精品解析：黑龙江省牡丹市宁安市第一中学2025-2026学年高一上学期开学模拟考试数学试题

宁安一中高一学年开学模拟考试（数学） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由积的乘方法则进行计算. 【详解】. 故选：C. 2. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 3. 若关于的多项式可以分解为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据代数式化简对应相等即可求解. 【详解】由题意得：， 且，解得：， 的值为. 故选：B. 4. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过添加辅助线，结合角平分线定理，即可求出的高，从而可求得面积. 【详解】 过作于点， 是边上的高，平分， ，即， 故选：B 5. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】去分母将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解求解，即得答案. 【详解】解：由， 去分母得：，得， 当时，即，方程无解； 又由分式方程无解，得，解得：， 把代入整式方程得：，解得：， 方程无解，则的值为或． 故选：D 6. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程有实根列出不等式求解. 【详解】由抛物线与轴有交点，得关于的方程有实数根，且， 则，且，解得且， 所以的取值范围是且. 故选：A 7. 下列命题成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】对ACD，举反例说明；对B，作差，因式分解判断. 【详解】对于A，若，满足，但是，故A错误； 对于B，由，则不同时为0， 所以， 所以，即，故B正确； 对于C，取，满足，但是，即，故C错误； 对于D，取，满足，而，故D错误. 故选：B. 8. 如图，反比例函数的图象经过两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，.若，，则的值是（ ） A. -12 B. -9 C. -6 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数中的几何意义及图形面积的割补法求解. 【详解】反向延长交于点，设，则， ∵轴，轴，∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵反比例函数的图象经过两点，∴， ，， 则 ，解得. 故选：. 9. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象分析的关系，判断各项的准确性即可. 【详解】由图可知，二次函数开口向下，，对称轴， ∴，则，则①错误； 二次函数图象与轴有两个交点，故，即，②正确； 函数图象对称轴为，，即，③错误； 由图当时，，又， ，④正确. 故选：B 10. 如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），下列三个结论： ①当时，则； ②； ③的周长不变． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】对①，由可得，从而，，进而求得；对②，将绕点顺时针旋转得，可得，从而，由四边形内角和为，可得；对③，由，可得，从而周长不变. 【详解】对①，正方形中，， ，． 当时，，， ，. 易证，， ，，故①正确； 对②，如图，将绕点顺时针旋转得， 则， 则在和中，，， ，， ，，故②正确； 对③，，， 的周长为：， 和均为正方形的边长，故的周长不变，故③正确； 综上①②③都正确．故选：． 二、填空题（每不题4分，共24分） 11. 已知集合，，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据集合的运算求出，再根据补集的定义求解即可. 【详解】由已知集合，， 所以，所以或. 故答案为：或. 12. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的方程的解是______. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意及图象求解即可. 【详解】因为一次函数和的图象交于点， 所以，同时满足一次函数和的解析式， 则方程的解是. 故答案为：. 13. 如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组解集中包含整数解的个数求的取值范围. 【详解】由. 因为不等式组有且仅有4个整数解， 所以. 故答案为： 14. 若实数，满足，则代数式的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，且，将变形为，根据二次函数性质即可求解最小值. 【详解】∵，∴，∴， ∴ ，∵，∴当时，其值最小，最小值为． 故答案为： 15. 已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得方程在上只有1个解，据此可得答案. 【详解】因只有一个元素，则在上只有1个解. . 若判别式等于0，则或. 当时，易得方程解为，不满足题意； 当时，方程解为，满足题意. 若判别式大于0，得或. 由韦达定理，两根之积为2，两根之和为，要使方程在上只有1个解， 则满足题意，且. 综上实数m的取值范围是. 故答案为： 16. 如图，在平行四边形中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边于点.若直线将平行四边形的面积平分，则线段的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质依次证明得到和，进而得到等式，将题目所给条件代入，即为一个关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图所示，连接交于点， 因为为平行四边形的对角线，且直线将平行四边形的面积平分， 所以为的中点，为平行四边形的中心，即， 因为四边形是平行四边形，即， 所以，， 又因为，，， 所以，， 可得， 因为，，， 所以，即，解得. 故答案为：. 三、解答题：（共56分） 17. （1）计算： （2）先化简再求值：，其中，； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由根式运算法则，幂的运算法则和特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）利用分式运算法则进行化简，再代入计算即可. 【详解】（1）； （2） ， 将，代入， 原式 . 18. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）若，则是的子集，分集合是否是空集进行讨论即可. 【小问1详解】 全集，集合， 当时，， ，或，. 【小问2详解】 若，则是的子集， 情形一：若是空集，则显然满足题意，此时，解得； 情形二：若不是空集，此时， 若是的子集，则，解得，即此时满足题意的的范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 19. 已知二次函数（）的图象经过点. （1）求二次函数的图象的对称轴. （2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象.当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和. （3）设的图象与x轴的交点分别为，，且.若，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入二次函数，得到，求出对称轴； （2）根据最小值得到，结合，求出，并得到平移后的解析式，结合对称轴求出最值，得到答案； （3）由（1）知，，故的两根为，，得到两根之和，两根之积，并计算出故，得到，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【小问1详解】 将代入中得，， 故， 所以二次函数的图象的对称轴为； 【小问2详解】 的最小值为， 即时，，即， 又，解得，故，即， 该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的函数为， 即，对称轴为，开口向上， ，故时，新的二次函数取得最大值，最大值为， 当时，新的二次函数取得最小值，最小值为， 故最大值与最小值的和为； 【小问3详解】 由（1）知，，， 故的图象与x轴的交点分别为，，且， 即的两根为，， 故，故， 其中， 又，故，解得. 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知点坐标为，点的坐标为. （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）观察图象直接写出满足时的的取值范围； （3）求； （4）P为x轴上一动点，当为等腰三角形时，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）或 （3） （4）或或或 【解析】 【分析】（1）根据题意通过待定系数法求出反比例函数解析式，求出点坐标，再将，两点坐标代入中求解即可. （2）根据图象，直接判断即可. （3）求出一次函数与轴的交点，求的面积即是求与面积之和. （4）根据为等腰三角形，分三种情况，，讨论即可. 【小问1详解】 将点坐标代入得：，所以反比例函数的解析式是， 将点的坐标代入，得，所以， 将、两点的坐标代入中得：， 解得：，所以一次函数的解析式为：. 【小问2详解】 由图象可得：时，的取值范围是：或. 【小问3详解】 如图所示，当时，，， 所以，所以. 【小问4详解】 当为等腰三角形时，存在以下三种情况： ①当时，如图， 因为，所以，所以或； ②当时，如图， 所以； ③当时，如图，过点作轴于 设，则，，所以， 所以，，所以， 综上，的坐标为或或或. 故答案为：或或或. 21. 翻折在初中数学中是图形变换的重要内容，它是基于轴对称的原理，将一个图形沿着某条直线折叠，直线两侧部分能完全重合.如图1，在中，，，，D是边AB上一动点，连接CD，以CD为对称轴将翻折至. （1）若，证明：. （2）当点恰好落在线段AB上时，请在图2中补全图形，并求BD的长. （3）如图3，当与AB的夹角为时，求出BD的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析， （3）2 【解析】 【分析】（1）根据翻折，，，进而，证明结论； （2）根据对称，补全图形，根据，求得BD的长； （3）根据翻折，，求出，根据，，求得结果. 【小问1详解】 证明：，， ，. 由折叠可知，，. 【小问2详解】 补全图形，如图所示. ，， . 又，， ，. 【小问3详解】 如图，设AB与相交于点E. 以CD为对称轴将翻折至， ，. ，，. 又，，. 在中，，，， 由勾股定理，得， . ，，， ，即， ，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁安一中高一学年开学模拟考试（数学） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 3. 若关于的多项式可以分解为，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若抛物线与轴有交点，则的取值范围是（   ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 下列命题成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 8. 如图，反比例函数的图象经过两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，.若，，则的值是（ ） A. -12 B. -9 C. -6 D. -3 9. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在正方形中，点、为边和上的动点（不含端点），下列三个结论： ①当时，则； ②； ③的周长不变． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每不题4分，共24分） 11. 已知集合，，则__________. 12. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的方程的解是______. 13. 如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是________________. 14. 若实数，满足，则代数式的最小值为______． 15. 已知集合，，只有一个元素，则实数m的取值范围是______． 16. 如图，在平行四边形中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边于点.若直线将平行四边形的面积平分，则线段的长为______. 三、解答题：（共56分） 17. （1）计算： （2）先化简再求值：，其中，； 18. 设全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 19. 已知二次函数（）的图象经过点. （1）求二次函数的图象的对称轴. （2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象.当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和. （3）设的图象与x轴的交点分别为，，且.若，求a的取值范围. 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知点坐标为，点的坐标为. （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）观察图象直接写出满足时的的取值范围； （3）求； （4）P为x轴上一动点，当为等腰三角形时，求点的坐标. 21. 翻折在初中数学中是图形变换的重要内容，它是基于轴对称的原理，将一个图形沿着某条直线折叠，直线两侧部分能完全重合.如图1，在中，，，，D是边AB上一动点，连接CD，以CD为对称轴将翻折至. （1）若，证明：. （2）当点恰好落在线段AB上时，请在图2中补全图形，并求BD的长. （3）如图3，当与AB的夹角为时，求出BD的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $