广东深圳高级中学（集团）2027届高三上学期开学摸底考试数学试题

深圳高级中学（集团）2027届高三开学摸底考试 数学试题 满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若“”是“”成立的充分条件，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是 A．-10 B．-8 C．8 D．10 3．已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为 A．2 B．3 C．4 D．5 4．小明将5张互不相同的卡片全部放入编号为，，的3个信封中，每个信封至少放1张卡片，则不同的放卡片方法共有 A．90种 B．120种 C．150种 D．300种 5．设函数，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知正方形的边长为4，平面，，，分别是，的中点，则点到平面的距离为 A． B． C． D． 7．若甲盒中有3个红球，2个黄球，1个白球，乙盒中有个红球（），2个黄球，3个白球，这些球的大小、材质完全相同．现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“两次取到的球颜色相同”的概率不超过，则的最大值为 A．2 B．3 C．4 D．5 8．【暑假作业限时训练1，错题8】函数，关于的方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则 A． B．展开式中的系数为 C．若展开式中各项系数的和为1024，则第5项的系数最大 D．展开式中奇数项的二项式系数的和为512 10．已知，，，则，，的大小关系可能为 A． B． C． D． 11．已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为________． 13．若，是随机试验的两个事件，且，，，则________． 14．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球9个，其余为黑球．参与者从盒子中有放回的随机取次球，若其中取到白球的个数为，（），当概率（）时，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知函数（）． （1）若存在极值，求的取值范围； （2）当时，求证：． 16．（本题满分15分）如图，在四边形中，，，为的中点，点在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为60°． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 17．（本题满分15分）2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立． 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球．其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折． 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元． （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 18．（本题满分17分）已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程； （2）过的左焦点作的不垂直于轴的弦（其中点在轴上方），为中点，直线与双曲线：交于，两点． （ⅰ）四边形能否为平行四边形，若能，求此时直线的方程，若不能，说明理由； （ⅱ）求四边形面积的取值范围． 19．（本题满分17分）已知函数存在两个不同的极值点，． （1）求实数的取值范围； （2）设，求的最大值； （3）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $