5.1.2弧度制 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕“弧度制”展开，涵盖1弧度角的概念、角度与弧度的换算及扇形公式。通过生活中度量单位类比导入，先复习角度制，再结合弧长与半径比值的探究引入弧度制，构建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合生活实例培养数学眼光，通过公式推导和符号表达发展数学思维与语言。如辨析题强化换算，扇形最值问题提升应用能力，帮助学生形成抽象思维，教师可高效开展教学。

5.1.2 弧度制 情景导入 在我们的实际生活中存在很多度量单位，比如： 度量长度可以用： 度量质量可以用： 【问题1】在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 度、分、秒。 米、英尺、码等单位制 斤、千克、磅等单位制 规定：1度角等于周角的 【问题2】1°的角是如何定义的？ 这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制. 单位为“度”（即“ o”）不能省略. 新知探究 【活动1】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α.在旋 转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α. 设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为l，由初中所学知识可知： 角度制下的弧长公式 新知探究 【活动2】如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r1.在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为1，1与r1的比值是多少？ ⌒ 设α=n°,则 只与α的大小有关.   当弧长与半径相等时， 是一个定值1，此时圆心角 度. 【思考1】圆心角α所对的弧长l与半径r的比值与哪个量有关？ 我们把 与 的比值1记为1个单位的角, 这样可以用 来度量角的大小 另一种单位制：弧度制. 新知探究 我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角. 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度. 根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么有：   弧长与半径相等 新知探究 正角的弧度数是一个正实数 负角的弧度数是一个负实数 零角的弧度数是0 α的正负 由角α的终边的旋转方向决定 逆时针旋转为正 顺时针旋转为负 正角 零角 负角 正实数 0 负实数 新知探究 【思考2】度量长度的单位之间可以进行换算，同样地，度量角的弧度制和 角度制也应该能进行换算，如何换算？   已知： ∴α=360°对应的弧度制 ∴β=180°对应的弧度制 所以有 rad 两边同除以π 新知探究       两边同除以180 弧度数=角度数× rad   角度数=弧度数× ( )   随堂练习 例1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度. (1)72°；(2)-300°；(3)2；(4). 解：(1) (2) (3) (4) 5 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数． ③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式: ②用弧度制表示角时,“弧度”或“rad” 可省略不写,只写该角所对应的弧度数. 随堂练习 辨析1：下列转化结果中错误的是（ ）. A.60°化成弧度是 B.-化成度是-600° C.-150°化成弧度是 D.化成度是15° 答案：C. 例2.填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表： 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 2 45° 120° 150° 随堂练习 例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式： (1)(2)(3) 其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. 弧长公式 扇形面积公式 辨析3：判断正误： (1)扇形的半径为1㎝，圆心角为30°，则扇形的弧长 (2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍. (3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍. 答案：×，√，×. 随堂练习 例4.用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合. （1）终边落在x轴的非正半轴、非负半轴以及y轴的上的角的集合 x轴非正半轴 x轴非负半轴 y轴 （2）第一、二、三、四象限角的弧度表示. 随堂练习 （2）第一、二、三、四象限角的弧度表示. 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 例5.（1）用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为（　D　） A. {β｜β＝－ ＋2kπ，k∈Z} B. {β｜β＝ ＋k·360°，k∈Z} C. {β｜β＝ ＋2kπ，k∈Z} D. {β｜β＝ ＋2kπ，k∈Z} 解析：∵150°＝ ，∴用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为 {β｜β＝ ＋2kπ，k∈Z}，故选D. D 随堂练习 白本P131训练3 （2）终边落在图中阴影部分（不包含边界）的角的集合为（用弧度制表 示） ⁠. 解析：由题意知，终边落在阴影部分（不包括边界的角的集合）为{α｜－ ＋2kπ＜α＜ ＋2kπ，k∈Z}. {α｜－ ＋2kπ＜α＜ ＋2kπ，k∈Z} 例6.已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则该扇形圆心角的弧度 数为（　　） A. B. C. D. 或8 解析：　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角的大小为α，则2r＋l＝ 10，∵S扇形＝ lr＝4，则 （10－2r）r＝4，解得：r＝4或r＝1，当r＝4 时，l＝2，α＝ ＝ ，当r＝1时，l＝8，α＝8＞2π，故舍去，∴扇形的圆 心角的弧度数是 ，故选C. √ 随堂练习 白本P131例4 变式1　若本例中周长不变，扇形圆心角的弧度数是3，则扇形的面积 为 ⁠. 6 变式2　若本例中周长不变，求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小 及弧长. 解：由l＋2r＝10得l＝10－2r， S＝ lr＝ （10－2r）·r＝5r－r2＝－（r－ ）2＋ . 当r＝ cm时，S取得最大值 cm2，这时l＝10－2× ＝5 cm， ∴θ＝ ＝ ＝2 rad. 课堂总结 (1)1弧度角的概念； (2)角度制与弧度制的换算； (3)扇形的弧长和面积公式. $