03-第8讲 函数的奇偶性、周期性、对称性课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数的奇偶性、周期性、对称性三大核心考点，依据课标要求结合具体函数与三角函数梳理概念及几何意义。通过知识聚焦构建定义、图象、常用结论体系，分析高考中奇偶性判断、周期计算、对称应用等高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题融入与应试技巧指导，如2023新课标Ⅱ卷奇偶性求参数题、2025全国一卷周期函数求值题，培养学生用数学思维推理周期转化、用数学眼光观察对称图象的素养。总结“定义法判断奇偶性”“结论法求周期”等突破方法，助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展复习教学。

第8讲 函数的奇偶性、周期性、 对称性 1 【课标要求】 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义. 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数的定义域为,如果 ,都有 ________ _____________,那么函数 就叫作偶函数 _______________,那么函数 就叫作奇函数 图象 特征 关于_____对称 关于______对称 轴 原点 课 前 基 础 巩 固 3 2.函数的周期性 （1）周期函数 一般地,设函数的定义域为，如果存在一个非零常数 ,使得对 每一个都有，且________________,那么函数 就 叫作周期函数,非零常数 叫作这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数 的所有周期中存在一个____________,那么这个 __________就叫作 的最小正周期. 最小的正数 最小正数 课 前 基 础 巩 固 4 常用结论 1.奇（偶）函数定义的等价形式: （1） 为偶函数; （2） 为奇函数. 2.在相同的关于原点对称的定义域内，两个奇函数之和为奇函数,之 积为偶函数；两个偶函数之和与之积都为偶函数；奇函数与偶函数 之积为奇函数;奇函数取绝对值后为偶函数，偶函数取绝对值后仍为 偶函数. 课 前 基 础 巩 固 5 3.设的周期为,对的定义域内任一自变量 ,有如下结论: （1）若,则 ; （2）若,则 ; （3）若,则 . 课 前 基 础 巩 固 6 4.对称性与周期性之间的常用结论: （1）若函数的图象关于直线和对称,则函数 的周 期 ; （2）若函数的图象关于点和点对称,则函数 的周 期 ; （3）若函数的图象关于直线和点对称,则函数 的 周期 . 课 前 基 础 巩 固 7 5.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论: （1）若函数满足关系,则函数 的图象关 于直线 对称; （2）若函数满足关系,则函数 的图象关 于直线 对称; （3）若函数满足关系,则函数 的图象 关于点 对称; （4）若函数满足关系,则函数 的图 象关于点 对称. 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 课前演练 ◆ 题组一 易错辨析 判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”） （1）奇函数的图象一定过原点.( ) × [解析] 若函数在 处没有定义，则图象不经过原点，如函数 ，故错误. 课 前 基 础 巩 固 9 （2）若存在使，则 是偶函数.( ) × [解析] 对于，存在使 ， 但 的定义域不关于原点对称，所以它不是偶函数，故错误. （3）若是函数的一个周期，则也是函数 的周期.( ) √ [解析] 因为是函数 的一个周期，所以 ，所以也是函数 的周期，故正确. 课 前 基 础 巩 固 10 （4）若函数的图象与的图象关于轴对称，则函数 , 都是偶函数.( ) × [解析] 取, ，作出 ，的图象，如图所示， 由图可知 的图象与的图象关于轴对称， 但, 均是非奇非偶函数，故错误. （5）若是奇函数，则 .( ) × [解析] 若是奇函数，则 ，故错误. 课 前 基 础 巩 固 11 题组二 教材改编 1.下列函数是奇函数，且在 上单调递增的是( ) A. B. C. D. [解析] 的定义域为，故A错误； 是奇函数，且在上单调递增，故B正确； 不是奇函数，故C错误； 不是奇函数，故D错误.故选B. √ 课 前 基 础 巩 固 12 2.已知是定义域为的奇函数,当时, ,则 ( ) A.0 B. C. D.2 [解析] 由题可知，因为是定义域为 的奇函数， 所以 .故选C. 3.已知函数是定义在上的偶函数，则实数 ___. 3 [解析] 由题可得，解得 . √ 课 前 基 础 巩 固 13 4.设奇函数的定义域为，若当 时，的图象如图所示，则不等式 的解 集为______________. [解析] 由题图可知，当时，，当 时， ， 因为是奇函数，所以当时， ，当 时，. 综上，的解集为 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 函数的奇偶性 题型1 函数奇偶性的判断 例1（1）[2026·河南许昌三模]下列函数中，值域为 且为奇函数的是 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，令，定义域为，而 ， 该函数不是奇函数，故A错误. 对于B,令 ,定义域为, , 该函数是偶函数,不是奇函数,故B错误. √ 课 堂 考 点 探 究 15 对于C，令 ，定义域为， ， 该函数是奇函数，但的值域 为，不是 ，故C错误. 对于D，令，定义域为 ， ， 该函数是奇函数， 又当趋于正无穷时，趋于正无穷，当 从右侧趋于0时， 趋于负无穷，的值域为 ，故D正确.故选D. 课 堂 考 点 探 究 （2）[2025·江苏常州调研]函数 的图象大致是( ) A. B. C. D. [解析] 令，则的定义域为 ， ，所以 为偶函数，其图象关 于轴对称，排除选项D； 又 ，所以排除选项A，B.故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 17 题型2 函数奇偶性的应用 例2（1）已知函数是定义在上的偶函数，当 时， ，则当时， ( ) A. B. C. D. [解析] 当时，，因为函数是定义在 上的偶函数， 所以当时， .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 18 （2）[2025·河南周口期末]已知是奇函数，则 ( ) A.1 B. C. D. [解析] 函数的定义域为， 由 为奇函数，得，即 ， 则 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 19 总结反思 1.判断函数的奇偶性可以通过定义、图象判断，也可以通过常用结论 判断. 2.求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求 解. 3.求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利 用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 的方程（组），从 而得到 的解析式.#1.3 课 堂 考 点 探 究 20 4.求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用 为奇函数，为偶函数 ，列式 求解，也可利用特殊值法求解.对于在处有定义的奇函数 ， 可考虑列等式 求解.#1.4 课 堂 考 点 探 究 21 【对点演练1】（1）已知是定义在上的奇函数，当 时， ，则 ( ) A. B.7 C. D.5 [解析] 因为当时，，所以 ， 因为是定义在上的奇函数，所以 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 22 （2）[2023· 新课标Ⅱ卷]若为偶函数，则 ( ) A. B.0 C. D.1 √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 方法一：由题可知函数的定义域为 . 令，则，所以 为奇函数. 令，由为偶函数， 为奇函数，可得 为奇函数，所以 ，故选B. 方法二：由题知函数为偶函数，则 ， 故，解得 ，故选B. 课 堂 考 点 探 究 24 （3）[2026·浙江舟山期末]若， 函数 为上的奇函数，则是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 若函数为 上的奇函数， 则，解得或. 当 时，， 因为， ， 所以，即函数不是奇函数； 当 时，，该函数的定义域为 ， ，即函数 为奇函数. 故当函数为上的奇函数时，， 因此 是 的充要条件.故选D. 课 堂 考 点 探 究 26 探究点二 函数的周期性 例3（1）[2025·河北沧州联考]已知定义在上的函数 满足 ，且，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 由题可得 ， 则 的一个周期为4， 所以 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 27 （2）已知函数的定义域为，且，当 时，，则 的值为__. [解析] 因为 ，所以 ， 又 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 28 总结反思 将已知条件转化为 ，再利用周期函数的定义确定周期. 课 堂 考 点 探 究 29 【对点演练2】 [2025·黑龙江大庆质检] 已知定义域为的函数 满足，且 ，则 ___. 2 [解析] 对于，令代替 ，可得 ， 则 ， 可得 . 因为，所以令 ，可得 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 30 探究点三 函数的对称性 例4（1）[2026·江苏淮安期末]下列函数中，其图象与函数 的 图象关于坐标原点对称的是( ) A. B. C. D. [解析] 设函数 的图象关于坐标原点对称的图象所对应的函数 为，设函数图象上任一点，则点 关 于原点对称的点为， 将的坐标代入得 ，即， 所以所求函数为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 31 （2）[2025·河南郑州质检]已知函数是定义在 上的奇函数，函 数的图象关于直线对称，若 ， 则 ( ) A. B. C.0 D.1 [解析] 因为 ， 所以， 因为是奇函数，所以 ， 所以. 因为函数 的图象关于直线对称， 所以 ，即 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 32 总结反思 注意一个函数图象自身的对称性和两个函数图象之间的对称性的区 别,同时也要注意不要混淆对称性和周期性的常用结论：函数 的 图象关于直线对称，则有；函数 的图 象关于中心对称，则有；函数 的周 期为，则有 . 课 堂 考 点 探 究 33 【对点演练3】（1）设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 ，所以函数 的图象 关于直线对称. 当时， 单调递增，所以函数在上 单调递减，在 上单调递增. 因为，所以， 解得 ，即所求的取值范围是 ，故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 34 （2）[2026·浙江温州模拟]已知是定义在 上的偶函数，且 ，则 ( ) A.1 B.2 C.0 D.4 √ 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 由可知函数的图象关于点 对 称，将代入可得. 因为函数 是定义在上的偶函数，所以 ， 所以， 分别令，2，0，得 三式相加得， 又函数 的图象关于点对称，且 ， 所以，所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 36 探究点四 函数性质的综合应用 例5（1）若是定义在上的奇函数，当时， ， 则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 因为是定义在 上的奇函数，所以 ， 结合题意作出 的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为 . 故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 37 （2）[2025· 全国一卷]已知为定义在 上且周期为2的偶函数， 当时，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题知, ，所以 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 38 （3）已知函数是定义在上的偶函数，函数 的图象关于点中心对称，若，则 ( ) A. B. C.3 D.5 [解析] 由函数的图象关于点 中心对称可知， ， 即 ， 可得，则 . 由，可得， 又为 上的偶函数，所以 故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 39 总结反思 1.奇偶性与单调性的综合应用：在关于原点对称的区间上,奇函数的 单调性相同,偶函数的单调性相反,故讨论奇函数（或偶函数）的单调 性时,可只讨论当 时函数的单调性,则可推及整个定义域内函数 的单调性. 2.奇偶性与周期性的综合应用：在结合函数的奇偶性与周期性计算函 数周期时,要特别注意一些常见式子的等价变换,如:由 ,可得 . 3.奇偶性与对称性的综合应用：若为奇函数,则 的图象关 于点对称;若为偶函数,则的图象关于直线 对称.#1.3 课 堂 考 点 探 究 40 【对点演练4】（1）定义在上的偶函数满足 ， 且当时，，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 由，得是周期为4的周期函数. 因为是定义在上的偶函数，所以 ， 所以 . 因为，所以 , 所以，所以 . 故选A. 课 堂 考 点 探 究 （2）[2025·江苏淮安期末]已知函数的定义域为, 为偶 函数，是奇函数，且 ，则 ( ) A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 因为为奇函数，所以，且函数 的图 象关于点中心对称，即. 因为 为偶函数，所以， 则 ， 所以， ， 所以，故的一个周期为4. 因为 ,，所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 44 （3）已知定义在上的函数满足 ，且 为奇函数，则 ( ) A.4 B. C.2 D. [解析] 因为，所以4为函数 的一个周期. 因为 为奇函数， 所以 ， 所以， 令，可得 ， 所以 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 45 $