第4章 4.5 4.5.3 函数模型的应用-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数模型应用，通过基础情境计算、中档性质分析、拔高综合建模的三层设计，强化从单一知识点到复杂问题解决的巩固路径，培养数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|指数、对数、分段函数直接应用|结合药物残留、出租车收费等情境，考查概念理解与基本运算| |中档|函数模型选择、性质分析|通过数据增长趋势判断（如第5题）、指数函数增长率（如第6题），提升推理能力| |拔高|综合情境建模与应用|蒲草覆盖面积模型选择（第11题）、销售问题最值求解（第13题），发展模型意识与创新意识|

1.某种新药服用x h后血液中的残留量为y mg，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240 mg时，治疗有效．设某人上午8点第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　) A．上午10点　　　　　 B．中午12点 C．下午4点 D．下午6点 答案：C 2．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt(其中P0，k是正常数)，如果在前5 h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花费的时间约为(　　) (参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105) A．6 h B．10 h C．15 h D．0.33 h 答案：D 3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1 000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) A．1 530只 B．1 630只 C．1 830只 D．1 930只 答案：B 4．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本(LCOE)也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数ICRF对计算度电成本具有重要影响．等年值系数ICRF和设备寿命周期N具有如下函数关系：ICRF＝，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏—储能微电网系统，其等年值系数约为(　　) A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.08 答案：D 5．(多选)有一组实验数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型较不适合的有(　　) A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1) 解析：ABD　[由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选A、B、D.] 6.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　) A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 解析：ABD　[图象过(1,2)点，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t， ∵＝＝1， ∴每月的增长率为1，A正确． 当t＝5时， y＝25＝32>30，∴B正确． ∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确． ∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．故选A、B、D.] 7．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Im·t，其中n为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝60 A时，放电时间t＝30 h；当放电电流I＝80 A时，放电时间t＝16 h．若计算时取lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，则该蓄电池的Peukert常数n大约为　________　.(精确到0.01) 解析：由题意知C＝60n×30＝80n×16， 所以n＝n＝＝，两边取以10为底的对数，得nlg＝lg ， 所以n＝＝＝≈≈2.25. 答案：2.25 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了　________　km. 解析：设出租车行驶x km时，付费y元， 则y＝ 由y＝22.6，解得x＝9. 答案：9 9．里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为　________　级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的　________　倍． 解析：由题意，M＝lg 1 000－lg 0.001＝6. 9＝lg A1－lg 0.001，∴A1＝106. 5＝lg A2－lg 0.001，∴A2＝102，∴＝104. 答案：6　10 000(或104) 10．某人第一天8：00从A地开车出发，6小时后到达B地，第二天8：00从B地出发，沿原路6小时后返回A地．则在此过程中，以下说法中 ①一定存在某个位置E，两天经过此地的时刻相同 ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同 ③一定存在某一段路程EF(不含A、B)，两天在此段内的平均速度相同． (以上速度不考虑方向) 正确说法的序号是　________　. 解析：①设函数s(t)表示此人第一天距离A地的路程，则是一个不减的函数，设函数l(t)表示此人第二天距离A地的路程，则是一个不增的函数，其中t表示时间，s(t)、l(t)的定义域都是[0,6]，值域相同．同一坐标系画出s(t)、l(t)的图象，必有一个交点，即两天中在此刻经过此点(如图1)，故①正确； ②画出两天的速度(自变量为时间t)函数图象并求与x轴围成的面积，就是路程，不可能一个总在另一个下方．在交点处时刻，他们的速度相等(如图2)，故②正确； ③在某个路程函数s(t)中，过s(t) 上一点作平行于t，s轴的矩形，如果四个顶点都在曲线上，则意味着速度的绝对值相等，(对角线就是割线，斜率就是平均速度)，但不是每种函数曲线都能成功，图3 显示可以，函数模型就是两个一次函数，图4显示不成功，可以构造函数模型为(这里假定时间t∈(0,6)，AB之间距离为4)，s(t)＝，l(t)＝.在这个图象上经计算，找不到这样的矩形，故③错误． ∴正确的说法是①②. 答案：①② 11．为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质．省环保局于2025年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2026年2月底测得蒲草覆盖面积为36 m2,2026年3月底测得蒲草覆盖面积为48 m2，蒲草覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝mx2＋n(m＞0)可供选择． (1)分别求出两个函数模型的解析式； (2)若2025年年底测得蒲草覆盖面积为20 m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到810 m2.(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 解：(1)若选择模型y＝kax(k＞0，a＞1)， 则解得a＝，k＝， 故函数模型为y＝·x. 若选择模型y＝mx2＋n(m＞0)，则 解得m＝，n＝， 故函数模型为y＝x2＋. (2)把x＝0代入y＝·x，可得y＝＝20.25， 把x＝0代入y＝x2＋，可得y＝，可知与20相差比较大， 故选择函数模型y＝·x更合适． 令·x≥810，可得x≥40，两边取常用对数可得xlg≥lg 40， 即x≥＝≈≈13.33， 故至少到2027年2月底蒲草覆盖面积能达到810 m2. 12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数y＝log3(单位：m/s)，其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数； (3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速，问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大？并说明理由． 解：(1)将x＝8 100代入函数关系式，得y＝log381＝×4＝2，所以一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是2 m/s. (2)令y＝0，得log3＝0，即＝1，则x＝100，所以一条鲑鱼静止时的耗氧量为100个单位． (3)鲑鱼A的耗氧较大，理由如下： 由yA＞yB，得log3＞log3，即log3xA＞log3xB，则xA＞xB，所以鲑鱼A的耗氧量较大． 13．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Q(x)/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121元． (1)求k的值； (2)给出以下四种函数模型： ①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值． 解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)． (3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25| ＝ 所以f(x)＝P(x)·Q(x) ＝ 当1≤x<25时，y＝x＋在[1,10]上单调递减，在[10,25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124. 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121. 所以该小物品的日销售收入的最小值为121元. 学科网（北京）股份有限公司 $