4.5.1函数的零点与方程的解（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数的零点与方程的解，系统梳理零点的代数与几何定义，关联已学基本初等函数的零点特征，延伸至零点存在定理及应用，构建从概念到二次函数零点问题的完整学习支架。 资料以思维导图可视化知识框架，通过定义与几何意义的关联培养数学思维，题型设计涵盖基础到综合并配即学即练，助力教师课中系统授课，学生课后分层巩固，有效提升数学眼光与应用意识。

第05讲 4.5.1函数的零点与方程的解 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 知识点02：函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 【即学即练1】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 知识点03：二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 【即学即练2】若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 第三部分 题型精讲 题型01求函数的零点 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的零点是______. 【典例2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）写出函数的所有零点______. 【变式1】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的零点为____． 【变式2】（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的零点为______. 题型02函数零点个数的判断 【典例1】已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【变式1】（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25高三上·辽宁抚顺·期末）函数的零点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3】函数的零点的个数为______. 题型03判断函数零点所在的区间 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，在下列区间中，包含零点的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·四川成都·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·湖北武汉·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 题型04已知零点个数求参数的取值范围 【典例1】（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·上海·期末）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数．若有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·山东聊城·阶段检测）若函数有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【变式3】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数若只有一个零点，则的取值范围是______． 题型05已知零点所在区间求参数的取值范围 【典例1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·福建龙岩·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为________． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【变式3】（22-23高一上·山东枣庄·期中）函数在上存在零点，则的取值范围是_____________． 题型06二次函数的零点问题 【典例1】若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】若一元二次方程在区间上有一根，则实数的取值范围为______． 【变式1】（24-25高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）关于的方程，若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围. 【变式3】已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数的取值范围． 题型07函数与方程综合 【典例1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)在下图平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)写出函数的解析式； (3)若关于的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） 【典例2】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 【变式2】（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【变式3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象，并求出的解析式； (2)当时，求的值； (3)，讨论的根的个数情况． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高二上·四川泸州·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河北保定·开学考试）方程的实数根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数的零点所在区间为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．（多选）（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： -2 -1 0 1 2 3 16.1 -0.01 -4.92 -5.5 2.4 -3.2 则函数一定有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知函数，下列区间中存在函数零点的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）设若有三个不同的零点，则实数的取值范围__________. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 24.5 则函数在区间上的零点至少有_______个． B能力提升 1．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C．D． 2．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_____. 5．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）（1）已知函数.判断函数的奇偶性，并求函数图象的对称中心； （2）已知函数. （i）当时，求函数在区间上的最大值与最小值. （ii）若有三个解，求的取值范围. C综合素养 1．（25-26高二下·福建福州·期末）一般地，我们把形如（）的函数称为飘带函数． (1)若，，求函数的零点； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)若，，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由． 2．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明：在区间上单调递增； (3)若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调性； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，． (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 4.5.1函数的零点与方程的解 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数零点的概念 1、函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 2、已学基本初等函数的零点 ①一次函数只有一个零点； ②反比例函数没有零点； ③指数函数（且）没有零点； ④对数函数（且）只有一个零点1； ⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。 知识点02：函数零点存在定理及其应用 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可. 2、函数零点的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解; ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解 【即学即练1】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【详解】直接解方程即得函数的零点. 【分析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 3、函数零点个数的判断 ①利用代数法，求出所有零点； ②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调. 知识点03：二次函数的零点问题 一元二次方程的实数根也称为函数的零点. 当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示： 的实数根 （其中） 方程无实数根 的图象 的零点 函数无零点 【即学即练2】若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题意，利用三个二次的关系作出对应的一元二次函数的图象，列出不等式求解即得. 【详解】设，如图所示， 要使方程的一个根大于1，另一个根小于1，需使，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 第三部分 题型精讲 题型01求函数的零点 【典例1】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的零点是______. 【答案】 【详解】由知， 令，解得：或， 所以函数的零点是. 【典例2】（25-26高三上·安徽淮北·期中）写出函数的所有零点______. 【答案】2 【分析】利用对数函数与二次函数的性质一一计算零点即可. 【详解】对于方程，可得其根为，均不满足，故舍去； 又函数单调递增，且，满足题意. 零点为2. 【变式1】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的零点为____． 【答案】和 【分析】根据零点的定义可转化为方程解的问题，直接解方程即可. 【详解】令， 即，， 即，， 解得或， 即函数的零点为和， 故答案为：和. 【变式2】（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的零点为______. 【答案】2 【分析】首先求出已知函数的定义域，通过对数运算化简解析式，列方程求解零点. 【详解】因为，所以该函数的定义域为. 令，即， 所以，解得（舍去）或. 故答案为：2. 题型02函数零点个数的判断 【典例1】已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】转化问题为函数和函数的图象在上的交点问题，进而结合图象求解即可. 【详解】原方程即为，变形得， 要求方程根的个数， 即求函数和函数的图象在上的交点个数， 作出两函数的图象如图所示，    由图可知，两函数图象在上共有2个交点，故原方程共有2个根． 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】画出和的图象，根据图象来确定正确答案. 【详解】依题意，， ，与的图象关于轴对称， 在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象， 由图可知，两函数的图象的交点个数为2． 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将的零点转化为和的图象的交点，结合图象确定正确选项. 【详解】由，得， 在同一坐标系中，作出和的图象， 观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为. 故选：C      【变式2】（24-25高三上·辽宁抚顺·期末）函数的零点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将函数的零点个数问题转化为函数、的图象的交点个数问题. 【详解】由，得， 作出函数、的大致图象，如图所示， 由图可知，这两个函数的图象有5个交点，则的零点个数为5. 故选：A. 【变式3】函数的零点的个数为______. 【答案】1 【分析】求出函数零点即可得解. 【详解】令，可得，即，解得， 故函数的零点的个数为1, 故答案为：1 题型03判断函数零点所在的区间 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，在下列区间中，包含零点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，当时，易得单调递增， 因为，， 所以根据函数零点存在定理可知，内包含的零点.. 【典例2】（25-26高一上·四川成都·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数都是上的减函数， 因此函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在的区间为. 【变式1】（25-26高一下·湖北武汉·期中）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 由零点存在性定理可知，函数在区间有唯一零点， 所以函数的零点所在区间是. 【变式2】（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数为上的增函数， 故函数在有且仅有一个零点， 因为，， 所以函数的零点所在的区间为． 【变式3】（25-26高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在定理，分析计算，即可得答案. 【详解】因为函数和均为单调递增函数， 所以函数为单调递增函数， 又，， 所以， 所以由零点存在定理可知函数的零点所在的区间为． 故选：B 题型04已知零点个数求参数的取值范围 【典例1】（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为函数的图象与直线有两个交点，由数形结合可得结论. 【详解】由得， 作出函数的图象和直线，如图， 由题意函数的图象与直线有两个交点， 由图象知， 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·上海·期末）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解. 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 【变式1】已知函数．若有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为函数与函数的图象有2个交点，作出图象即可求解． 【详解】 令可得， 作出函数与函数的图象如下图所示： 当时，函数与函数的图象有2个交点， 此时，函数有2个零点． 因此，实数的取值范围是． 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·山东聊城·阶段检测）若函数有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】问题化为与有4个交点，数形结合判断参数范围. 【详解】由题设与有4个交点，草图如下， 由图知：. 故选：D 【变式3】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数若只有一个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】问题化为函数和，作出与的图象，数形结合确定参数范围即可. 【详解】函数只有一个零点，则函数和只有一个交点， 作出与的图象，如图所示．由图象可知， 当只有一个零点时，实数的取值范围为． 故答案为：. 题型05已知零点所在区间求参数的取值范围 【典例1】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出的值. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 【典例2】（23-24高一上·福建龙岩·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案. 【详解】因为在上均为增函数， 则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则，可得． 故答案为：. 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，即， 解得． 故选：D. 【变式2】（25-26高一下·湖南益阳·期中）函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 【变式3】（22-23高一上·山东枣庄·期中）函数在上存在零点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，在根据零点情况，结合端点值的正负，列式求实数的取值范围. 【详解】为增函数减函数=增函数， 若函数在上存在零点，则且， 解得：. 故答案为： 题型06二次函数的零点问题 【典例1】若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】令，方程的一个根小于1，另一个根大于1， ，解得， 实数的取值范围是． 故选：D. 【典例2】若一元二次方程在区间上有一根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】用表示出方程在区间的根，可求的取值范围. 【详解】设，因为， 由， 得或， 由题意可知在区间内， 所以，且，得． 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）关于的方程，若方程满足一个根在内，另一个根在内，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布性质，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】若方程一个根在内，另一个根在内， 令， 则，解得， 即的取值范围是. 【变式3】已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意列不等式组即可求解. 【详解】由已知可得 即， 解得． ∴此时的取值范围是． 题型07函数与方程综合 【典例1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． (1)在下图平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)写出函数的解析式； (3)若关于的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围．（只需写出结论） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质作图即可； （2）根据奇函数的定义求出时的解析式即可解出； （3）利用图象，数形结合即可解出. 【详解】（1）利用奇函数的性质作图如下： （2）因为是定义在上的奇函数，所以， 当，则，且， 所以， 综上，； （3）由的单调性可知，在上单调递增，则， 所以时，， 结合图象可知，关于的方程有2个不相等的实数根，所以. 【典例2】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)求的单调性； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)定义域为 (2)当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为 (3)的取值范围为 【分析】（1）先根据对数式要求真数大于 0，列出不等式组，再求解交集即可得到函数定义域； （2）先利用对数运算公式合并解析式，拆分内外层函数，再根据复合函数同增异减规律，按底数范围分类讨论，最后判定区间增减性即可； （3）先把函数零点转化为对应方程解的个数，再结合函数值域与图像交点关系，数形结合确定参数取值边界即可得解. 【详解】（1）由题意知， 解得：，即 ， 所以函数 的定义域为 . （2） ， 定义域为 ， 令 ，则 ， 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 单调递增， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时： 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 单调递减， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 综上： 当 时， 在上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. （3）当 时， ，定义域为 ， 因为 有两个零点，则 在 上有两个不同的解， 即： ， 令 ，，则 ，因此： ， 要使方程 有两个不同解， 即直线 与函数 的图像有两个交点， 则，即 ， 所以实数 的取值范围为. 