浙江乐清市荆山公学2027届高三上学期开学考数学试卷

**基本信息** 荆山公学2027届高三开学考数学试卷，以高考范围为基准，通过梯度化题型设计考查复数、数列、立体几何等核心知识，渗透数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、等比数列求和、立体几何（阳马文化情境）|结合《九章算术》阳马情境，考查空间想象与数学文化| |多选题|3/18|向量运算、统计量计算、函数奇偶性|通过“判断错误说法”形式，考查批判性思维| |填空题|3/15|等比数列性质、直线与曲线交点、外接球表面积|正六棱柱外接球问题，考查空间几何与最值思想| |解答题|5/77|数列证明与求和、解三角形、函数单调性与不等式恒成立|第19题综合函数奇偶性、单调性及恒成立问题，考查逻辑推理与数学运算|

荆山公学2027届高三年级开学考 高三数学学科 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A D B A B D BC AC BD 1．B 【详解】对化简得，故. 2．C 【详解】由题得，． 3．A 【详解】函数的图象关于原点对称，等价于该函数为奇函数. 令，得，解得. 条件“”是“”的真子集： 充分性：若，则，函数为奇函数，图象关于原点对称，充分性成立； 必要性：图象关于原点对称时，还可取，必要性不成立. 因此是充分不必要条件. 4．D 【详解】因为，所以当时，． 两式相减，得，所以，即等比数列的公比为． 当时，，解得，所以， 所以． 5．B 【详解】，所以，，所以在点处的切线方程为. 当时，；当时，. 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 6．A 【详解】由题意知：， 所以． 7．B 【详解】因为四边形为矩形且，所以四边形是正方形，，，； 又因为与所成角的余弦值为，所以与所成角的余弦值为； 因为平面，⊆平面，所以，， 又因为，⊆平面,所以平面， 又因为⊆平面，所以； 在直角三角形中，因为，所以； 所以在直角三角形中，，所以. 8．D 【详解】对任意实数，都有成立，所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 9．BC 【详解】对于A，向量共线的单位向量为，故A错误； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，平面向量，，所以，不共线，所以，可以作为平面内的一组基底，故C正确； 对于D，向量在上的投影向量，故D错误. 10．AC 【详解】选项A：该组数据共10个，第70百分位数的位置为， 所以第70百分位数是，A错误； 选项B：若原数据平均数为、中位数为、极差为，则形式的新数据平均数为、中位数为、极差为，代入，得新数据平均数为，极差为，中位数为，B正确； 选项C：根据方差性质，得，不是15，C错误； 选项D：由全概率公式，D正确. 11．BD 【详解】对于A：因为，所以， 又为奇函数，所以，所以， 又为偶函数，，所以， 则，即，即， 所以是以8为周期的周期函数， 由于，则， 即也是以8为周期的周期函数，故A错误； 对于B：因为为奇函数，所以，又， 所以，所以， 所以， 又为偶函数，则，所以， 则的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：由于为奇函数，则，令，则， 所以，故C错误； 对于D：由于，，则，， 依次类推：，所以，故D正确. 12．4 【详解】设等比数列的公比为q，由数列各项都为正数得. 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 13． 【详解】由得或， 所以曲线表示两个同心圆，如下图： 因为直线，即与曲线恰有三个公共点， 所以直线与圆相切. 所以 .所以. 14． 【详解】设正六棱柱的底面边长为，高为，外接球半径为． 正六边形的外接圆半径等于其边长，因此取经过棱柱轴线和上下底面一对相对顶点的截面，可得如下矩形截面． 由图可知正六棱柱的体积为，所以 令，则从而 由基本不等式，得当且仅当，即时，等号成立． 所以外接球半径的最小值为 ，外接球表面积的最小值为. 15．【详解】（1）由，得 ，两式相减得，整理得 同除以得：，又由得，则 所以数列，则，所以 （2）由（1）可知，，则， 所以， ， 显然数列为递增数列， 且，， 使成立的最大正整数． 16．(1)，(2)周长为 【分析】（1）利用正弦定理化简原式得到的关系，再代入中求解即可； （2）将第一问结果代入中求出，再利用余弦定理求出，进而求出，得到三角形周长. 【详解】（1）根据正弦定理可化为， 因为，所以， 又，（是三角形内角）. 把代入：， ，所以， 由，得，所以. （2）.代入：， 由余弦定理，已知： ， 所以，. 所以周长为 17．【详解】（1）记的中点为，连，， 由、分别为、的中点，所以且， 又且，所以且，     所以四边形为平行四边形，所以，     又平面，且平面，所以平面． （2）由平面，，则、、两两垂直， 则以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 又，则、、、， 所以，，设面的法向量为， 由，取，则，，则， 易知平面的一个法向量为， 记平面与平面所成锐二面角为，则， 因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18．(1)，(2) 【详解】（1）对于抛物线，其焦点坐标为， 对于抛物线，其焦点坐标为； 由两点间距离公式：， 已知，故，结合解得， 因此，直线的斜率， 由斜截式得直线方程为，即. （2）由（2）知,则，. 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得 联立直线与的方程：， 设的横坐标为，得， 因为点都在直线上，且斜率为， 所以 . 19．(1)；(3). 【详解】（1）因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，解得，此时. ，满足题意，所以. （2）(2)对于任意的实数，且， ， 因为指数函数是增函数，所以， 故，， 所以，即，所以是上的增函数. （3）因为函数是奇函数， 所以，即， 又是上的增函数，所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 根据对勾函数的单调性可知函数是增函数， 所以，所以，即实数的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆山公学2027届高三年级开学考 高三数学学科 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：高考范围． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数满足，则（     ） A．1 B．2 C． D．3 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．“，”是“函数的图象关于原点对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 5 0.1 0.3 0.4 0.1 则随机变量的期望等于（    ） A． B． C． D． 7．《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（    ）. A． B． C． D． 8．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A．与向量 B．与互相垂直 C．，可以作为平面内的一组基底 D．向量在上的投影向量为 10．下列说法错误的是（    ） A．数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8 B．已知一组样本数据，，…，的平均数为4，极差为6，中位数为5，则，，…，的平均数为，极差为12，中位数为 C．若随机变量满足，则 D．若，，，则 11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（     ） A．是以4为周期的周期函数 B．的图象关于直线对称 C． D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 13．若直线与曲线恰有三个公共点，则=________. 14．已知正六棱柱的体积为2，则其外接球表面积的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 16．在中，内角所对的边分别为，． (1)求的值； (2)若，，求的周长． 17．在四棱锥中，平面，，，． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 18．已知抛物线 ，的焦点分别为 ，且 . (1)求直线 的方程； (2)若直线 与从左到右分别交于 ， 两点，与 从左到右分别交于 ， 两点， 求 . 19．设为实数，已知函数是奇函数. (1)求的值； (2)求证：是上的增函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $