03-第32讲 等差数列课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“等差数列”专题，依据新课标要求梳理了概念、通项公式、前n项和公式、性质及与函数关系等核心考点，通过分析高考真题明确基本量运算、性质应用等高频考点权重，归纳出判定证明、最值问题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识体系构建+真题变式训练+素养提升”，如例1用方程组法突破基本量运算，例2通过定义法培养数学思维，结合函数关系渗透模型观念。特设易错辨析和方法总结，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统复习，提升学生应试能力。

第32讲 等差数列 1 【课标要求】 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前 项和公式,理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元一次函数的关系. 2 1.等差数列中的有关公式 已知等差数列的首项为,公差为,前项和为 ,则 等差数列定义式 ______________为常数 等差中项 _ ___是与的等差中项 通项公式 __________________或_____________________ _______________ 前 项和公式 _ _______ ______________ ◆ 知识聚焦 ◆ 3 2.等差数列的性质 已知是等差数列,是的前 项和. （1）若,则有 _____ ___ _____. 拓展：若 ，则 . （2）数列,,, 成______数列. 等差 4 3.等差数列与函数的关系 （1）等差数列的通项公式可写成____________,当 时, 它是关于的__________,它的图象是直线 上横坐标 为正整数的一群______的点. 注：当时,是______数列;当时, 是______数列;当 时, 是____数列. 一次函数 孤立 递增 递减 常 5 （2）前项和公式可变形为________________,当 时,它是 关于 的常数项为0的__________,它的图象是抛物线 上横坐标为正整数的一群______的点. 注：若,,则存在最____值;若,,则 存在最 ____值. 二次函数 孤立 大 小 6 常用结论 等差数列的性质 1.已知,是公差分别为,的等差数列,是的前 项和, 则有以下结论： （1）是等差数列,公差为 . （2）,都是常数是等差数列,且公差为 . （3）,,,是公差为 的等差数列. （4）是等差数列,其首项与的首项相同,公差是 . （5）数列,,都是常数 都是等差数列,且公差分别为, . 7 2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质： （1）若项数为,则, . （2）若项数为,则, , , . 3.两个等差数列,的前项和分别为, ,则它们之间的关系 为(可由 推导). 8 4.数列是等差数列，公差为 数列 的通项公式是 （其中为常数）；数列是等差数列， ， 公差的前项和,为常数 . 9 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则 这个数列是等差数列.( ) × [解析] 一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差必须是同一个 常数才是等差数列. ◆ 课前演练 ◆ 10 （2）数列为等差数列的充要条件是对任意 ，都有 .( ) √ [解析] 若，则 ，可知 是等差数列，充分性成立； 若是等差数列，则是 与的等差中项， 得 ，必要性成立. 11 （3）等差数列中，必有 .( ) × [解析] 当数列是常数列且时， 是等差数列，但 . （4）等差数列的前 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) × [解析] 当等差数列是常数列时，例如，前项和 ， 不是二次函数. 12 题组二 教材改编 1.等差数列，，， 的第100项是( ) A. B. C. D. [解析] 由， ，得这个数列的通项公式 为 ， 所以 . √ 13 2.在等差数列中，，则 ( ) A.7 B.14 C.21 D.28 [解析] 在等差数列中， ，由等差中项的性质可得 .故选B. √ 14 3.已知等差数列的前项和为，且，，则 ( ) A. B.2 C.4 D.6 [解析] 设的公差为，则 ， ，可得, ， 则 .故选B. √ 15 4.已知等差数列的前项和为，若，，则 ( ) A.34 B.42 C.46 D.58 [解析] 据题意知，, 也成等差数列，则 ，得 . √ 16 5.在等差数列中,若，且，则 ____. 10 [解析] 方法一（运用性质） 由题易知 ,则 ， . 因为，所以 ，所以 . 17 方法二（运用通项公式及求和公式） 设数列的公差为，因为，所以 . 因为，所以 ，即 ，即 ， 所以，解得 . 18 探究点一 等差数列的基本量运算 例1（1）已知等差数列的前项和为，若 ， ，则 的值为( ) A.11 B.13 C.15 D.17 [解析] 设的公差为，因为， ，所以 解得 故 ,故选B. √ 19 （2）[2026·山东潍坊期末]记为等差数列的前 项和．已知 ，，则 的公差等于( ) A. B. C.2 D.4 [解析] 设等差数列的公差为，则 解得 故选D. √ 20 总结反思 等差数列的基本量运算一般是指关于和以及的通项公式和前 项和公式的应用,即通过解方程组的形式求解出基本量,, ,进而解 决问题. 21 【对点演练1】（1）已知为等差数列的前 项和，若 ，，则 ( ) A.56 B.60 C.64 D.68 [解析] 设等差数列的公差为，由， ，得 解得 则 .故选B. √ 22 （2）已知等差数列的前项和为，若, ， 则 的公差为( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 设等差数列的公差为，因为, ，所 以 即解得 故选A. √ 23 探究点二 等差数列的判定与证明 例2 [2026·河南开封期末] 已知满足 ，且 ． （1）求， ； 解：因为 ，所以 . 又，所以 ， . 24 （2）证明：数列是等差数列，并求 的通项公式． 解：因为，所以 ， 所以是首项为，公差为3的等差数列，所以 ， 所以 . 25 总结反思 判断和证明等差数列常用的方法有定义法、等差中项法以及函数法. （1）定义法:若数列满足,为常数 ,则该数 列为等差数列. （2）等差中项法:若数列满足 ,则该 数列为等差数列. （3）函数法:若数列满足或前 项和 ,则该数列为等差数列. 在求解解答题时常常应用定义法进行证明和判断. 26 【对点演练2】 已知数列的各项均为正数，记为的前 项 和，且数列{}是等差数列，．求证 是等差数列，并 求出数列 的通项公式． 解：设，则 . 当时， ；当 时， . 因为，所以，解得或 . 27 当时，， ， 当时，满足等差数列的定义，此时 为等差 数列； 当时，， 不合题意， 舍去. 综上可知为等差数列，其通项公为 . 28 探究点三 等差数列及其前 项和的性质 题型1 等差数列项的性质 例3（1）设等差数列的前项和为，若 为定值， 则( ) A.为定值 B.为定值 C.为定值 D. 为定值 √ 29 [解析] 方法一：由，得，所以 为定值，所以 为定值. 方法二：设等差数列的公差为 ，则 . 又为定值，所以 为定值， 所以 为定值.故选B. 30 （2）[2026·山东滨州期末]已知两个等差数列， 的首项分别 为1和2，且，则数列 的前20项的和为( ) A.165 B.630 C.60 D.330 √ 31 [解析] 设等差数列,的公差分别为, ， 由，,，得 ，解得 ， 所以 ， 所以 的前20项和 . 故选B. 32 题型2 等差数列前 项和的性质 例4（1）已知等差数列的前项和为，且, ，则 ( ) A.52 B.96 C.106 D.120 √ 33 [解析] 方法一：由题得 ， 所以，则 . 方法二：由题知,, 构成等差数列，所以 ， 所以 ,故选B. 34 （2）[2026·湖北黄冈模拟]设等差数列的前项和为 ，若 ,,，则 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 √ 35 [解析] 方法一：由题意得 ， ，则等差数列 的公差 ，则 . 又，所以 . 方法二：由等差数列的性质得为等差数列，则 ， 得，解得 .故选C. 36 题型3 等差数列中最值问题 例5（1）已知等差数列的前项和为，且 ， 则( ) A.不可能为0 B. 没有最小值 C.有最大值 D. 有最小值 √ 37 [解析] 因为，所以等差数列的公差 ，所以数 列是递增数列，又，所以 有最小值，故B错误，D正确； 当，时，随的增大而增大，故 无最大值，故C错 误; 当，时， ，所 以 可能为0，故A错误.故选D. 38 （2）[2026·河北衡水模拟]记为等差数列的前 项和，若 ，，则 的最大值为( ) A.16 B.18 C.23 D.25 [解析] 设公差为，则， ，解得 ,，所以 . 当时，，当时，，所以当时， 取得最大值，最大值为 .故选D. √ 39 总结反思 1.等差数列项的性质，主要用于解决下标之和相等的几项间的关系. 2.等差数列前 项和的性质，常用于解决连续等长的若干段之和成等 差数列、前 项和与中项的关系、奇数项和与偶数项和之间的关系等. 40 【对点演练3】（1）[2026·吉林四平期末]在等差数列 中，若 ，则 ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 [解析] 方法一：设等差数列的公差为，则，故 . 方法二：因为 ，所以 ，所以 .故选B. √ 41 （2）已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290， 所有偶数项的和为261，则数列 的项数为( ) A.15 B.17 C.19 D.21 [解析] 设等差数列的项数为，所有奇数项的和为 ，所有偶数 项的和为，则 ，. 由，解得 ， 则数列的项数为 .故选C. √ 42 （3）（多选题）[2026·福建福州期中]已知是等差数列的前 项和，，且 ，则( ) A.公差 B. C. D.当时， 最大 √ √ 43 [解析] 设等差数列的公差为，由 得 . 因为 ，所以，,， ， 所以A，D错误，B正确. 因为 ，故C正确.故选 . 44 $