【变式1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时， (1)求的解析式和单调区间，并画出简图； (2)讨论方程的根的个数． 【答案】(1)，增区间为，；无减区间， (2)当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 【分析】（1）利用奇函数的对称性可求解析式，结合解析式可得单调区间，描点作图即可； （2）结合图象，分类讨论，根据交点个数得出方程根的个数. 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，，所以当时，，， 因为，所以，综上. 由于为增函数，所以的单调增区间为，；无减区间. 其简图如图， （2）由可得， 由图可知，当时，即时，方程仅有一个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程有三个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程仅有一个根； 综上，当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 【变式2】（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过偶函数的性质代入化简，求出实数的值，再检验实数是否使为偶函数； （2）对函数表达式进行化简为 ，再使用换元法设，把问题转化为二次函数零点问题求解. 【详解】（1）由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数 是偶函数. （2）由于 所以， ， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即 上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 【变式3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)画出函数的图象，并求出的解析式； (2)当时，求的值； (3)，讨论的根的个数情况． 【答案】(1)的图象见解析； (2) (3)当时，的根的个数为0； 当时， 的根的个数为2； 当时， 的根的个数为4； 当时， 的根的个数为3； 当时， 的根的个数为2． 【分析】（1）先画出函数在时的图象，再根据偶函数关于轴对称即可画出函数在时的图象；再利用偶函数的定义，可以求出当时，的解析式，进而写出在上的解析式； （2）分和两种情况讨论，再解一元二次方程即可得到答案； （3）根据的根的个数，等价求函数的图象与直线的交点个数，再结合（1）分类讨论即可． 【详解】（1）当时， ，即是二次函数，其顶点为，过点，，， 又函数是定义在上的偶函数，即函数关于轴对称， 所以图象如下： 又函数是定义在上的偶函数，则， 当时， ， 则当时，，即， 所以的解析式为． （2）当时， ，即 ，解得（舍去），或； 当时， ，即 ，解得（舍去），或， 所以． （3）由的根的个数，等价求函数的图象与直线的交点个数． 结合（1）可知， 当时，直线在函数图象的下方，故无交点，即的根的个数为0； 当时，直线与函数图象有2个切点，即的根的个数为2； 当时，直线在函数图象有4个交点，即的根的个数为4； 当时，直线在函数图象有3个交点，即的根的个数为3； 当时，直线在函数图象有2个交点，即的根的个数为2． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高二上·四川泸州·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域是， 因为和在上都是单调递增的， 所以在上单调递增，最多只有一个零点， ， ， ，所以函数的零点在区间内. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，即，解方程得， 由函数零点的定义可知，函数的零点是，故C正确. 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数判断单调性，再用零点存在定理算端点值判断零点所在区间即可. 【详解】设，因为和都是上的单调递增函数， 因此是上的单调递增函数，原方程的解就是的唯一零点. 当时，， 当时，， 由，可知单调函数的零点. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数零点和单调性判断即可. 【详解】令，因为， 所以当时有：，方程无实数解， 当时有：，解得（舍去）或， 所以函数有一个零点，即函数图象与轴负半轴有交点，故A、D选项错误； 当时，函数，因为与在上单调递减， 所以当在上单调递减， 故B选项正确，C选项错误. 5．（25-26高一下·河北保定·开学考试）方程的实数根所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令函数，而函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，又， 因此函数在上存在零点， 所以方程的实数根所在的区间为． 6．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数的零点所在区间为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】结合函数单调性及零点存在定理判断即可. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增， 所以在上单调递增. ，， 根据零点存在定理可知，该函数零点在上，所以. 故选：B. 7．（多选）（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： -2 -1 0 1 2 3 16.1 -0.01 -4.92 -5.5 2.4 -3.2 则函数一定有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由对应值表可得： ，，因为，所以函数在上存在零点，故A正确； ，，因为，所以函数在上存在零点，故C正确； ，，因为，所以函数在上存在零点，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知函数，下列区间中存在函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】依次验证各个区间端点的函数值，利用零点判定定理判断即可. 【详解】，， 可得，由函数零点存在性定理可得存在函数零点的区间是， ，可得， ，可得， ，可得， 由函数零点存在性定理可得存在函数零点的区间是. 故选：AD. 9．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）设若有三个不同的零点，则实数的取值范围__________. 【答案】 【分析】由函数解析式作函数图象，由函数图象即可得出结论. 【详解】已知， 在、上递增，在上递减， 且在上值域为，在上值域为， 可得函数图象大致如下， 由图象得时，有三个不同的零点. 故答案为： 10．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 24.5 则函数在区间上的零点至少有_______个． 【答案】3 【分析】根据题意，得到，结合零点的存在性定理，即可得到答案. 【详解】根据题设表格中的数据，可得， 则， 根据零点存在性定理，可得在区间上均至少含有一个零点， 所以函数在区间上的零点至少有3个． 故答案为：3. B能力提升 1．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定方程在上有一个解，从而得在上必有两个不同解，即必有两个非正数解，由二次函数根的分布情况列出不等式组求解即可. 【详解】当时，,单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 2．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数性质，确定三交点的公共函数值范围，利用根的对称性与求和，得 的值域. 【详解】分段函数：， ：开口向上抛物线，对称轴，最小值 ； ：指数函数，单调递减，值域； 要存在使 ， 直线 需与两段曲线交于三点，因此， 是抛物线部分的两个交点，关于对称轴对称， 由韦达定理知：；由图得 ， 因此总和：， 当时，此时，则， 此时，即. 当时，此时，则， 综上所述，，即的取值范围为. 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】将有四个不同零点转化为直线与的图象有四个交点，分别分析分段函数两段的单调性与值域，数形结合求的取值范围. 【详解】由可得，问题等价于直线与函数的图象共有4个不同交点， 分两段讨论函数性质： 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； 最小值为，端点值， 因此当时，直线与该段图象有2个交点； 或时仅有1个交点； 时无交点； 当时，， 在上，单调递减，值域为； 在上，单调递增，值域为； 因此当时，直线与该段图象有2个交点； 时仅有1个交点， 当时无交点； 要使总交点数为4，需两段各有2个交点，取两个范围的交集， 得的取值范围为. 5．（26-27高一上·福建泉州·开学考试）（1）已知函数.判断函数的奇偶性，并求函数图象的对称中心； （2）已知函数. （i）当时，求函数在区间上的最大值与最小值. （ii）若有三个解，求的取值范围. 【答案】（1）奇函数；对称中心为. （2）（i）最大值为，最小值为；（ii）. 【分析】（1）根据函数的奇偶性、对称性，结合函数图象的平移变换求解即可. （2）（i）根据一元二次函数及一次函数的性质求解即可. （ii）采用数形结合，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由题意得，其定义域为，关于原点对称. 因为，所以为奇函数. 因为的图象关于原点中心对称，而 是由 向上平移个单位得到的， 所以函数图象的对称中心为. 综上，为奇函数，函数图象的对称中心为. （2）（i）当时，. ①当时，，对称轴为， 故最小值为；又，，故最大值为. 所以此段值域为. ②当时，单调递减. 所以此段无最大值，最小值为，且. 所以此段值域为. 综上，当时，在区间上的最大值为，最小值为. （ii）作出函数草图如下所示， 因为存在三个解，故只需，解得. 所以的取值范围为. C综合素养 1．（25-26高二下·福建福州·期末）一般地，我们把形如（）的函数称为飘带函数． (1)若，，求函数的零点； (2)判断的奇偶性，并给予证明； (3)若，，是否存在实数，，使得在上的值域是？若存在，求出所有，的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)为奇函数． 因为且， 又因为 ， 所以是奇函数． (3)不存在. 假设存在实数，，使得在上的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故，符号相同． 当时，由得在单调递增， 于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解； 同理，当时，又因为是奇函数，由对称性可知在单调递增． 于是，得， 解得，这与矛盾，故无解； 综上所述，不存在符合要求的实数，． 【分析】（1）将函数的零点问题转化为方程的根的问题求解即可. （2）根据函数奇偶性的定义即可证明； （3）根据函数的单调性和奇偶性即可证明. 【详解】（1）当，时，，令， 解得，，所以的两个零点分别是和. （2）略. （3）略. 2．（25-26高二下·福建三明·期末）已知函数（且）为奇函数. (1)求实数的值并解不等式； (2)若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质，求出的值，代入解不等式即可； （2）令，把问题转化为与关于的函数交点问题，画出函数图象，数形结合可得答案. 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，得，即, ，， 所以，经检验满足题意； 由，可得， 所以，即， 所以不等式的解集为； （2）令，由得， ， 等价于， 即，， 令， ，则，代入得， 函数在单调递减，在单调递增，最小值为， 当 时，， 要使方程有两个不同解，实数的取值范围为. 3．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明：在区间上单调递增； (3)若关于的方程在内有实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明：函数，则，解得或， 即函数的定义域为， 又，所以为奇函数. (2)证明：任取，，且，则.因为，所以，又因为在区间上单调递增，所以，故，所以函数在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇偶函数的定义进行判断； （2）利用定义法判断函数的单调性即可； （3）将条件转化为存在，使得成立的问题，等价于属于 的值域求解即可. 【详解】（1）略. （2）略. （3）函数代入方程，整理可得， 等价于在内有实数根，对于任意，，故的条件 对于方程的任意实数根自动满足，并整理得， 令，化简得. 令，由得，则. 对勾函数在单调递减，在单调递增， 最小值为（当时取等），且对任意，都存在对应， ，且时， 因此的值域为，即的取值范围是. 4．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调性； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在上单调递增； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据对数函数的定义结合复合函数单调性求解； （2）利用零点存在定理列式结合对数运算及一元二次不等式求解； （3）利用基本不等式和函数的单调性分类求函数的最小值，确定结论. 【详解】（1）因为，所以解得，所以函数的定义域为； 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增； （2）由已知，是增函数， 因为函数在上有且仅有一个零点， 所以，解得， 所以的范围是； （3）假设存在正实数满足题意， ，则，， 设，则， ， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 若，则，此时满足题意， 若，即， 设，， ， 因为，所以，， 所以时，，，是增函数，时，，，不合题意； 当时，，，是减函数，时，，，不合题意； 综上，存在正实数，使得函数在内的最小值为6，满足条件时. 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，． (1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式恒成立利用基本不等式计算可得， （2）利用方程有根并根据对勾函数性质，求出函数在上的值域即可. 【详解】（1）由可得， 因此， 又易知，当且仅当，即时，等号成立； 所以满足即可，解得， 因此实数的取值范围为. （2）由可得， 所以，即； 令，则，即， 易知函数在上单调递增，所以可得. 因此实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $