第10讲 第四章 指数函数与对数函数 章节验收测评卷2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第四章指数函数与对数函数单元卷，梯度设计合理，融合实际应用与逻辑推理，适配单元复习，助力数学建模、逻辑推理等核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|定义域（第1题）、奇偶性（第3题）、二分法（第2题）|基础概念辨析，如第4题结合奇偶性与单调性判断| |填空题|3题15分|零点（第12题）、函数性质应用（第13题）|开放探究，如第14题自定义函数满足给定条件| |解答题|5题77分|指数对数运算（第15题）、函数建模（第17题）、对称性探究（第19题）|综合应用与创新，如第18题结合奇偶性证明单调性及不等式恒成立，体现逻辑推理与数学建模|

第四章 指数函数与对数函数 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数（且），则该函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数的定义，真数，解得. 所以函数的定义域为. 2．若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 3．已知是偶函数，则实数（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意，利用，列出方程，求得的值，结合函数奇偶性的定义，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，可得，即， 可得，解得，即， 经验证：，所以函数为偶函数，符合题意. 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为，在上单调递减，A错误； 对于B，函数的定义域为，，函数为奇函数，B错误； 对于C，函数的定义域为，为奇函数，C错误； 对于D，函数的定义域为，， 函数为偶函数，当时，，因此在上单调递增，D正确。 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数在 上单调递减，判断；根据幂函数 在 上单调递增，得到 . 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 则， 所以， 所以污染物减少50%需要花的时间约为. 7．是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由复合函数单调性得出内层二次函数需单调递减且恒大于0的条件，从而得到函数递增的充要条件为 ；再将此范围与题干条件 比较，通过判断两者之间的推出关系确定条件类型． 【详解】设，则， 因为在定义域内单调递减，要使在上单调递增，需在上单调递减且恒大于0， 二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为在上单调递减，所以， 又因为对任意恒成立，所以，即，解得， 因此，函数在区间上单调递增的充要条件为， 若，显然，所以必要性成立； 但不能保证，所以充分性不成立； 所以，“”是函数在上单调递增的必要不充分条件． 8．已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】分析可知函数为奇函数且在上单调递增，根据函数性质可得对，恒成立，结合判别式运算求解即可. 【详解】当时，，有； 当时，，有； 且，可知函数为奇函数， 又因为函数在内单调递增，则函数在内单调递增， 可得函数在上单调递增， 不等式可化为， 可得，即对，恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 10．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 【答案】AC 【详解】令，则或，故 的定义域关于原点对称， 选项A：的定义域为，，满足奇函数定义，A正确。 选项B：，B错误。 选项C：由于在单调递增，而为定义域内的单调递增函数，为由复合函数“同增异减”得在区间单调递增，由于为奇函数，因此在区间上单调递增，C正确。 选项D：由于， 不满足，D错误。 11．已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把零点问题转化为函数图象交点问题和方程的解的问题，即可作出判断. 【详解】由，， ，的零点a，b，分别为、图象交点的横坐标， 通过上面函数图象可得：， 而，即， 所以，，正确，错误； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 13．已知函数，．若，，满足，则实数a的最小值为__________． 【答案】5 【分析】将双变量问题转化成. 【详解】因为，，满足，所以， 对于对称轴，在上单调递减，在上单调递增，所以， 又在上单调递增，，解得， 实数的最小值为. 14．已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 【答案】（答案不唯一，满足题意即可） 【分析】根据抽象函数的解析式判断即可. 【详解】当时，，，符合条件． 故答案为（答案不唯一）． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解；方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． 16．已知函数（）是奇函数. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的定义求解； （2）先根据复合函数单调性法则判断函数的单调性，再由单调性求解即可. 【详解】（1）设定义域为 因为是奇函数，所以对，恒成立， 所以，即：， 所以，所以， 因为，所以. （2）由（1）， 因为在上单调递减，在定义域上单调递减， 则根据复合函数单调性可得在上单调递增. 又函数是奇函数， 所以由，可得 . 所以，解得：， 所以原不等式的解集为. 17．随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，② (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【答案】(1)选择②，，. (2) 【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型②，用表格中三个点的数据代入模型②的解析式，通过构造方程组即可求得该模型的表达式； （2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快， 选择②（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： ，. （2）由（1）可知：，，故不等式对恒成立， 对恒成立， 令，则， ，， 在上单调递增，， . 18．已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)设，，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数 (3) 【分析】（1）根据奇函数偶函数的性质运算即可求出参数，注意检验.； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）首先根据的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为恒成立即可，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题知函数定义域均为.∵是偶函数，∴. 即整理得即. 此时经检验，符合题意. ∵是奇函数 ∴， 此时经检验，符合题意. （2）略. （3）在上单调递增，故有对恒成立， 又. ∴对恒成立. 令由知. 则有对恒成立. 即对恒成立. 令. 只需即可.又对称轴为，    ①当，即时，在上单调递增， 只需即可.∴. ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. ∴. 解得∴. 综上所述，的取值范围为 19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点（）成中心对称图形的充要条件是． 结合以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数的图象的对称中心； (2)若函数． （ⅰ）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心； （ⅱ）已知函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，．若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明：由，得，则的定义域为．     ， ， 所以，， 所以的图象是中心对称图形且对称中心的坐标为． （ⅱ） 【分析】（1）根据对称中心的定义列式求解即可； （2）（ⅰ）根据对称中心的定义列式求解即可证明； （ⅱ）根据复合函数的单调性可得在上单调递减，根据对称中心的定义可求出函数的解析式，作出函数的图象，结合图象分析，列出式子求解即可. 【详解】（1）因为 ， 所以函数的图象的对称中心为. （2）（ⅰ）略 （ⅱ）解：． 由在上单调递减，且在定义域内单调递增， 所以在上单调递减． 所以当时，． 由的图象关于点成中心对称图形，则． 当时，则， ， 所以 . ，，有， 则，． 当时，， 得化简得：； 当时，， 得化简得：． 综上所述，， 则，即化简得：． 所以实数m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数（且），则该函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 3．已知是偶函数，则实数（     ） A． B． C． D．2 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C．D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，是正常数．如果在前消除了25%的污染物，则污染物减少50%需要花的时间约为（   ） （参考数据：，） A． B． C． D． 7．是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件 8．已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A．B． C．D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 11．已知函数，，的零点依次为a，b，c，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数则的零点之和为_____________． 13．已知函数，．若，，满足，则实数a的最小值为__________． 14．已知函数满足：①的定义域为；②对任意实数，均有；③不为常值函数，试写出一个符合条件的的解析式：_________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求值： (1)； (2). 16．已知函数（）是奇函数. (1)求实数的值； (2)解关于的不等式. 17．随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，② (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 18．已知函数是偶函数，是奇函数． (1)求实数的值； (2)用定义法证明函数在R上是增函数； (3)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点（）成中心对称图形的充要条件是． 结合以上材料，解答下列问题： (1)直接写出函数的图象的对称中心； (2)若函数． （ⅰ）求证：函数的图象是中心对称图形并求出对称中心； （ⅱ）已知函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，．若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $