第一章 空间向量与立体几何 单元试卷 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦空间向量与立体几何，覆盖向量运算、线面关系等核心知识，通过基础题与探究题梯度设计，培养空间观念与逻辑推理，适配高二单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|向量化简、法向量、共面条件等|第1题结合长方体情境，考查空间向量线性运算| |多选题|3题|向量平行垂直、正四面体性质|第10题以正四面体为载体，综合空间向量数量积| |填空题|3题|向量模、空间向量表示、动态距离|第14题实验装置情境，考查异面直线距离最小值| |解答题|5题|夹角计算、线面证明、二面角|第19题存在性探究，培养创新意识与推理能力|

第一章　空间向量与立体几何 单元试卷 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．如图，在长方体中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】解：如图： ， 故选：A. 2．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 3．设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 【答案】C 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 4．已知，，，若向量，，共面，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的基本定理，得到存在实数使得，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，， 因为向量，，共面，则存在实数使得， 即， 所以，解得. 故选：A. 5．若向量，，且的夹角的余弦值为，则实数等于（   ）. A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积运算及夹角公式，代入坐标计算即可． 【详解】由题意得，解得或， 故选:C． 6．如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直二面角确定坐标系原点和坐标轴，建立空间直角坐标系，然后根据边长长度求出的空间坐标，最后根据空间两点距离公式求出结果. 【详解】取的中点，连接. 因为折叠前四边形为正方形，， 所以. 因为平面与平面的夹角为直二面角， 所以平面，且. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为正方形边长为4，则，所以. 所以. 故选：C. 7．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线的夹角运算求解. 【详解】设，分别延长到E，E1，使得， 连接， 可得//，//，则异面直线与所成角（或其补角）， 则， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A.      8．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M为线段PC上一动点，，若为锐角，则实数t可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，利用空间向量处理问题：若为锐角，则，运算求解. 【详解】分别以为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，故， 由可知，即， 又因为为锐角，所以， 由，可知， ，整理得， 解得 故选：B． 二、多选题 9．已知向量，向量与平行，向量与垂直，则（    ） A． B． C．的模为5 D．向量与的夹角为 【答案】ABD 【分析】由题知，，进而得，再依次讨论求解即可得答案. 【详解】解：因为向量，向量与平行，向量与垂直， 所以，，即，解得，故A，B选项正确； 所以，，故C选项错误； 因为，所以向量与互为相反向量，夹角为，故正确. 故选：ABD 10．如图，已知四面体的所有棱长都等于，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出⊥，得到. 【详解】由题意得：四面体为正四面体， 故， 故，A正确； 因为分别是的中点， 所以，，且，， 故，B错误； ，C正确； 取的中点，连接， 因为均为等边三角形， 所以⊥，且⊥， 因为，且平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，⊥， 故，D正确. 故选：ACD 11．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为的中点，为棱上的动点，则（   ） A． B．存在点，使面 C．最小值为 D．存在两个点，使与所成的角为60° 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量分析各选项，可得结果. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 则,，，， 为棱上的动点，可设，. 所以，. 对A：，所以，故A正确； 对B：因为平面的法向量可取，由，所以点为线段中点时，面，故B正确； 对C：因为，当时取等号，故C正确； 对D：由或， 因为，所以不合题意，所以使与所成的角为60°的点只有1个，故D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：因为该四棱锥是正方体的一部分，所以建立空间直角坐标系，用空间向量分析相关的位置关系是比较省劲的一个方法. 三、填空题 12．已知与的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】由题知，进而根据模的公式计算即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以，故. 故答案为： 13．在四面体中，点在上，且，为中点，则等于______.(用，，表示) 【答案】 【分析】根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】在四面体中，点在上，且,为中点， 可得 故答案为：. 14．在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是3，且平面平面，活动弹子M，N分别在正方形对角线，上移动，则的最小值为__________.    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，计算，构造函数，利用二次函数的性质计算最值得到答案. 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，    设，，， 则， 设， 故， 故，时，最小为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题． 【详解】（1） （2），，,， 设与的夹角为，则． （3），， 根据， 解得． 16．如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）略 （2）略 17．如图，在四棱锥中，，，平面平面，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)因为，是的中点，所以， 取的中点，，且，，所以四边形是矩形， 所以，又，因此是正三角形，而是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以． (2) 【分析】（1）取的中点，利用平面几何的基本性质得到是正三角形，从而结合线面垂直的判定定理可得到平面，进而可得； （2）通过面面垂直的性质定理可得到平面，则通过空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，进而可求解它们夹角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，． 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以为平面的一个法向量． 设平面的法向量， 则，即，令，则，， 故为平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 19．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. (2) (3)存在； 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　空间向量与立体几何 单元试卷 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．如图，在长方体中，化简（    ） A． B． C． D． 2．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 4．已知，，，若向量，，共面，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．若向量，，且的夹角的余弦值为，则实数等于（   ）. A．0 B． C．0或 D．0或 6．如图，把边长为4的正方形纸片沿对角线折成直二面角，E，F分别为的中点，则折纸后（   ） A． B． C． D． 7．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，M为线段PC上一动点，，若为锐角，则实数t可能为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，向量与平行，向量与垂直，则（    ） A． B． C．的模为5 D．向量与的夹角为 10．如图，已知四面体的所有棱长都等于，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为的中点，为棱上的动点，则（   ） A． B．存在点，使面 C．最小值为 D．存在两个点，使与所成的角为60° 三、填空题 12．已知与的夹角为，则__________. 13．在四面体中，点在上，且，为中点，则等于______.(用，，表示) 14．在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是3，且平面平面，活动弹子M，N分别在正方形对角线，上移动，则的最小值为__________.    四、解答题 15．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 16．如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 17．如图，在四棱锥中，，，平面平面，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 19．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $