6.3.2 角的比较与运算 第2课时（教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦角的平分线及角的等分线，系统讲解定义、性质及度分秒的乘除运算。通过折纸游戏导入，结合知识回顾（角的和差、度分秒加减），类比线段中点构建知识支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于融合动手操作与逻辑推理，通过折纸、量角器画角平分线培养几何直观，典例与拓展提升发展运算能力和推理意识。分层练习覆盖基础到真题，助力学生夯实知识，教师可直接用于教学提升效率。

角 第 3 节 第6章 6.2.2. 角的比较与运算 几何图形初步 第2课时 角 平 分 线 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 2 3 认识角的平分线及角的等分线，能通过折纸法画出一个角的平分线，培养几何直观.会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题. 理解角的倍、分的意义及数量关系,能够用几何语言进行相关表述, 会进行涉及度、分、秒的乘、除运算能解答相关问题. 经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程,积累活动经验,培养动手操作能力. 利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题. 重点 1.会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题. 2.度、分、秒的乘、除运算. 难点 重 难 点 知识回顾 1.如图，已知，，则图中所有角的和是（　　） A． B． C． D． 练一练 解：根据题意可得：图中共有6个角，分别为∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠COD，∠DOB，∠COB， 设∠AOD=，∠COB=，如图所示： ∵∠COD=，∠AOB=， ∴∠AOC=，∠DOB=， ∠AOB=， ∵， ∴， ∴∠AOD+∠AOC+∠AOB+∠COD+∠DOB+∠COB = = = ==， A 2. 计算下列各题： (1) 153°39′＋25°40′38″；　(2) 90°－37°24′38″； 解：(1) 153°39′＋25°40′38″ ＝178°79′38″ ＝179°19′38″. (2) 90°－37°24′38″ ＝89°59′60″－37°24′38″ ＝52°35′22″. 知识回顾 练一练 在进行度、分、秒的加、减运算时， ① 度、分、秒均是 60 进制的； ② 加、减法的运算，可以本着“度与度加减、分与分加减、秒与秒加减，不够减的时候借位”的原则 A B C E 创设情境 数学活动 同学们,你玩过折纸游戏吗?折纸游戏里还蕴藏着不少数学知识呢! 请准备一张长方形纸片,跟随老师来折纸 你知道两折痕BC，BD间的夹角是多少度吗?为什么? A B C E 沿BC折叠 A′ 沿BE折到BA′上 B C A′ E′ D A B C E A′ E′ D 恢复原形，留下折痕 ——角的平分线 新知讲授 探究点1 角的平分线 如图，点M是线段AB上的点， 若线段AM=BM= AB， 点M叫做线段AB的 . (2)类比线段的中点，∠AOB 中的射线OC也有类似特殊位置： A B M 2 1 A O B C (1)说一说线段中点的定义 讨论 线段上将线段平均分为两个相等线段的点称为线段的中点 中点 射线OC将∠AOB 分为两部分， ∠AOB= 2∠AOC= ∠COB ∠AOC= ∠COB= ∠AOB 2 角的平分线 7 新知讲授 探究点1 角的平分线 角平分线的定义： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 2 1 A O B C 归纳 注意：角的平分线满足的三个条件： （1）从角的顶点引出的射线； （2）在角的内部； （3）将已知角平分. 几何语言： 如图，∵∠1= ∠2= ∠AOB ∴OC平分∠AOB. （角的平分线的定义） 新知讲授 探究点1 角的平分线 角平分线的性质： 几何语言： 如图，∵ OC平分∠AOB ∴∠AOB＝2∠1＝2∠2. （角的平分线的定义） 2 1 A O B C 归纳 如图，∵ OC平分∠AOB ∴∠1= ∠2= ∠AOB （角的平分线的定义） 由射线位置 得角的大小关系 9 新知讲授 探究点2 角的平分线 例1.你知道两折痕BC，BD间的夹角是多少度吗?为什么? 解决创设情境中的问题 A B C E A′ E′ D 由题意得： 因为∠CBA与∠CBA'能够折叠重合, 所以∠CBA=∠CBA'= ∠ABA' 解： 因为∠EBD与∠E'BD能够折叠重合, 所以∠EBD=∠E'BD =∠E'BE 因为∠ABA'+∠E'BE=180° 所以∠CBA'+∠E'BD=∠ABA'+∠E'BE = (∠ABA'+∠E'BE)=×180°=90°. 因为∠CBA′+∠E′BD=∠CBD 所以∠CBD=90° 答：两折痕BC，BD间的夹角是90度 新知讲授 探究点2 角的三等分线 反之，若OB，OC是∠AOD的三等分线， 则 ∠1=∠2=∠3= ∠AOD， 或 ∠AOD=3∠1= ∠2= ∠3. 讨论 三等分线定义： 把一个角分成三个相等的角的两条射线，是这个角的三等分线. 如图，若∠1=∠2=∠3= ∠AOD， 称OB，OC是∠AOD的 等分线 三 3 3 新知讲授 探究点2 角的等分线 如图：因为射线OB，OC，OD是∠AOE的四等分线， 角的四等分线： 所以∠1=∠2=∠3=∠4= ∠AOE O A B C D E 1 3 4 2 讨论 把一个角分成四个相等的角的两条射线，是这个角的四等分线. 角的n份等分线 将角n等分 将角的度数除以n 新知讲授 探究点3 画角的平分线 数学活动 （1）在纸上画∠PQR, 将其沿经过顶点的线对折,使边QP与QR重合. （2）将角展开,在折痕上任取一点记作点C. （3）作射线QC 探 究 ►如何在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线？ C C ►如何用量角器作角的平分线？ （1）度量∠AOB的度数， (2)在角的内部画射线OC，使得∠AOC的度数等于∠AOB的一半 B O A C 如果把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到秒），如何计算? 分析： 新知讲授 探究点4 角的度数倍、分计算 思考 周角7等分列式计算： ； 360°÷7 360°÷7= °…… ° 51 3 将余数3°转化为分，即180′平均分为7份， 计算 180′÷7 180′÷7= ′…… ′ 25 5 300″÷7 将余数5′转化为秒，即300″平均分为7份， 计算 300″÷7 不能整除时按精确度进行四舍五入 ≈43″ 360°÷7≈ 51°25′43″ 如果把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到秒），如何计算? 新知讲授 探究点4 角的度数倍、分计算 思考 解: 360°÷7 = 51°+3°÷7 =51°+180′÷7 =51°25′+5′÷7 =51°25′+300′÷7 ≈51°25′43″ 规范书写 答：每份是约51°25′43″的角. 度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分，剩余的分化为秒 （1） 20°30′×8； （2） 106°÷5. （2）原式 = 21°+1°÷5 = 21°+60′÷5 =21°+12′ =21°12′ 解：（1）原式=（ 20°+30′ ）×8 = 20°×8+30′×8 = 160°240′ = 164° 例 2、计算. 新知讲授 探究点4 角的度数倍、分计算 将度和分分别乘以倍数8，再按满六十进一方法化简结果 ①度、分、秒分别与倍数相乘； ②秒逢60向分进1，分逢60向度进1. ①度、分、秒分别与除数相除； ②从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化. 角度的乘除运算方法 新知讲授 探究点4 角的度数倍、分计算 归纳 例3. 计算：（1）把 用度表示．（2）把23.26°转化为度分秒 解： （1） ， ∴ ． 典例评析 （2）0.26×60′=15.6′ 0.6×60″=36″ 23.26°=23°15′36″ 例4.（2024秋•长春月考）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，求的度数 解：∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 典例评析 例5.如图，已知是内部的一条射线，是的平分线，，，求的度数． 解： 因为， 所以 ． 所以 ． 因为平分， 所以． 所以 ． 典例评析 例6 小红早晨 8∶30 出发，中午 12∶30 到家，则小红出发时时针和分针的夹角度数为　 ，到家时时针和分针的夹角度数为　　. 75° 165° 解：与 12 点整相比，8∶30 时， 时针转过了 ：(8＋ )×30°＝255°， 分针转过了： 30×6°＝180°， 所以夹角为： 255°－180°＝75°. 同理 12∶30 时，180°-×30°=165° 时针和分针的夹角为 165°. 典例评析 新知巩固 1. 如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？ 解：把一个蛋糕等分成8份， 360°÷8=45° 所以每份中的角是 45°； 【教材P175 】 因为360°÷15°=24（份） 所以要使每份中的角是 15°， 这个蛋糕应等分成 24 份. 新知巩固 2. 如图，О是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′，求∠AOD的度数. 解： 因为О是直线AB上一点 所以=180° 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠AOC= = =90° 因为∠AOD=∠AOC-∠COD 所以∠AOD =90°-31°28′=58°32′ 【教材P176 】 3.计算： （1）21°17′×5 （2）180°÷11（精确到分） 解：（1） 21°17′×5 =21°×5+17′×5 =105°+85′ =106°25′ 解： 180°÷11 =16°+4°÷11 ≈16°22′ 新知巩固 【教材P176 】 1．（2024秋•碑林区校级月考）下列说法中正确的是　　 A．过两点可以画无数条直线 B．连接两点的线段叫两点之间的距离 C．两点之间线段最短 D．把一个角分成两个角的射线叫角的平分线 检测反馈 C 解： A、过两点只能画一条直线，故A不符合题意； B、连接两点的线段的长叫两点之间的距离，故B不符合题意； C、说法正确，故C符合题意； D、把一个角分成两个相等角的射线叫角的平分线，故D不符合题意． 2.如图，将一张长方形纸片分别沿着，折叠，使迈，均落在上，得到折痕，，则等于（ ） A． B． C． D． 检测反馈 解：由折叠性质得， ，， ． C 3．如图，，，若平分，则的度数可以表示为（ ） A． B． C． D． 检测反馈 解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， A 4.如图，已知，平分，，求的度数． 解：因为，平分， 所以， 因为， 所以， 所以． 检测反馈 5.计算： (1) (2) （1） （2） 解： 检测反馈 拓展提升 1.如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值 解：因为，所以， ， 此时，三角板旋转的角度为， 所以； 当直线恰好平分锐角时，如图： 1.如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值 解：因为，所以， 拓展提升 当在的内部时， 如图三角板旋转的角度为： ， 所以 ； 所以的值为：5或23． 2．已知为直线上一点，为直角，平分． （1）如图1，若，则 ； 若，则　　 ， 和的数量关系为 ． （2）当射线绕点逆时针旋转得到如图2的位置时，（1）中和的数量关系是否还成立？请说明理由． 解：（1）因为，是直角， 所以， 又因为 平分， 所以 ， 所以 ， 若 ，则； 故 ； 拓展提升 2．已知为直线上一点，为直角，平分． （1）如图1，若，则 ； 若，则　　 ， 和的数量关系为 ． （2）当射线绕点逆时针旋转得到如图2的位置时，（1）中和的数量关系是否还成立？请说明理由． 解：（2）和的关系依然成立． 因为是直角， 所以， 又因为平分， 所以， 所以 ． 拓展提升 真题感知 1. (2026•襄阳樊城区期末)如图，一个有故障的节拍器，指针在中轴左右摆动的幅度不相等.若∠MON＝2∠AOM，且射线OA平分∠BON，则∠AOM＝ (结果用“度、分、秒”为单位的“角度制”表示). 22°30′　 解：由题意得： ∠NOC =90°－∠MON = 90°－2 ∠AOM 因为∠MON＝2∠AOM ＝2∠AOM 所以∠AON＝ ∠MON+ ∠AOM =3∠AOM 因为射线OA平分∠BON 所以∠BON=2 ∠AON=6∠AOM 因为∠BON+ ∠NOC =180° 所以6∠AOM+90°－2∠AOM=180° 所以4∠AOM=90° 所以∠AOM=22.5°=22°30′ 20．（2023秋•新城区校级期末）已知，，是的平分线，则的度数为 ． 解：当在中间时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 真题感知 或 当在外边时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， B O A B O A 35 角的和与差： 角的大小比较： 1.度量法：量角器. 2.叠合法：将两角的一边重合，由另一边的位置比较大小. 角的比较与运算 角平分线： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线 叫做这个角的角平分线. 1.两角之和，记作： ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC. 2.两角之差，记作： ∠AOB＝∠AOC－∠BOC. 课堂小结 3.角度的四则运算 加、减、乘、除 课后练习 3.填空题. （1）0.4°=_______′； （2）12″=______′； （3）57°31′+17°39′=______°______′； （4）25°36′×4=______°______′； （5）46.8°÷6=_____°=______°______′ 24 0.2 75 10 102 24 7.8 7 48 习题 6.3 课本p178页 课后练习 8.如图，∠COD=35°，OC平分∠AOB，OD 平分∠AOC.求∠AOB 的度数. 解：因为 OD 平分∠AOC， 所以∠AOC=2∠COD =2×35°=70° 因为 OC平分∠AOB， 所∠AOB=2∠AOC=2×70°=140°. 习题 6.3 课本p178页 课后练习 10.如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，根据图形填空： （1）∠AOB= ∠AOC+_______； （2）∠COD=_______= _______； （3）∠DOE=_______+______= ______； （4）若∠DOE=60°，则∠AOB=_____°； 若∠AOB=n°，则∠DOE =______°. ∠BOC ∠AOD ∠COE ∠COD ∠AOC ∠AOB 120 习题 6.3 课本p178页 课后练习 12.如图，一个齿轮有24个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？ 解：因为有 24 个齿， 所以这个夹角是: 360°÷24=15°； 如果是 22 个齿， 那么这个夹角是: 360°÷22≈16°22′. 习题 6.3 课本p178页 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $