滑的最大速度； (2)若下降高度为h之前小球的速度已达到最大值。求小球下降h的过程中，因摩擦产生的热量Q。（结果用h表示） 【答案】(1)20m/s (2) 【详解】（1）以小球为研究对象，通过分析受力可知，小球受重力，垂直杆的支持力和洛伦兹力，摩擦力，根据左手定则，小球受到的洛伦兹力垂直绝缘杆向下，当时，即小球的速度最大，即 垂直绝缘杆方向有 联立解得 （2）洛伦兹力对小球不做功，下降过程中，根据动能定理有 又有 联立解得 考向2 带电粒子在叠加场中做圆周运动【重】 例2（25-26·江苏江阴·高二下）方向竖直向下、电场强度为的匀强电场和磁感应强度为、方向垂直纸面向里的匀强磁场正交叠加，如图所示。一质量为的带电粒子，在叠加场中的竖直平面内做匀速圆周运动，重力加速度为。则可判断该带电粒子（     ） A．为带电荷量的正电荷 B．运动的角速度为 C．沿顺时针方向做圆周运动 D．运动的速率为 【答案】C 【详解】AC．粒子在叠加场中的竖直平面内做匀速圆周运动，可知电场力和重力平衡，则 即粒子带电量，电场力向上，可知粒子带负电，根据左手定则可知，粒子沿顺时针方向做圆周运动，A错误，C正确； BD．设粒子做圆周运动的半径为R，则根据 解得 运动的角速度为，则BD错误。 故选C。 【变式训练1·变情境】（2026·江苏淮安·模拟）如图所示为同轴柱形电容器的结构简图。电容器高为H，半径为的金属内圆柱接地（），半径为金属外圆筒厚度不计，M为内圆柱下表面边缘上一点，N为外圆筒内表面上距M最远的点。现使该电容器带电，中间区域的电场满足关系：电场强度大小，电势，电场方向沿半径由内向外，该区域还存在方向竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场。从M点竖直向上发射一质量为m、电荷量为的带电小球，小球始终未与外筒碰撞，且上升的最大高度为H。重力加速度为g。 (1)求小球的初速度大小； (2)若小球运动到距轴线处时，沿半径方向的分速度达到最大，求小球此刻加速度大小； (3)若小球的运动轨迹经过N点，且从M点第一次运动到N点之前，与外圆筒有四次相切，求第一次相切位置到N点的距离d。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电场沿径向，洛伦兹力无竖直分量，只有重力沿竖直方向，因此竖直方向加速度恒为 小球上升到最大高度时竖直速度减为0，由运动学公式 得小球初速度大小 （2）径向分速度最大时，径向加速度，径向合力为0：电场力与洛伦兹力径向分量平衡，即 ，则 由洛伦兹力不做功，结合竖直方向运动关系，推导得处满足 代入得 切向合力仅由洛伦兹力切向分量提供，故切向加速度，竖直加速度大小恒为，总加速度大小 代入整理得处（最大）小球的加速度 （3）M初始在、、，每次到达外筒时即为相切；N点在、、 题目说明N之前共4次相切，即总共有5次到达，因此相邻两次到达的角度差为，第一次相切角度，到N点的角度差为 由于与成正比，第一次相切，到N点的竖直差为 两点都在半径为的柱面上，直线距离满足 代入、 得第一次相切位置到N点的距离 【变式训练2·变考法】（2026·江苏苏州·模拟）如题图所示，半径为的环形光滑细管水平固定，中间圆形区域存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度随时间变化关系如题图中，图像斜率为．细管内一质量为、带电量为（）的小球在时刻由静止释放，已知细管内涡旋电场的场强大小为，方向沿着细管。 (1)求小球运动第1圈所需的时间； (2)求小球第1次回到初始位置时细管侧壁对小球的作用力大小； (3)如题图所示，若有一宽度很窄的环形匀强磁场恰能覆盖小球经过的区域，磁场方向垂直环面，磁感应强度随时间变化关系如题图中，小球从时刻由静止开始运动后恰好不受细管侧壁的作用力，求图像的斜率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球切向加速度大小为 代入得 由运动学公式可得 解得 （2）小球第一次回到初始位置的速度大小 代入和得 细管侧壁对小球作用力大小为 代入得 （3）经时间小球速度大小为 设环形磁感应强度，任何时候由洛伦兹力提供小球向心力，有 代入和，解得 则有 考向3 带电粒子在叠加场中做一般曲线运动【难】 例3（26-27·贵州遵义·高三上）研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，可采用圆周运动的分析方法来处理。如图所示，电容器两平行极板水平放置，两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B。一束质量均为m、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线PQ方向进入板间后，速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在极板间的运动轨迹如图中曲线所示，为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程的速率在和之间变化。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．两板间电场强度的大小为 B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 D．乙粒子的运动轨迹在处对应圆周的半径为 【答案】C 【详解】A．速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动，则 解得两板间电场强度的大小为，故A错误； B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，做曲线运动，速度有竖直分量，据左手定则水平方向会受洛仑兹力，故水平方向上不会做匀速运动，故B错误； C．由于洛伦兹力一直不做功，乙粒子所受电场力方向一直竖直向下，当粒子速度最大时，电场力做的功最多，偏离中轴线的距离最远，根据动能定理有 整理得到，故C正确； D．由题意，乙粒子的运动轨迹在A处时为粒子偏离中轴线的距离最远，粒子速度达到最大，为，洛伦兹力与电场力的合力提供向心力，则 所以对应圆周的半径为，故D错误。 故选C。 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏南通·高二下）如图所示，真空中有范围足够大、垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在轴下方有沿轴方向的匀强电场，电场强度大小为。质量为、电荷量为的粒子在平面内从轴上的点以初速度大小为射出，不考虑粒子的重力。 (1)若粒子与轴方向成角从点射出，刚好能到达轴，求点的纵坐标； (2)若粒子沿轴方向从点射出，穿过轴进入第四象限，在轴下方运动到离轴最远距离为的点（图中未标出），求粒子在点速度的大小； (3)若所在空间存在空气，粒子沿轴方向从点射出，受到空气阻力的作用，方向始终与运动方向相反，粒子从点进入第四象限后做匀速直线运动，速度与轴方向成角。求粒子从点运动到点的过程中克服阻力所做的功和运动的时间。 【答案】(1)（） (2) (3)， 【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，则由洛伦兹力充当向心力可得 由几何关系得 解得 （2）设粒子进入第四象限离轴距离最远时速度为，水平向右，电场力对粒子做正功，由动能定理可得 解得 （3）设粒子进入第四象限以速度做匀速运动，受力分析如下图 受力关系有 粒子从点运动到点，由动能定理得 解得 粒子从点运动到点过程中任意时刻满足 则点运动到点的时间为 解得 【变式训练2·变考法】（2026·江苏扬州·模拟）如图甲所示，在光滑的水平面内存在两个小球P、Q（可视为质点），质量均为m，电荷量分别为+q和-q，它们之间的距离为R0。已知静电力常量为k，两个小球间的电势能为（r为两球之间的距离），不计小球运动产生的磁场及相对论效应。 (1)若固定小球Q，当小球P具有垂直于连线的初速度v0时，恰做匀速圆周运动，求初速度大小v0； (2)在（1）的条件下，将小球P的初速度大小改为v1（v1<v0），其运动过程中，两球连线在单位时间内扫过的面积相等。已知它们之间的最近距离为R（R<R0），求小球P初速度的大小v1； (3)若加竖直向下的匀强磁场，如图乙所示，同时由静止释放两个小球，为了使它们不发生碰撞，求磁感应强度的最小值Bmin。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据库仑力提供向心力可得 解得 （2）若小球P的初速度大小为v1（v1<v0），则小球P将做近心运动，轨迹为椭圆，根据开普勒第二定律可得 小球P从初始位置运动到与Q距离最近的过程，根据能量守恒定律可得 联立解得 （3）系统水平方向合外力为零，则系统水平方向总动量始终为0，两球始终关于初始中点对称运动，两球恰好不碰撞，则水平速度为零，设二者间距离为r，根据能量守恒定律可得 在垂直于二者连线方向，根据动量定理可得， 根据几何关系可得 联立解得 根据数学知识可得，当时，磁感应强度最小，最小值为 考点二 带电粒子在交变电磁场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电磁场中的运动 知●识●解●构 1、常见类型 ①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。 2、分析思路 仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联。应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。 把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。 把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。 3、分析方法 先读图，看清并且明白不同场的变化情况；受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况；过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况；找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向；选规律，联立不同阶段的方程求解。 考●向●破●译 考向1 带电粒子在交变电磁场中的运动【难】 例1（25-26·陕西西安·高二上）（多选）如图甲所示，平面直角坐标系的区域内有磁场，磁场的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示，垂直于纸面向里为正方向，、均已知。平行于x轴的两带电金属板间存在着磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。带电粒子（不计重力，视为点电荷）以沿x轴正方向的速度射入两板间，恰能沿中轴线做直线运动，0时刻过坐标原点，2时刻经过坐标为的A点。下列说法正确的是（    ） A．粒子经过A点时速度方向平行于x轴 B．粒子的速度大小为 C．粒子的电荷量与质量的比值为 D．两板间的电场强度为 【答案】AD 【详解】 A．粒子从O点沿x轴正向进入右侧磁场，2T0时刻经过坐标为（d，d）的A点。画出粒子的运动轨迹，如图 由对称性可知，粒子经过A点时速度方向平行于x轴，故A正确； B．因A点的纵坐标为d，可知粒子做圆周运动的半径为，每段圆弧所对的圆心角为，可得粒子的速度，故B错误； C．根据 解得，故C错误； D．粒子在两极板间做直线运动，则qE=qvB0 解得两板间的电场强度为，故D正确。 故选AD。 【变式训练1·变考法】（2026·江苏南京·模拟）据报道，我国可控核聚变技术已达世界领先水平，其技术难点是利用电场和磁场来控制带电粒子的高速运动。如图甲、乙所示，在空间直角坐标系中，存在竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场和周期性变化的匀强电场，电场变化周期，电场强度大小和方向可调。一个质量为、带电量为的小球，从原点沿轴正方向以速度射出，已知重力加速度为。 (1)若在内小球做匀速圆周运动，求电场强度的大小和方向； (2)若电场强度，方向沿轴正方向，请在图丙中定性画出内小球运动轨迹，在平面内的投影，并求出该过程中小球离平面的最大距离； (3)若电场强度，方向沿轴正方向，求时刻粒子的位置坐标。 【答案】(1)，方向竖直向上 (2)， (3) 【详解】（1）由匀速圆周运动知：电场力和重力平衡 解得： 方向竖直向上。 （2）由平抛运动知：竖直方向：自由落体，且其运动不影响水平面内的运动。水平面内：0~0.5T内，二力平衡 x正方向匀速运动 0.5T~1T内，圆周运动 半径为 由几何关系 过程轨迹如图 （3）粒子的运动轨迹如图所示 竖直方向：自由落体 水平面内：①0~0.5T内，摆线运动，匀速圆周， 匀速直线 ②0.5T~1T内，静止不动 ③1T~1.5T内，摆线运动，同①过程与①对称。①~③过程中，， ④1.5T~2T内，匀速圆周运动， 因此：t=2T时刻粒子的位置坐标为 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·湖南·高考）（多选）某小组设计了一磁悬浮装置。如图，环形通电线圈固定在水平面上，其上方固定一半径为的环形细管道，管道任意处磁场方向与竖直方向夹角为。质量为的带正电小球在环形管道中以某一速率做匀速圆周运动，此时小球与管道间无弹力，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．从管道上方俯视，小球沿顺时针方向做圆周运动 B．小球做圆周运动的周期为 C．小球做圆周运动的半个周期内洛伦兹力的冲量大小为 D．若小球的绕行方向不变，速率为其做匀速圆周运动速率的2倍，则小球与管道间的弹力大小为 【答案】AD 【详解】A．根据题意可知，小球所受洛伦兹力的水平分力提供小球做圆周运动的向心力，由左手定则可知，从管道上方俯视，小球沿顺时针方向做圆周运动，故A正确； B．设磁感应强度为，小球的速度为，此时小球与管道间无弹力，竖直方向上有 水平方向上有 解得 则小球做圆周运动的周期为，故B错误； C．根据题意，水平方向上，由动量定理有 竖直方向有 则小球做圆周运动的半个周期内洛伦兹力的冲量大小为，故C错误； D．若小球的绕行方向不变，速率为其做匀速圆周运动速率的2倍，竖直方向上有 水平方向上有 小球与管道间的弹力大小 联立解得，故D正确。 故选AD。 2．（2025·海南·高考）（多选）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系所在空间中Ⅰ区域存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为,Ⅱ区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在有一足够大的接收屏P，原点O处的粒子源在平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为，甲和乙的速度方向与x轴正方向夹角分别为和，两粒子沿x轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（    ） A．两粒子不能同时到达接收屏P B．两个区域磁感应强度大小之比 C．乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量 D．甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 【答案】BD 【详解】BC．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向做匀加速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意甲粒子和乙粒子在x轴方向的分速度相等，均为 甲粒子在轴方向的分速度 根据几何关系 可得 乙粒子以最短时间到达（d,d,0），则乙在Ⅰ区域运动的时间为做圆周运动的周期的一半，其半径为 根据洛伦兹力提供向心力 联立可得 在Ⅰ区域运动的时间 沿着正方向，根据运动学公式 解得乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量为 乙粒子进入Ⅱ区域后，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动，根据题意进乙粒子入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，则乙粒子在Ⅱ区域做圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力 解得 可得，故B正确，C错误； AD．两粒子在Ⅰ区域运动过程，两粒子在轴方向的速度分量相同，则在Ⅰ区域运动时间相等，根据 可知甲粒子在Ⅰ区域也是运动半个周期，即两粒子刚进入Ⅱ区域时轴坐标均为零，沿轴负方向做匀速直线运动，在平面做匀速圆周运动的情况也相同，所以运动时间相等，即两粒子能同时到达接收屏P，两粒子在Ⅱ区域的运动时间 甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 联立解得，故D正确，A错误。 故选BD。 3．（2026·海南·高考）如图，平行金属板、水平放置，是两板间的中心线，板间的矩形区域Ⅰ中存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。金属板右侧有一圆心为、半径为的圆形区域Ⅱ，O在的延长线上，区域Ⅱ内有垂直纸面向外的匀强磁场。金属板左侧有粒子发射器位于上方处。发射器以初速度水平向右射出带正电的粒子，粒子在区域Ⅰ恰好做匀速直线运动，从点射入区域Ⅱ后从点射出。已知、两点关于对称，金属板间电场强度为，粒子质量为、电荷量为，不计粒子重力。 (1)求区域Ⅰ中磁场磁感应强度的大小； (2)求区域Ⅱ中磁场磁感应强度的大小和粒子在区域Ⅱ中的运动时间； (3)调整区域Ⅱ中磁场磁感应强度的大小后，从点入射的粒子能从区域Ⅱ与圆心O等高的点射出，求调整后区域Ⅱ中磁感应强度的大小。 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）粒子在区域Ⅰ做匀速直线运动，竖直方向受力平衡：电场力与洛伦兹力大小相等 带正电粒子受竖直向下的电场力，由左手定则，垂直纸面向里的磁场对水平向右运动的粒子的洛伦兹力竖直向上，平衡条件为： 整理得区域Ⅰ磁感应强度： （2） 入射点到中心线的竖直距离为，圆形区域Ⅱ的圆心在中心线上 因此与水平中心线的夹角满足 即 由于、关于对称，粒子在区域Ⅱ中轨迹对应的圆心角为，由几何关系可得粒子做圆周运动的轨道半径 洛伦兹力提供向心力： 得： 粒子在磁场中运动的周期，轨迹圆心角为，因此运动时间： （3）调整后粒子从点水平向右入射，从与等高的点射出区域Ⅱ 由几何关系 得轨道半径 代入洛伦兹向心力公式 得 4．（2025·黑龙江&吉林·高考）如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 (2)若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小。 (3)在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间速度方向首次与N点速度方向相反，求（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势）。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）作出正电荷在磁场中运动的轨迹，如图所示 由几何关系可知，正电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力 解得正电荷的入射速度大小为 正电荷在磁场中运动的周期为 所以正电荷从M运动到N的时间为 （2）由题意可知，在平面内的负电荷在圆心O处，由牛顿第二定律可知，其中 解得或（舍去） （3）在（2）的条件下，由题意可知，粒子从N点离开，仅在点电荷的作用下运动，粒子所需要的向心力大于点电荷提供的库仑力，因此粒子无法做匀速圆周运动，即正电荷从N点离开磁场后绕负电荷做椭圆运动，如图所示 由能量守恒定律得 由开普勒第二定律可知 其中 联立解得 由牛顿第二定律 解得 故正电荷从点离开磁场后到首次速度变为与点的射出速度相反的时间为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 带电粒子在叠加场中的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 带电粒子在叠加场中的运动 考向1 带电粒子在叠加场中做直线运动 考向2 带电粒子在叠加场中做圆周运动重 考向3 带电粒子在叠加场中做一般曲线运动难 考点二 带电粒子在交变电磁场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电磁场中的运动 考向1 带电粒子在交变电磁场中的运动难 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 电场与磁场的叠加（平衡类，匀速直线运动） 电场与磁场的叠加（一般曲线运动，“滚轮线”模型） 江苏卷·T16，计算题 重力场、电场与磁场的三场叠加 叠加场中的功能关系与能量转化 江苏卷·T16，计算题 叠加场中运动的临界与极值问题 江苏卷·T16，计算题 “配速法”在叠加场中的应用 江苏卷·T16，计算题 考情分析 题型与考向：江苏高考对“带电粒子在叠加场中的运动”的考查以计算题为主，且几乎每年都以压轴题的形式出现。高考对带电粒子在复合场中运动的考查非常频繁，大多以计算题中的压轴题出现，题目阅读量较大，难度较大，对学生的建模能力和数学方法的应用能力考查较高。考查内容涵盖三个核心维度： 平衡类叠加场（匀速直线运动） ：电场力与洛伦兹力平衡（qE = qvB），粒子做匀速直线运动。2023年江苏卷T16第（1）问即为典型——入射速度为v₀时电子沿x轴做直线运动，由Ee = ev₀B求得电场强度E = v₀B。 一般曲线运动（“滚轮线”模型） ：当入射速度不等于v₀时，电场力与洛伦兹力不能平衡，粒子做复杂的曲线运动。2023年江苏卷T16第（2）（3）问考查的即为这种“滚轮线”运动，电子的运动轨迹如虚线所示，在最高点与在最低点所受的合力大小相等。 三场叠加（重力场+电场+磁场） ：带电粒子同时受重力、电场力和洛伦兹力作用。2008年江苏卷第14题即考查了此模型，可用“配速法”处理——“给物体配一个速度v，使得这个速度所产生的洛伦兹力与题目中的重力或者电场力抵消”，从而将问题简化为只受一个洛伦兹力的运动。 情境与立意： 生活实践类：霍尔推进器（2023年江苏卷T16）——航天器电推进技术的核心装置，利用电场和磁场复合控制电子运动；磁流体发电机、电磁流量计等现代科技设备中的叠加场应用。 学习探究类：叠加场中带电粒子的受力分析方法（电场力qE、洛伦兹力qvB、重力mg的方向判断）；平衡条件（qE = qvB）的建立与应用；“配速法”的物理思想——通过配速将复杂的叠加场运动转化为等效的圆周运动与匀速直线运动的叠加；动能定理在叠加场中的应用（电场力做功与路径无关，洛伦兹力永不做功）；“滚轮线”运动的极值分析（最高点与最低点合力大小相等）。 复习目标 叠加场的分析思路：掌握叠加场问题的基本分析框架——（1）明确叠加场中同时存在哪几种场（重力场、电场、磁场）；（2）对带电粒子进行受力分析（重力mg、电场力qE、洛伦兹力qvB），注意各力的方向特点；（3）根据受力情况判断粒子运动性质——平衡时做匀速直线运动，非平衡时做复杂曲线运动。江苏卷压轴题必备核心技能，务必熟练掌握。 平衡类叠加场（匀速直线运动） ：掌握电场力与洛伦兹力平衡的条件qE = qvB，理解速度选择器的工作原理（v = E/B）。注意：平衡类叠加场中粒子的速度由E/B决定，与粒子的电荷量、质量、电性无关。能运用平衡条件求解电场强度、磁感应强度或粒子速度。 “配速法”的核心思想：深入理解“配速法”——给带电粒子配一对大小相等、方向相反的速度（v₁和-v₁），使配给的一个速度对应的洛伦兹力与电场力（或重力）平衡，从而将问题转化为速度v₁对应的匀速直线运动与剩余速度（v - v₁）对应的匀速圆周运动的叠加。掌握“配速”的选择原则——使一个速度对应的洛伦兹力恰好抵消电场力（或重力），即v₁ = E/B（或v₁ = mg/qB）。江苏卷2023年T16核心解题方法，务必重点突破。 “滚轮线”运动的极值分析：理解“滚轮线”运动的物理图像——粒子在叠加场中的轨迹呈周期性波动，存在最高点和最低点。掌握极值条件——在最高点和最低点，粒子的速度方向水平（与x轴平行），洛伦兹力方向竖直，合力沿竖直方向。掌握“最高点与最低点所受合力大小相等”的物理含义及其应用。 叠加场中的功能关系：掌握叠加场中电场力做功与路径无关的特点（W电 = qU = qEΔy），理解洛伦兹力永不做功的结论（W洛 = 0）。能运用动能定理建立方程：qEΔy = ½mv₂² - ½mv₁²（电场力做功等于动能变化量）。江苏卷压轴题高频考点，务必熟练掌握。 叠加场中运动的临界与极值问题：掌握叠加场中临界问题的分析方法——找出临界条件（如粒子恰好到达某位置、恰好速度为零、恰好沿某方向运动等），建立方程求解。理解极值问题的常见类型——最大/最小速度、最大/最小位移、到达特定位置的纵坐标等（2023年T16第（2）问考查方向）。江苏卷计算题高频考查方向，务必重点突破。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 带电粒子在叠加场中的运动 知●识●解●构 1、叠加场 电场、磁场、重力场中的两者或三者在同一区域共存，就形成叠加场。 2、分类 电场力、重力并存，即电场力+重力＝F等效（恒力）：①带电粒子静止或匀速直线运动，则F电＝mg且方向相反（即F等效＝0）；②带电粒子做匀变速直线运动，则F等效≠0且与v共线；③带电粒子做匀变速曲线运动，则F等效≠0且与v不共线。 【注意】该情景带电粒子没有圆周运动。 洛伦兹力、重力并存：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝mg且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则重力和洛伦兹力不平衡，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒。 【注意】该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。 磁场力、电场力并存（不计重力的微观粒子）：①带电粒子做匀速直线运动，则F洛＝F电且方向相反，运动方向与F洛垂直；②带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解。 【注意】该情景带电粒子无静止、无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动、无匀速圆周。 静电力、洛伦兹力、重力并存：①带电粒子静止，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝0；②带电粒子做匀速直线运动，则F电、mg、F洛三力平衡；③带电粒子做匀速圆周运动，则F电＝mg且方向相反，且F洛＝Fn；④带电粒子做变加速曲线运动（复杂曲线），则合力不为零且与速度方向不垂直，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。 【注意】该情景带电粒子无匀变速直线运动、无匀变速曲线运动。 3、带电体在叠加场中有约束情况下的运动 带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。 4、分析方法 叠加场的组成：弄清电场、磁场、重力场叠加情况； 受力分析：先分析场力（重力、电场力、磁场力），然后分析接触力（弹力、摩檫力），最后分析其它力； 运动分析：注意运动情况和受力情况的结合； 分段分析：粒子通过不同种类的场时，分段讨论； 画出轨迹：①静止或匀速直线运动（运用平衡条件）；②匀速圆周运动（运用牛顿运动定律和圆周运动规律）；③复杂曲线运动（运用动能定理或能量守恒定律）；④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。 【注意】牢记三点：①受力分析是基础：一般要从受力、运动、功能的角度来分析．这类问题涉及的力的种类多，含重力、电场力、磁场力、弹力、摩擦力等；②运动过程分析是关键：包含的运动种类多，含匀速直线运动、匀变速直线运动、类平抛运动、圆周运动以及其他曲线运动；③根据不同的运动过程及物理模型，选择合适的定理列方程（牛顿运动定律、运动学规律、动能定理、能量守恒定律等）求解。 ✨得分速记：带电粒子两种运动的总结 直线运动：①带电粒子所受合外力为零时，做匀速直线运动，处理这类问题，应根据受力平衡列方程求解；②带电粒子所受合外力恒定，且与初速度在一条直线上，粒子将作匀变速直线运动，处理这类问题，根据洛伦兹力不做功的特点，选用牛顿第二定律、动量定理、动能定理、能量守恒等规律列方程求解 曲线运动：①当带电粒子在所受的重力与电场力等值反向时，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.处理这类问题，往往同时应用牛顿第二定律、动能定理列方程求解；②当带电粒子所受的合外力是变力，与初速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，一般处理这类问题，选用动能定理或能量守恒列方程求解。 考●向●破●译 考向1 带电粒子在叠加场中做直线运动【重】 例1 （25-26·江苏南京·高二上）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场B与水平向右的匀强电场E，直线MN与水平方向成45°，NP水平，一小球质量为m，带电量为q，恰以速度v沿直线MN运动。当小球到N点时，撤去磁场，一段时间后经过P点，重力加速度为g，则（    ） A．小球沿MN可能为匀加速直线运动 B．磁场强度为 C．小球到P点的速度大小为2v D．小球从N到P的过程中，距离NP的最大距离为 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏淮阴·高二上）如图所示，虚线间空间存在由匀强电场E和匀强磁场B组成的正交或平行的电场和磁场，有一个带正电小球（电量为，质量为m）从正交或平行的电、磁混合场上方的某一高度自由落下，带电小球通过下列电、磁混合场时，可能沿直线运动的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2·变情境】（25-26·江苏常州高二上·期末）如图所示，质量为1kg的小球，带有0.5C的负电荷，套在一根与水平方向成37°角的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为μ=0.5，杆所在空间有磁感应强度B=0.4T的匀强磁场，小球由静止开始下滑。（）求： (1)小球下滑的最大速度； (2)若下降高度为h之前小球的速度已达到最大值。求小球下降h的过程中，因摩擦产生的热量Q。（结果用h表示） 考向2 带电粒子在叠加场中做圆周运动【重】 例2（25-26·江苏江阴·高二下）方向竖直向下、电场强度为的匀强电场和磁感应强度为、方向垂直纸面向里的匀强磁场正交叠加，如图所示。一质量为的带电粒子，在叠加场中的竖直平面内做匀速圆周运动，重力加速度为。则可判断该带电粒子（     ） A．为带电荷量的正电荷 B．运动的角速度为 C．沿顺时针方向做圆周运动 D．运动的速率为 【变式训练1·变情境】（2026·江苏淮安·模拟）如图所示为同轴柱形电容器的结构简图。电容器高为H，半径为的金属内圆柱接地（），半径为金属外圆筒厚度不计，M为内圆柱下表面边缘上一点，N为外圆筒内表面上距M最远的点。现使该电容器带电，中间区域的电场满足关系：电场强度大小，电势，电场方向沿半径由内向外，该区域还存在方向竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场。从M点竖直向上发射一质量为m、电荷量为的带电小球，小球始终未与外筒碰撞，且上升的最大高度为H。重力加速度为g。 (1)求小球的初速度大小； (2)若小球运动到距轴线处时，沿半径方向的分速度达到最大，求小球此刻加速度大小； (3)若小球的运动轨迹经过N点，且从M点第一次运动到N点之前，与外圆筒有四次相切，求第一次相切位置到N点的距离d。 【变式训练2·变考法】（2026·江苏苏州·模拟）如题图所示，半径为的环形光滑细管水平固定，中间圆形区域存在竖直方向的匀强磁场，磁感应强度随时间变化关系如题图中，图像斜率为．细管内一质量为、带电量为（）的小球在时刻由静止释放，已知细管内涡旋电场的场强大小为，方向沿着细管。 (1)求小球运动第1圈所需的时间； (2)求小球第1次回到初始位置时细管侧壁对小球的作用力大小； (3)如题图所示，若有一宽度很窄的环形匀强磁场恰能覆盖小球经过的区域，磁场方向垂直环面，磁感应强度随时间变化关系如题图中，小球从时刻由静止开始运动后恰好不受细管侧壁的作用力，求图像的斜率。 考向3 带电粒子在叠加场中做一般曲线运动【难】 例3（26-27·贵州遵义·高三上）研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，可采用圆周运动的分析方法来处理。如图所示，电容器两平行极板水平放置，两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度大小为B。一束质量均为m、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线PQ方向进入板间后，速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在极板间的运动轨迹如图中曲线所示，为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程的速率在和之间变化。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．两板间电场强度的大小为 B．乙粒子从进入板间运动至A位置的过程中，在水平方向上做匀速运动 C．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 D．乙粒子的运动轨迹在处对应圆周的半径为 【变式训练1·变考法】（25-26·江苏南通·高二下）如图所示，真空中有范围足够大、垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，在轴下方有沿轴方向的匀强电场，电场强度大小为。质量为、电荷量为的粒子在平面内从轴上的点以初速度大小为射出，不考虑粒子的重力。 (1)若粒子与轴方向成角从点射出，刚好能到达轴，求点的纵坐标； (2)若粒子沿轴方向从点射出，穿过轴进入第四象限，在轴下方运动到离轴最远距离为的点（图中未标出），求粒子在点速度的大小； (3)若所在空间存在空气，粒子沿轴方向从点射出，受到空气阻力的作用，方向始终与运动方向相反，粒子从点进入第四象限后做匀速直线运动，速度与轴方向成角。求粒子从点运动到点的过程中克服阻力所做的功和运动的时间。 【变式训练2·变考法】（2026·江苏扬州·模拟）如图甲所示，在光滑的水平面内存在两个小球P、Q（可视为质点），质量均为m，电荷量分别为+q和-q，它们之间的距离为R0。已知静电力常量为k，两个小球间的电势能为（r为两球之间的距离），不计小球运动产生的磁场及相对论效应。 (1)若固定小球Q，当小球P具有垂直于连线的初速度v0时，恰做匀速圆周运动，求初速度大小v0； (2)在（1）的条件下，将小球P的初速度大小改为v1（v1<v0），其运动过程中，两球连线在单位时间内扫过的面积相等。已知它们之间的最近距离为R（R<R0），求小球P初速度的大小v1； (3)若加竖直向下的匀强磁场，如图乙所示，同时由静止释放两个小球，为了使它们不发生碰撞，求磁感应强度的最小值Bmin。 考点二 带电粒子在交变电磁场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电磁场中的运动 知●识●解●构 1、常见类型 ①电场周期性变化，磁场不变；②磁场周期性变化，电场不变；③电场和磁场周期性变化。 2、分析思路 仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁场中的运动周期相关联。应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。 把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。 把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律。 3、分析方法 先读图，看清并且明白不同场的变化情况；受力分析，分析粒子在不同的变化场区的受力情况；过程分析，分析粒子在不同时间段内的运动情况；找衔接点，找出衔接相邻两个过程的速度大小及方向；选规律，联立不同阶段的方程求解。 考●向●破●译 考向1 带电粒子在交变电磁场中的运动【难】 例1（25-26·陕西西安·高二上）（多选）如图甲所示，平面直角坐标系的区域内有磁场，磁场的磁感应强度随时间变化的图像如图乙所示，垂直于纸面向里为正方向，、均已知。平行于x轴的两带电金属板间存在着磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。带电粒子（不计重力，视为点电荷）以沿x轴正方向的速度射入两板间，恰能沿中轴线做直线运动，0时刻过坐标原点，2时刻经过坐标为的A点。下列说法正确的是（    ） A．粒子经过A点时速度方向平行于x轴 B．粒子的速度大小为 C．粒子的电荷量与质量的比值为 D．两板间的电场强度为 【变式训练1·变考法】（2026·江苏南京·模拟）据报道，我国可控核聚变技术已达世界领先水平，其技术难点是利用电场和磁场来控制带电粒子的高速运动。如图甲、乙所示，在空间直角坐标系中，存在竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场和周期性变化的匀强电场，电场变化周期，电场强度大小和方向可调。一个质量为、带电量为的小球，从原点沿轴正方向以速度射出，已知重力加速度为。 (1)若在内小球做匀速圆周运动，求电场强度的大小和方向； (2)若电场强度，方向沿轴正方向，请在图丙中定性画出内小球运动轨迹，在平面内的投影，并求出该过程中小球离平面的最大距离； (3)若电场强度，方向沿轴正方向，求时刻粒子的位置坐标。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2026·湖南·高考）（多选）某小组设计了一磁悬浮装置。如图，环形通电线圈固定在水平面上，其上方固定一半径为的环形细管道，管道任意处磁场方向与竖直方向夹角为。质量为的带正电小球在环形管道中以某一速率做匀速圆周运动，此时小球与管道间无弹力，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．从管道上方俯视，小球沿顺时针方向做圆周运动 B．小球做圆周运动的周期为 C．小球做圆周运动的半个周期内洛伦兹力的冲量大小为 D．若小球的绕行方向不变，速率为其做匀速圆周运动速率的2倍，则小球与管道间的弹力大小为 2．（2025·海南·高考）（多选）某粒子分析器的部分电磁场简化模型如图，三维直角坐标系所在空间中Ⅰ区域存在沿x轴正方向的匀强电场（图中未画出）和匀强磁场，磁感应强度大小为,Ⅱ区域存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在有一足够大的接收屏P，原点O处的粒子源在平面内同时发射带正电的同种粒子甲和乙，甲粒子的速度大小为，甲和乙的速度方向与x轴正方向夹角分别为和，两粒子沿x轴方向速度分量相等。乙粒子以最短时间到达（d,d,0）点进入Ⅱ区域后恰好到达接收屏并被吸收，不计重力及粒子间的相互作用，则（    ） A．两粒子不能同时到达接收屏P B．两个区域磁感应强度大小之比 C．乙粒子通过点时沿x轴方向速度分量 D．甲乙粒子在接收屏P上位置的z坐标之差 3．（2026·海南·高考）如图，平行金属板、水平放置，是两板间的中心线，板间的矩形区域Ⅰ中存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。金属板右侧有一圆心为、半径为的圆形区域Ⅱ，O在的延长线上，区域Ⅱ内有垂直纸面向外的匀强磁场。金属板左侧有粒子发射器位于上方处。发射器以初速度水平向右射出带正电的粒子，粒子在区域Ⅰ恰好做匀速直线运动，从点射入区域Ⅱ后从点射出。已知、两点关于对称，金属板间电场强度为，粒子质量为、电荷量为，不计粒子重力。 (1)求区域Ⅰ中磁场磁感应强度的大小； (2)求区域Ⅱ中磁场磁感应强度的大小和粒子在区域Ⅱ中的运动时间； (3)调整区域Ⅱ中磁场磁感应强度的大小后，从点入射的粒子能从区域Ⅱ与圆心O等高的点射出，求调整后区域Ⅱ中磁感应强度的大小。 由几何关系 得轨道半径 代入洛伦兹向心力公式 4．（2025·黑龙江&吉林·高考）如图，在平面第一、四象限内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子从点射入磁场，速度方向与y轴正方向夹角，从点射出磁场。已知粒子的电荷量为，质量为m，忽略粒子重力及磁场边缘效应。 (1)求粒子射入磁场的速度大小和在磁场中运动的时间。 (2)若在平面内某点固定一负点电荷，电荷量为，粒子质量取（k为静电力常量），粒子仍沿（1）中的轨迹从M点运动到N点，求射入磁场的速度大小。 (3)在（2）问条件下，粒子从N点射出磁场开始，经时间速度方向首次与N点速度方向相反，求（电荷量为Q的点电荷产生的电场中，取无限远处的电势为0时，与该点电荷距离为r处的电势）。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 带电粒子在叠加场中的运动 考点一 带电粒子在叠加场中的运动 考●向●破●译 考向1 带电粒子在叠加场中做直线运动【重】 例1 【答案】D 【变式训练1·变考法】【答案】C 【变式训练2·变情境】 【答案】(1)20m/s (2) 【详解】（1）以小球为研究对象，通过分析受力可知，小球受重力，垂直杆的支持力和洛伦兹力，摩擦力，根据左手定则，小球受到的洛伦兹力垂直绝缘杆向下，当时，即小球的速度最大，即 垂直绝缘杆方向有 联立解得 （2）洛伦兹力对小球不做功，下降过程中，根据动能定理有 又有 联立解得 考向2 带电粒子在叠加场中做圆周运动【重】 例2【答案】C 【变式训练1·变情境】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电场沿径向，洛伦兹力无竖直分量，只有重力沿竖直方向，因此竖直方向加速度恒为 小球上升到最大高度时竖直速度减为0，由运动学公式 得小球初速度大小 （2）径向分速度最大时，径向加速度，径向合力为0：电场力与洛伦兹力径向分量平衡，即 ，则 由洛伦兹力不做功，结合竖直方向运动关系，推导得处满足 代入得 切向合力仅由洛伦兹力切向分量提供，故切向加速度，竖直加速度大小恒为，总加速度大小 代入整理得处（最大）小球的加速度 （3）M初始在、、，每次到达外筒时即为相切；N点在、、 题目说明N之前共4次相切，即总共有5次到达，因此相邻两次到达的角度差为，第一次相切角度，到N点的角度差为 由于与成正比，第一次相切，到N点的竖直差为 两点都在半径为的柱面上，直线距离满足 代入、 得第一次相切位置到N点的距离 【变式训练2·变考法】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球切向加速度大小为 代入得 由运动学公式可得 解得 （2）小球第一次回到初始位置的速度大小 代入和得 细管侧壁对小球作用力大小为 代入得 （3）经时间小球速度大小为 设环形磁感应强度，任何时候由洛伦兹力提供小球向心力，有 代入和，解得 则有 考向3 带电粒子在叠加场中做一般曲线运动【难】 例3【答案】C 【变式训练1·变考法】 【答案】(1)（） (2) (3)， 【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，则由洛伦兹力充当向心力可得 由几何关系得 解得 （2）设粒子进入第四象限离轴距离最远时速度为，水平向右，电场力对粒子做正功，由动能定理可得 解得 （3）设粒子进入第四象限以速度做匀速运动，受力分析如下图 受力关系有 粒子从点运动到点，由动能定理得 解得 粒子从点运动到点过程中任意时刻满足 则点运动到点的时间为 解得 【变式训练2·变考法】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据库仑力提供向心力可得 解得 （2）若小球P的初速度大小为v1（v1<v0），则小球P将做近心运动，轨迹为椭圆，根据开普勒第二定律可得 小球P从初始位置运动到与Q距离最近的过程，根据能量守恒定律可得 联立解得 （3）系统水平方向合外力为零，则系统水平方向总动量始终为0，两球始终关于初始中点对称运动，两球恰好不碰撞，则水平速度为零，设二者间距离为r，根据能量守恒定律可得 在垂直于二者连线方向，根据动量定理可得， 根据几何关系可得 联立解得 根据数学知识可得，当时，磁感应强度最小，最小值为 考点二 带电粒子在交变电磁场中的运动 考●向●破●译 考向1 带电粒子在交变电磁场中的运动【难】 例1【答案】AD 【变式训练1·变考法】 【答案】(1)，方向竖直向上 (2)， (3) 【详解】（1）由匀速圆周运动知：电场力和重力平衡 解得： 方向竖直向上。 （2）由平抛运动知：竖直方向：自由落体，且其运动不影响水平面内的运动。水平面内：0~0.5T内，二力平衡 x正方向匀速运动 0.5T~1T内，圆周运动 半径为 由几何关系 过程轨迹如图 （3）粒子的运动轨迹如图所示 竖直方向：自由落体 水平面内：①0~0.5T内，摆线运动，匀速圆周， 匀速直线 ②0.5T~1T内，静止不动 ③1T~1.5T内，摆线运动，同①过程与①对称。①~③过程中，， ④1.5T~2T内，匀速圆周运动， 因此：t=2T时刻粒子的位置坐标为 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．【答案】AD 2．【答案】BD 3． 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）粒子在区域Ⅰ做匀速直线运动，竖直方向受力平衡：电场力与洛伦兹力大小相等 带正电粒子受竖直向下的电场力，由左手定则，垂直纸面向里的磁场对水平向右运动的粒子的洛伦兹力竖直向上，平衡条件为： 整理得区域Ⅰ磁感应强度： （2） 入射点到中心线的竖直距离为，圆形区域Ⅱ的圆心在中心线上 因此与水平中心线的夹角满足 即 由于、关于对称，粒子在区域Ⅱ中轨迹对应的圆心角为，由几何关系可得粒子做圆周运动的轨道半径 洛伦兹力提供向心力： 得： 粒子在磁场中运动的周期，轨迹圆心角为，因此运动时间： （3）调整后粒子从点水平向右入射，从与等高的点射出区域Ⅱ 由几何关系 得轨道半径 代入洛伦兹向心力公式 得 4． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）作出正电荷在磁场中运动的轨迹，如图所示 由几何关系可知，正电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由洛伦兹力提供向心力 解得正电荷的入射速度大小为 正电荷在磁场中运动的周期为 所以正电荷从M运动到N的时间为 （2）由题意可知，在平面内的负电荷在圆心O处，由牛顿第二定律可知，其中 解得或（舍去） （3）在（2）的条件下，由题意可知，粒子从N点离开，仅在点电荷的作用下运动，粒子所需要的向心力大于点电荷提供的库仑力，因此粒子无法做匀速圆周运动，即正电荷从N点离开磁场后绕负电荷做椭圆运动，如图所示 由能量守恒定律得 由开普勒第二定律可知 其中 联立解得 由牛顿第二定律 解得 故正电荷从点离开磁场后到首次速度变为与点的射出速度相反的时间为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $