第四章指数函数与对数函数 题型训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以指数函数和对数函数为核心，构建从概念到性质再到应用的完整知识链，通过阶梯式题型培养数学抽象与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数函数|01(3题):指数幂运算<br>02(2题):概念应用(含半衰期问题)<br>03(1题):图象绘制<br>04(4题):单调性/特殊点/值域/参数范围|从指数幂运算到函数性质应用，结合实际情境|指数幂概念(有理数→实数)→指数函数概念→图象→单调性与特殊点，形成概念-性质-应用逻辑链| |对数函数|01(4题):运算性质(含声强级问题)<br>02(3题):换底公式(含产量增长问题)<br>03(1题):概念<br>04(1题):图象<br>05(3题):单调性/特殊点/单调区间<br>06(2题):反函数|从对数运算到函数性质及反函数关系，突出实际应用|对数概念与运算性质→换底公式→对数函数概念→图象→单调性与特殊点→反函数，构建完整知识体系|

指数函数 通过对有理数指数幂（＞0,且≠1；，n∈z，且n≠0)、实数指数幂（＞0,且≠1；∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。 01 1．已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2.若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3.求值：__________. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。 02 1.已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 2.人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象。 03 1.作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)。 探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 04 1.填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 2.函数（且）的图象必经过点________． 3.已知函数，则的值域为________． 4.若函数在上单调递减，则的取值范围是________． 对数函数 理解对数的概念和运算性质 01 1.（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 3.求值：________． 4.声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为________． 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 02 1.（多选）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B．已知，，则5 C．设，则 D． 2.已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 3.已知，，则________．（用，表示）． 通过具体实例，了解对数函数的概念。 03 1.已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象。 04 1.作出下列函数的大致图像： (1)； (2)； (3)； (4). 探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 05 1.若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 2.已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 知道对数函数与指数函数互为反函数（＞0,且≠1)。 06 1.已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 2.已知函数的反函数图象经过，则______；若在上单调递增，则m的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数 通过对有理数指数幂（＞0,且≠1；，n∈z，且n≠0)、实数指数幂（＞0,且≠1；∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。 01 1．已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】．故选A 2.若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由，得.故选C 3.求值：__________. 【答案】 【详解】原式 . 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。 02 1.已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则 ，∴.故选：A. 2.人工放射性核素碘-131可发射射线治疗某种疾病．已知该物质的半衰期为天，设质量为的碘-131经过天后剩余的质量为，则关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设碘-131的衰减率为，则， 由半衰期为天，可得，解得， 所以，.故选A. 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象。 03 1.作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【详解】(1) (2) (3) 探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 04 1.填空（“＜”或“＞”）. （1）__； （2）__. 【答案】 ＜ ＞ 【详解】（1）∵，∴函数在上是减函数， 又，∴， （2）， ∵函数在上是增函数， ∴，即． 2.函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时，所以函数且的图象必经过点． 3.已知函数，则的值域为________． 【答案】 【详解】函数在上单调递增，则， 所以的值域为. 4.若函数在上单调递减，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 对数函数 理解对数的概念和运算性质 01 1.（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误；故选AB. 2.（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确；对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误 3.求值：________． 【答案】 【详解】 . 4.声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），已知平时常人交谈时的声强约为，则其声强级为________． 【答案】60 【详解】由题意可得（）. 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 02 1.（多选）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B．已知，，则5 C．设，则 D． 【答案】ABD 【详解】因为，，则，A选项正确； 因为，所以，B选项正确； 设，则，C选项错误； ，D选项正确。 2.已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 由题意可得， 所以，所以． 经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台， 即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 3.已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 通过具体实例，了解对数函数的概念。 03 1.已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设对数函数为, 代入可得,所以, 则对数函数的解析式为.故选C. 能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象。 04 1.作出下列函数的大致图像： (1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）的图象可由的图象向左平移个单位得到， （2）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （3）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到， （4）的图象由组成，其中的图象可由的图象根据轴对称得到， 探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 05 1.若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 2.已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，所以. 3.函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 知道对数函数与指数函数互为反函数（＞0,且≠1)。 06 1.已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 【答案】 【详解】因为对数函数且的图象经过点， 所以，所以，所以对数函数的解析式为， 所以其反函数为. 2.已知函数的反函数图象经过，则________；若在上单调递增，则m的取值范围是________． 【答案】 【详解】函数的反函数经过点，得到，解得，故反函数； 令，则在上单调递增， 需满足在上单调递增，且， 由，因为，所以， 所以，所以， 的对称轴为，所以，即，所以且， 解得或， 综上m的取值范围是， 学科网（北京）股份有限公司 $