精品解析：广东湛江市第四中学2025-2026学年高二第二学期期中调研数学试题

湛江市第四中学2025-2026学年度第二学期期中调研试题 高二数学 （满分：150分 考试用时：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 2. 设函数在处存在导数为3，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 3. 的结果是（ ） A. 85 B. 105 C. 180 D. 200 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. ，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 判断下列命题正确的是（ ） A. 函数的极大值一定比极小值大 B. 对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C. 若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D. 一元三次函数在上可能不存在极值 10. 已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 若圆上恰有三个点到的距离为，则 C. 若为等边三角形，则 D. 若，则的取值范围是 11. 在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 球面经过，，，四点的球的半径最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为__________ 13. 在的展开式中，的系数为___________ 14. 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C所对的边，且． （1）求A； （2）若，求的取值范围． 16. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式： （2）求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 17. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，点（不在直线上） （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为，求的面积； （3）直线与交于点，设，，的斜率分别为，，.若，求直线的方程. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，请问在什么范围内取值时，对于任意的，函数在上总存在极值？ （3）若存在，，使得，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第四中学2025-2026学年度第二学期期中调研试题 高二数学 （满分：150分 考试用时：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由， 所以． 2. 设函数在处存在导数为3，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数在处存在导数为3，即， 所以. 3. 的结果是（ ） A. 85 B. 105 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】应用组合数及排列数公式计算求解. 【详解】. 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，将条件转化为对任意恒成立，分离参数求出最值，可得实数的取值范围． 【详解】函数求导得， 在上单调递增即对任意恒成立， 即对任意恒成立，也即对任意恒成立. 因为函数在上单调递减，因此的最大值为， 故可得，即. 5. 甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 6. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值． 【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以， 所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即， 又，所以， 即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2． 7. ，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的奇偶性可判断选项B、C错误，又可判断选项D错误，从而可得答案. 【详解】解：由题意，函数的定义域为， 因为，所以， 所以为非奇非偶函数，故选项B、C错误； 当时，，故选项D错误，选项A正确； 故选：A. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的换底公式，对数的运算法则以及指数函数的单调性，通过构造函数，利用导数法求出单调性比较出的大小. 【详解】，， ，， ，， ，， 设，， ， 设，，，， 在上是单调递增函数， ，，， 在上是单调递减函数， ，，， 为上的单调递减函数，， ，， ，即. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 判断下列命题正确的是（ ） A. 函数的极大值一定比极小值大 B. 对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C. 若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D. 一元三次函数在上可能不存在极值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可. 【详解】对于A：根据极值定义，函数的极大值不一定比极小值大，则A错误； 对于B：若或恒成立，则无极值点，则B错误； 对于C：在内单调递增，且区间为开区间，所以取不到极值，则C正确； 对于D：三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确． 故选：CD． 10. 已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 若圆上恰有三个点到的距离为，则 C. 若为等边三角形，则 D. 若，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；由圆到直线距离为求解判断B；利用圆的切线性质求解判断C；求出点的轨迹，再利用直线与圆有公共点求解判断D. 【详解】对于A，对任意实数，当时，恒有，因此直线恒过定点，A正确； 对于B，由圆上恰有三个点到的距离为，得，解得，B错误； 对于C，由为等边三角形，得，而，则，C正确； 对于D，由，得四边形是正方形，则， 点在以点为圆心，为半径的圆上，即直线与圆有公共点， 因此，解得或，D正确. 故选：ACD 11. 在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 球面经过，，，四点的球的半径最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C，利用等体积法，即可求解；对D，建立空间直角坐标系，设，球心，半径为，利用球的性质可得，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，易知， 又平面，平面，所以平面. 又是中点，所以，又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，点是棱的中点， 则，所以C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为， 则，设，球心，半径为， 由，得到，解得，， 所以，又，且，所以当时，取到最小值，最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，所以实数的最小值为. 故答案为： 13. 在的展开式中，的系数为___________ 【答案】 【解析】 【详解】由二项式定理得展开式的通项为，，， ， 所以的通项公式为， 即， 分别令，，解得，. 所以的系数为. 14. 用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______． 【答案】260 【解析】 【分析】根据题意，分用4种不同颜色、3种不同颜色、2种不同颜色，根据计数原理及排列、组合计算求解. 【详解】由题意可得要给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色， 且有邻边的区域颜色不能相同，最多可用4种不同颜色，最少可用2种不同颜色： 第一种情况，若用4种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 此时有种不同的涂色方法； 第二种情况，若用3种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 则或颜色相同，此时有种不同的涂色方法； 第三种情况，若用2种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 则，颜色相同，此时有种不同的涂色方法； 综上：不同的涂色方法种数为种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C所对的边，且． （1）求A； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，由正弦定理与两角和的正弦公式化简，可求得A的值； （2）由正弦定理和已知条件，有，再讨论的范围，可得的取值范围. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 由，代入化简得， 锐角中，，则有，即， 为锐角，所以，即. 【小问2详解】 ，，由正弦定理有， 则 ， 又，解可得，则 则有，故． 16. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：是等比数列，并求出的通项公式： （2）求数列的前项和； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） 已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 两边同乘​得 得，， 整理得. 【小问3详解】 由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 17. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 连接交于， ∵三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴， ∵. ∴四边形为正方形，∴， ，，，平面. 平面， ∵平面，∴. 又，，平面. 平面. 平面， . （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系. 由题意得：. 则. 设平面的法向量为. 则，令，则. . 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 存在，理由如下： 设()，则. . 若平面，则，解得， 存在点，使平面，此时. 18. 已知椭圆的两个顶点在直线上，直线经过椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，点（不在直线上） （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为，求的面积； （3）直线与交于点，设，，的斜率分别为，，.若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，进而求解； （2）由已知有直线与椭圆方程联立，求弦长，利用点到直线的距离公式求点到直线的距离，最后利用三角形的面积公式即可求解； （3）设直线与椭圆方程联立，由韦达定理得，由即可解得，进而求解. 【小问1详解】 直线与坐标轴的交点为， ，故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，直线的方程为， 由，即， ， ， 点到直线的距离， 故的面积是； 【小问3详解】 设，直线的方程为， 则. 由， 即， ， ，又， 由得，， 故直线. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，请问在什么范围内取值时，对于任意的，函数在上总存在极值？ （3）若存在，，使得，求的最大值． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）先求导并通分，按与分类讨论导数符号，直接确定单调区间． （2）代入化简并求导，将 “总存在极值” 转化为在内有变号零点，利用二次函数端点符号列不等式组求解范围。 （3）由得极值点必在内，结合转化为，分离参数并构造函数求最大值． 【小问1详解】 由题得，， 若，则，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 当时，，， 则． 因为对于任意的，在上总存在极值， 所以至少有一个实根在区间上． 又是图象开口向上的二次函数，且， 所以，解得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，若存在，使得， 则必有，即． 所以等价于， 即，化简得． 设，，则， 所以在上单调递减，所以， 此时，． 所以当，时等号成立，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $