第十六章 整式的乘法 题型精讲（二）课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了整式乘法单元的核心知识，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算性质，整式乘除法法则以及平方差公式、完全平方公式，通过学习目标引领和题型分类精讲，构建起从基础运算到公式应用的知识网络。 其亮点在于采用“题型精讲-变式训练-易错专练”的分层复习策略，如多项式乘多项式从直接展开到含参数恒等式探究，结合几何图形面积解释乘法公式，培养学生的抽象能力和模型意识。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准开展复习教学。

第十六章 整式的乘法 题型精讲课件（二） · 人教版八年级上册数学　2026-2027学年 封面：说清本课时是本章题型精讲，先讲清概念结论再逐题型练；不展示答案。 本章要学会的几件事 第 2 页 学习目标 1. 能说出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三条性质的关系式，会判断一个式子该用哪一条，会把三条性质混在一起的式子按“先乘方、后乘除”的顺序算出来，并会把它们反过来用，由aᵐ与aⁿ的值求aᵐ⁺ⁿ、a²ᵐ这类式子的值。 2. 能说出单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式这三条法则，会按法则把积展开并合并同类项；能说出同底数幂的除法法则与a⁰＝1（a≠0）的规定，会做单项式除以单项式、多项式除以单项式。 3. 能默写平方差公式与完全平方公式，会辨认题目中哪一部分当a、哪一部分当b，会用公式作简便计算与化简求值，会用完全平方公式由a+b与ab求a²+b²，会用添括号法则把三项式凑成公式的形式，并能用图形的面积解释两个公式。 关键词 • 同底数幂 • 幂的乘方 • 积的乘方 • 单项式 • 多项式 • 平方差公式 口令：目标齐读一遍，圈出关键词。重点：三条幂的运算性质的区分与混合运算；单项式乘多项式、多项式乘多项式的展开与合并；平方差公式与完全平方公式的结构辨认；整式的除法与a⁰＝1；用公式作简便计算与整体代入求值 题型6　多项式乘多项式 第 3 页 题目 把下列各式展开并合并同类项：(1) (2a-3)(a+5)；(2) (x-2y)(x+3y)；(3) (n-1)(n²+n+1)。 分析 (1)(2)是二项式乘二项式，展开后先得4项； (3)是二项式乘三项式，展开后先得6项。 每一项都带着它前面的符号参与相乘。 先让学生独立读题 1 分钟，说出关键条件；分析框逐条出示。　(1)(2)是二项式乘二项式，展开后先得4项； 题型6　多项式乘多项式　解答 第 4 页 规范解答 (1) 原式＝2a·a+2a·5+(-3)·a+(-3)·5＝2a²+10a-3a-15＝2a²+7a-15。 (2) 原式＝x·x+x·3y+(-2y)·x+(-2y)·3y＝x²+3xy-2xy-6y²＝x²+xy-6y²。 (3) 原式＝n³+n²+n-n²-n-1＝n³-1。 方法小结 按固定次序乘，不要凭印象跳项：先用第一项乘一遍，再用第二项乘一遍。 展开后先数项数，二项式乘二项式必有4项，二项式乘三项式必有6项，数目对不上就是漏乘了。 解答逐行出示，每一行问一句依据；方法小结请学生复述。 题型6　变式练习（1） 第 5 页 1. (2m+1)(m-3)的展开式是（　　）。 　　A．2m²-3 　　B．2m²-5m-3 　　C．2m²+5m-3 　　D．2m²-7m-3 2. 若(x+p)(x+4)＝x²+9x+q，则p＝____，q＝____。 3. 计算：(1) (a+2b)(a-3b)+(2a-b)(a+b)；(2) (x-2)(x²+2x+4)。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：先辨认展开式，再由结果反推两个待定的数，接着练两个积相加的合并，最后从三个算式里找出通用的规律。 题型6　变式练习（2） 第 6 页 4. 计算下面三个式子，观察结果的特点，再写出(x+p)(x+q)的展开式：(x+2)(x+5)，(x-3)(x+6)，(x+1)(x-7)。 5. 先化简，再求值：(2x+1)(x-3)-2x(x-1)，其中x＝-2。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：先辨认展开式，再由结果反推两个待定的数，接着练两个积相加的合并，最后从三个算式里找出通用的规律。 题型6　变式练习　参考答案 第 7 页 参考答案 1. B 2. 5；20 3. (1) 3a²-7b²；(2) x³-8 4. 三个结果依次是x²+7x+10，x²+3x-18，x²-6x-7；(x+p)(x+q)＝x²+(p+q)x+pq 5. 化简的结果是-3x-3，当x＝-2时它的值是3 逐题核对，错的先说错在哪一步；与例题对照方法。 题型7　平方差公式 第 8 页 题目 运用平方差公式计算：(1) (5x+3y)(5x-3y)；(2) (-2a+b)(-2a-b)；(3) 203×197。 分析 (1)中5x相同、3y只差符号，把5x当a、3y当b； (2)中-2a相同、b只差符号，把-2a当a、b当b； (3)把两个数都凑成200加减一个数的形式。 先让学生独立读题 1 分钟，说出关键条件；分析框逐条出示。　(1)中5x相同、3y只差符号，把5x当a、3y当b； 题型7　平方差公式　解答 第 9 页 规范解答 (1) 原式＝(5x)²-(3y)²＝25x²-9y²。 (2) 原式＝(-2a)²-b²＝4a²-b²。这里的-2a整体当a，它的平方是正的。 (3) 原式＝(200+3)(200-3)＝200²-3²＝40000-9＝39991。 方法小结 套公式前先圈出“完全相同的那一项”，它就是a； 剩下的那一项是b。 代入时a与b都要整体加括号再平方，负号才不会丢。 解答逐行出示，每一行问一句依据；方法小结请学生复述。 题型7　变式练习（1） 第 10 页 1. 在下面四个乘式里，能直接套平方差公式的是（　　）。 　　A．(a+2b)(a+2b) 　　B．(x-3)(3-x) 　　C．(2m+n)(2m-n) 　　D．(p+q)(-p-q) 2. 计算：(3+2x)(2x-3)＝____。 3. 计算：(1) (2a-b)(2a+b)(4a²+b²)；(2) (m+2n)(m-2n)-(m-3n)(m+n)。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：先挑出能直接用公式的那一个式子，再练把次序调顺后套公式，接着连用两次公式与简便计算，把公式反过来用一次，最后补一个因式把一串乘积凑成公式。 题型7　变式练习（2） 第 11 页 4. 把每个因数写成同一个数加上或减去另一个数，再用公式算出：(1) 60.5×59.5；(2) 1002×998。 5. 已知x²-y²＝12，x+y＝4，则x-y＝____。 6. 计算：(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)+1。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：先挑出能直接用公式的那一个式子，再练把次序调顺后套公式，接着连用两次公式与简便计算，把公式反过来用一次，最后补一个因式把一串乘积凑成公式。 题型7　变式练习　参考答案 第 12 页 参考答案 1. C 2. 4x²-9 3. (1) 16a⁴-b⁴；(2) 2mn-n² 4. (1) 3599.75；(2) 999996 5. 3 6. 结果是65536 逐题核对，错的先说错在哪一步；与例题对照方法。 题型8　完全平方公式 第 13 页 题目 运用完全平方公式计算：(1) (3x+2y)²；(2) (2a-5)²；(3) 198²。 分析 先确定谁是a、谁是b，再照“首平方、尾平方、首尾相乘2倍在中央”写出三项。 (3)把198写成200减2，套差的平方。 先让学生独立读题 1 分钟，说出关键条件；分析框逐条出示。　先确定谁是a、谁是b，再照“首平方、尾平方、首尾相乘2倍在中央”写出三项。 题型8　完全平方公式　解答 第 14 页 规范解答 (1) 把3x当a、2y当b，原式＝(3x)²+2·3x·2y+(2y)²＝9x²+12xy+4y²。 (2) 把2a当a、5当b，原式＝(2a)²-2·2a·5+5²＝4a²-20a+25。 (3) 原式＝(200-2)²＝200²-2×200×2+2²＝40000-800+4＝39204。 方法小结 展开后一定是三项，首尾两项分别是两个数的平方，前面都是加号，中间项的符号跟着原式中间的符号走。 带系数的部分整体加括号再平方，(3x)²是9x²而不是3x²。 解答逐行出示，每一行问一句依据；方法小结请学生复述。 题型8　变式练习（1） 第 15 页 1. 在下面四个等式里，两边确实相等的是（　　）。 　　A．(a+b)²＝a²+b² 　　B．(a-b)²＝a²-b² 　　C．(2x+1)²＝4x²+4x+1 　　D．(x-3)²＝x²-9 2. 计算：(-2m-3n)²＝____。 3. 计算：(1) (x+3y)²-(x-3y)²；(2) (2a-b)²+(2a+b)(2a-b)。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：先从四个算式里挑出唯一正确的，再练带两个负号的平方，接着把两个公式放在一起用，最后练整体代入与简便计算。 题型8　变式练习（2） 第 16 页 4. 已知a+b＝9，ab＝14，求a²+b²与(a-b)²的值。 5. 把下面两个数各写成一个整十数与1的和或差，再算出它们的平方：(1) 79²；(2) 41²。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：先从四个算式里挑出唯一正确的，再练带两个负号的平方，接着把两个公式放在一起用，最后练整体代入与简便计算。 题型8　变式练习　参考答案 第 17 页 参考答案 1. C 2. 4m²+12mn+9n² 3. (1) 12xy；(2) 8a²-4ab 4. a²+b²的值是53，(a-b)²的值是25 5. (1) 6241；(2) 1681 逐题核对，错的先说错在哪一步；与例题对照方法。 题型9　乘法公式的几何背景与实际应用 第 18 页 题目 如图，一个正方形的边长是a cm，把它的边长增加4 cm，得到一个新的正方形。(1)用整式表示新正方形的面积比原正方形的面积多多少；(2)取a＝6，增加的这部分面积是多少平方厘米？ 分析 新正方形的边长是a+4，面积是(a+4)²，用它减去原正方形的面积a²就是增加的部分。 从图上看，增加的部分正好是两个长是a、宽是4的长方形与一个边长是4的小正方形。 先让学生独立读题 1 分钟，说出关键条件；分析框逐条出示。　新正方形的边长是a+4，面积是(a+4)²，用它减去原正方形的面积a²就是增加的部分。 题型9　乘法公式的几何背景与实际应用　解答 第 19 页 规范解答 (1) 增加的面积＝(a+4)²-a²＝(a²+8a+16)-a²＝8a+16，即增加的面积是(8a+16) cm²。 (2) 当a＝6时，8×6+16＝48+16＝64，即增加的这部分面积是64 cm²。 对照图形也能得到同一个式子：两个长方形的面积各是4a，小正方形的面积是16，合起来是8a+16。 方法小结 面积问题有两条路：列式子展开，或者按图形分块相加。 两条路得到的式子必须相同，这本身就是一次很好的检验。 解答逐行出示，每一行问一句依据；方法小结请学生复述。 题型9　变式练习 第 20 页 1. 一个长方形的长是(2a+3) cm，宽是(2a-3) cm，它的面积是____cm²。 2. 观察下面两个算式：7×9＝63，比8²小1；11×13＝143，比12²小1。(1)设中间的那个数是n，把这个规律用含n的等式写出来；(2)用乘法公式验证这个等式。 3. 一块正方形花坛的边长减少3 m后，面积比原来减少了51 m²，求原来花坛的边长。 4. 一块菜地是长方形的，它的宽是x m，长比宽多6 m。把长与宽都增加2 m以后，面积比原来增加了多少？用含x的式子表示。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：四题分别把两个乘法公式用到长方形的面积、数的算式规律、正方形边长的反求与长宽同时增加的面积变化上。 题型9　变式练习　参考答案 第 21 页 参考答案 1. 4a²-9 2. (1)规律写成等式是(n-1)(n+1)＝n²-1；(2)验证见解析 3. 原来花坛的边长是10 m 4. 面积比原来增加了(4x+16) m² 逐题核对，错的先说错在哪一步；与例题对照方法。 题型10　整式的除法与a的0次幂 第 22 页 题目 按整式除法的法则计算：(1) m⁹÷m⁴；(2) (-12a⁴b³)÷(4a²b)；(3) (15x³-10x²+5x)÷(5x)；(4) (-3)⁰+(-2)³。 分析 (1)是同底数幂相除； (2)是单项式除以单项式； (3)是多项式除以单项式，三项都要除； (4)要用到a⁰＝1（a≠0）的规定。 先让学生独立读题 1 分钟，说出关键条件；分析框逐条出示。　(1)是同底数幂相除； 题型10　整式的除法与a的0次幂　解答 第 23 页 规范解答 (1) m⁹÷m⁴＝m⁹⁻⁴＝m⁵。 (2) 系数(-12)÷4＝-3，a⁴÷a²＝a²，b³÷b＝b²，所以原式＝-3a²b²。 (3) 原式＝15x³÷(5x)-10x²÷(5x)+5x÷(5x)＝3x²-2x+1。 (4) 因为-3不等于0，所以(-3)⁰＝1；又(-2)³＝-8，所以原式＝1-8＝-7。 方法小结 多项式除以单项式，被除式有几项，商就有几项，末尾那一项除得1不是0，最容易被漏写。 0次幂的底数只要不是0，结果一律是1，与底数是正是负无关。 解答逐行出示，每一行问一句依据；方法小结请学生复述。 题型10　变式练习（1） 第 24 页 1. (-2)⁰+3⁰的值是（　　）。 　　A．0 　　B．1 　　C．2 　　D．-2 2. 若(x-2)⁰＝1成立，则x应满足的条件是____。 3. 计算：(1) (a⁶)²÷(a³)³；(2) (6x³y²-9x²y³)÷(3x²y)。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：从0次幂的计算与底数的取值开始，再练先乘方后相除的混合运算，接着由商与除式反过来求被除的多项式，最后倒过来求作除式的那个单项式。 题型10　变式练习（2） 第 25 页 4. 一个多项式除以3a所得的商是2a²-a+4，求这个多项式。 5. 已知(6a³b²-9a²b³)÷M＝2a-3b，其中M是一个单项式，求M。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：从0次幂的计算与底数的取值开始，再练先乘方后相除的混合运算，接着由商与除式反过来求被除的多项式，最后倒过来求作除式的那个单项式。 题型10　变式练习　参考答案 第 26 页 参考答案 1. C 2. x≠2 3. (1) a³；(2) 2xy-3y² 4. 这个多项式是6a³-3a²+12a 5. M是3a²b² 逐题核对，错的先说错在哪一步；与例题对照方法。 题型11　含字母系数的恒等式与规律探究 第 27 页 题目 若多项式(x²+mx-3)(x-1)的展开式中不含x²的项，求m的值，并写出展开后的结果。 分析 先把积展开并按x的指数把同类项合并，再让x²那一项的系数等于0，就能定出m。 先让学生独立读题 1 分钟，说出关键条件；分析框逐条出示。　先把积展开并按x的指数把同类项合并，再让x²那一项的系数等于0，就能定出m。 题型11　含字母系数的恒等式与规律探究　解答 第 28 页 规范解答 原式＝x³-x²+mx²-mx-3x+3＝x³+(m-1)x²-(m+3)x+3。 不含x²的项，就是它的系数为0，所以m-1＝0，解得m＝1。 把m＝1代回去，展开后的结果是x³-4x+3。 方法小结 “不含某一项”翻译成数学语言就是“这一项的系数等于0”。 展开后一定要先按指数把同类项合并干净，再去读某一项的系数。 解答逐行出示，每一行问一句依据；方法小结请学生复述。 题型11　变式练习 第 29 页 1. 若(x+3)(x+n)的展开式中不含x的一次项，则n＝____。 2. 已知(2x-1)²＝ax²+bx+c对任意的x都成立。(1)求a，b，c的值；(2)不求出a，b，c，直接说出a+b+c的值，并说明理由。 3. 已知(x+a)(x+b)＝x²-6x+8，且a＞b，求a与b的值。 4. 观察下面一列等式：2¹+2¹＝2²；2²+2²＝2³；2³+2³＝2⁴。(1)按这个规律写出第n个等式，并说明它为什么成立；(2)利用这个规律计算2⁹+2⁹+2¹⁰的值。 限时 6 分钟独立完成，做完同桌互换；答案在下一页。　本组要点：四道题都围绕“两边相等”做文章：或由缺项定字母，或由恒等式定出各项的系数，或由结果反求原来的两个数，最后从一列同形的等式里找出规律再用它算数。 题型11　变式练习　参考答案 第 30 页 参考答案 1. -3 2. (1)a的值是4，b的值是-4，c的值是1；(2)a+b+c的值是1 3. a的值是-2，b的值是-4 4. (1)第n个等式是2ⁿ+2ⁿ＝2ⁿ⁺¹，理由见解析；(2)2⁹+2⁹+2¹⁰的值是2048 逐题核对，错的先说错在哪一步；与例题对照方法。 易错专练（1） 第 31 页 这些题每年都有人错，先判断再动笔 1. 计算：(x+5)²。 2. 计算：(-a²)³与(-a³)²。 3. 计算：a⁴·a³与(a⁴)³。 4. 计算：-2a(3a²-a+4)。 每题先让学生说“容易错在哪”，再做；答案在下一页。 易错专练（2） 第 32 页 这些题每年都有人错，先判断再动笔 5. 计算：(3xy²)³。 6. 计算：(20x³-15x²+5x)÷(5x)。 7. 计算：(m+2)(m-2)。 8. 计算：(-7)⁰-2⁰×3。 每题先让学生说“容易错在哪”，再做；答案在下一页。 易错专练　参考答案 第 33 页 参考答案 1. x²+10x+25 2. (-a²)³＝-a⁶；(-a³)²＝a⁶ 3. a⁴·a³＝a⁷；(a⁴)³＝a¹² 4. -6a³+2a²-8a 5. 27x³y⁶ 6. 4x²-3x+1 7. m²-4 8. -2 错题当堂订正，写出错因一句话。 本章小结 第 34 页 这节课我们学会了 1. 同底数幂乘法：底数不变、指数相加、三个以上同样适用 2. 幂的乘方：底数不变、指数相乘、与指数相加区分 3. 积的乘方：每个因式分别乘方、系数连负号一起乘方、再把幂相乘 4. 整式乘法三法则：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式 5. 整式的除法：同底数幂相除指数相减、a的0次幂等于1、多项式逐项除 6. 平方差公式：和与差的积、等于平方差、认清谁是a谁是b 记住 关系式：aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ（m，n都是正整数）　幂的乘方：(aᵐ)ⁿ＝aᵐⁿ（m，n都是正整数）　单×单三件事：系数相乘、同底数幂相乘、独有的字母连同指数照抄 口令：小结由学生接龙说，每人一条；最后齐读“记住”框。 课后作业 第 35 页 作业 1. 计算：(-2x³)²·x⁴＝____。 2. 已知5ᵃ＝2，5ᵇ＝3，则5ᵃ⁺ᵇ＝____。 3. 计算：(6a³b²-9a²b)÷(3a²b)＝____。 4. 计算：(3a²b)²÷(9a³b)＝____。 口令：作业明天上课前交；第 1 题必须写出依据。参考答案见下一页，课上不展示。 课后作业　参考答案 第 36 页 参考答案 1. 4x¹⁰ 2. 6 3. 2ab-3 4. ab 订正时先让学生对答案，再讲最容易错的一题。 谢谢观看 下课前一句话回扣本课结论，布置作业。 $