1.2.3 课时2 等差数列前n项和的性质和应用课件-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质与应用，通过问题链导入，从函数观点分析Sn特点，探究Sn、S2n、S3n关系，衔接通项公式，搭建知识支架帮助学生构建体系。 其亮点在于以数学眼光抽象Sn的二次函数特征，通过一题多解（如例1四种方法求最值）培养数学思维的推理能力，用数学语言精确总结性质（如片段性、奇偶性）。助力学生深化理解，提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

1.2.3 课时2 等差数列 前n项和的性质和应用 等差数列的前n项和公式： 注意：两个公式都表明要求Sn必须已知n，a1，d，an中的三个. an=a1+(n-1)d 问题1:已知等差数列{an}的公差d，前n项和为Sn.从函数的观点分析<m></m>关于<m>的函数具有什么特点？ 一、等差数列前n项和的函数特点 所以等差数列的前n项和公式Sn可以看成关于n的二次函数(常数项为0)． 例1 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=25，S17=S9． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求 Sn的最大值及对应的n值． 解： （1）记数列{an}的公差为d，由S17=S9，可得 17a1＋136d =9a1＋36d ， 又a1=25，解得d =－2， 所以an=25＋(n－1)×(－2)=27－2n． 根据等差数列前n项和的函数特点，要求解以下问题，你能联想到什么？ 4 例1 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=25，S17=S9． （1）求数列{an}的通项公式； an=27－2n （2）求Sn的最大值及对应的n值． 解： （2）方法1：因为 所以当n=13 时，Sn取最大值，S13=169． 方法2： （2）令an=27－2n>0，得n<13.5 即当n≤13时，an>0，当n≥14时，an<0， 故当n=13 时，Sn取最大值，S13=13×25＋78×(－2)=169． 5 方法三：先求出d＝－2(同方法一)， 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14, 故a13＋a14＝0. ∵d＝－2<0，a1>0. ∴a13>0，a14<0， 故n＝13时，Sn有最大值169. 方法补充： 求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法： 2.根据项的正负来确定等差数列前n项和的最值： (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最 值； (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最 值． 特别地，若a1>0，d>0，则 是{Sn}的最 值； 若a1<0，d<0，则 是{Sn}的最 值． 负数 小 正数 大 a1 小 大 a1 问题2 : 等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 已知等差数列{an}的前n项和为Sn． （1）求证：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列； （2）求证：S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列； （3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 二、等差数列前n项和的相关性质 已知等差数列{an}的前n项和为Sn． （1）求证：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列； （2）求证：S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列； （3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 证明：（1）记数列{an}的公差为d， 因为S2 = a1＋a2，S4－S2 = a3＋a4，S6－S4 = a5＋a6， 所以(S4－S2)－S2 = (a3＋a4)－(a1＋a2) = 4d， (S6－S4)－(S4－S2) = (a5＋a6)－(a3＋a4) = 4d， 即 (S6－S4)－(S4－S2) = (S4－S2)－S2， 所以S2，S4－S2，S6－S4成等差数列． 10 已知等差数列{an}的前n项和为Sn． （2）求证：S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列； 证明：（2）记数列{an}的公差为d， 因为S3 = a1＋a2＋a3，S6－S3 = a4＋a5＋a6，S9－S6 = a7＋a8＋a9， 所以(S6－S3)－S3 = (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3) = 9d， (S9－S6 )－(S6－S3) = (a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6) = 9d， 即 (S9－S6 )－(S6－S3) = (S6－S3)－S3， 所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 11 （3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 猜想：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． 证明：因为Sm = a1＋a2＋……＋am， S2m－Sm = am+1＋ am+2＋……＋a2m， S3m－S2m = a2m+1＋ a2m+2＋……＋a3m， 所以(S2m－Sm)－Sm =m2d， (S3m－S2m)－(S2m－Sm)==m2d， 即 (S3m－S2m)－(S2m－Sm) = (S2m－Sm)－Sm， 所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． (1)S2，S4－S2，S6－S4成等差数列． (2)S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 12 问题3:<m></m>，<m>具有什么关系？对分类讨论. 若项数为，则 <m></m> ， <m></m> ; 若项数为， 由等差数列的性质可知<m></m> ， 所以 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> （这里 <m></m> ， <m></m> 是中间项）， <m></m> ． 问题4:数列<m></m>是等差数列吗？ 已知数列 <m></m> 的公差为 <m></m> ，则 <m></m> ， 所以有 <m>，</m> <m></m> . 因为 <m></m> ， 所以数列 <m></m> 是首项为 <m></m> ，公差为 <m></m> 的等差数列． 1.等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形: 2.等差数列{an}的前n项和Sn的性质 性质1： “片段和”性质 等差数列中依次n项之和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…组成公差为n2d的等差数列 性质2： “奇偶项”性质 若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n=n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd， (S奇≠0)； 若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an， (S奇≠0). 例2 已知等差数列{an}的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求该数列的公差d. 解法一:设等差数列{an}的首项为a1, 由解得 解法二:由已知得解得 又S偶-S奇=6d,所以d==5. 例3 已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的 前3m项的和S3m. 解法一:由等差数列前n项和的性质可知，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列， ∴30，70，S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100)，∴S3m=210. 解法二:由等差数列前n项和的性质可知，， ， 成等差数列， ∴ = + ，即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. (1)整体思路:利用公式Sn=，设法求出整体a1+an，再代入求解. (2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数，设Sn=An2+Bn(A≠0)，列出方 程组求出A，B即可；也可以利用Sn是关于n的一次函数，设=an+b(a≠0) 进行计算. (3)利用相关性质中的结论进行求解. 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法: 根据今天所学，回答下列问题，谈谈你的收获： 1.等差数列前n项和的函数特点？ 2.等差数列前n项和的性质有哪些？ 1.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 2.等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于(　　) A.12 　　　　B.18 　　　　C.24 　　　　D.30 3.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn(　　) A.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数 C.有最大值且是分数 D.无最大值和最小值 B D B 4.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n＝____. 8 解析 5.一个等差数列共211项，则它的奇数项和与偶数项和之比为__________. 106∶105 解析 方法四：先求出d＝－2(同方法一)得Sn的图象如图所示， 由S17＝S9知图象对称轴n＝eq \f(9＋17,2)＝13，∴当n＝13时，取得最大值169. 1.由二次函数的最值特征得解． Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝eq \f(d,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(a1－\f(d,2),d)))2－eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))2,2d)＝eq \f(d,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(a1,d)))))2－eq \f(d,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(a1,d)))2. 由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N*知，当n取最接近eq \f(1,2)－eq \f(a1,d)的正整数时， Sn取到最大值(或最小值),值得注意的是最接近eq \f(1,2)－eq \f(a1,d)的正整数有时1个,有时2个． (1)Sn=n·; (2)Sn=n2+(a1-)n; (3)n+(a1-)({}是公差为的等差数列). ＝ ＝ $