贵州遵义航天高级中学2026-2027学年高三上学期诊断性测试（一）数学试题

**基本信息** 高三数学秋季诊断性测试，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查统计、立体几何、导数等知识，体现数学眼光、思维与语言的核心素养，适配高三月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|中位数、复数象限、集合运算、向量夹角等|基础巩固，覆盖高频考点| |多项选择|3/18|百分位数、正态分布、三角函数图象|能力区分，考查综合判断| |填空|3/15|奇函数性质、二项式定理、比赛概率模型|情境应用，体现数据观念| |解答题|5/77|独立性检验、立体几何证明与体积、解三角形最值、椭圆综合、导数单调性与极值|梯度提升，融合逻辑推理与数学应用，贴合高考命题趋势|

( ………………………○……○……○……○……○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… 学校： 班级： 姓名： 准考证号 ： ) ( ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ……………………… 装 ………………………………………………… 订 ………………………………………………… 线 ……………………………… 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 。 ) 保密★启用前 2026—2027学年（上）高三秋季诊断性测试（一） 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．样本数据2，3，6，4，7的中位数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．已知圆锥甲的底面半径为，母线长为，圆台乙的上、下底面的半径分别为和，母线长，则圆锥甲与圆台乙的体积之比（   ） A． B． C． D． 6．已知当时，函数取到最大值，且是等差数列的第5项，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 8．在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中，正确的是（    ） A．一组数据：的第70百分位数是7.5 B．若随机变量，则 C．若随机变量，且，则 D．若三个随机事件两两独立，则 10．已知函数的部分图象如图，则（    ） A．的最小值为 B．的最小正周期为π C．是奇函数 D． 11．在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（   ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则=_____． 13．设，则______. 14．甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某种疾病患者通常选择药物，两种中的一种服用治疗．为了了解治疗效果，分别从服用这两种药物的病人中各随机抽出100人，对用药一段时间后的治疗效果良好与一般的结果统计如下表： 良好 一般 合计 服用 85 服用 20 合计 (1) 完成上面的列联表，根据小概率值的独立性检验，是否能认为治疗效果良好与服用，药物有关联？ (2) 在抽出的200名疾病患者中，随机选出1人，选到治疗效果良好的为事件，选到服用药物的为事件，求，，． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（15分）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1) 证明：平面； (2) 若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）已知的内角满足，且的面积大小为4. (1) 求边长的最大值； (2) 当边长取到最大值时，求的周长. 18．（17分）已知椭圆：的左焦点为，离心率为． (1) 求椭圆的方程． (2) 如图，已知点，（其中，），满足以线段为直径的圆过点，且交椭圆的第一象限于点． ①若，求点的纵坐标； ②若线段交轴于点，求的值． 19．（17分）已知函数． (1) 求不等式的解集； (2) 讨论的单调性； (3) 已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点． 数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页） 数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026一2027学年（上)高三秋季诊断性测试（一)数学评析答案 1.B 将样本数据按照从小到大的顺序排列为2,3,4,6,7， 该组数据的样本容量为5（奇数）， 所以中位数为排序后第？=3个数据，即为4 2.D 利用复数的几何意义写出复数z对应的点的坐标即得。 因为复平面内，复数1-2i对应的点为(1，-2)， 所以表示复数z的点在第四象限， 3.C 分别算出集合A和B,再结合集合的运算即可求解 已知集合A={x|y=x},得A=(0,+o), B={y川y=2x2+,所以B=[1,+∞)，因此AB=[1,+∞)，故C正确 4.C 先根据向量万的坐标可以求出，再结合数量积计算公式即可求出cos(ā，b),从而得出向量ā，五的夹角. 由题意b=Vsin2au+cos2a=1, a.(a+B)=2+a.b4a+a Bcos(ad=3, 则cos<a,b>=-1 向量a,b的夹角为120°， 故选：C 5.C 设甲圆锥的高为h,乙圆台的高为h，,利用勾股定理求出h,2,再由圆锥和圆台的体积公式计算即可得 解。 设圆锥甲的高为h,圆台乙的高为飞， 则h=V3r-r2=2万，h=V(2)-(2r-r}=5, 所以甲体双-却35-3追， 圆合台Z的体积吃写2+4+2r)x5r_ 1 3 2W2 所以甲、乙的体积之比为行 73 =3 2√6 21 6.A - 1 由题可得sinx-2c0sx=V5,结合同角三角之间的关系得出cosx,= 5,sn=5 再利用等差数列的 性质以及两角和差的正切公式即可计算， 答案第1页（共10页） 由辅助角公式可知f(x)的最大值为V5,故six-2cosx=V5, 因sin2,+cos2=1,则(2cosx+5+cos2=1, 5c0s5+4W5c0s5+4=0,得cos,= 则=2a5=235 则ta,=一 1 因是等差数列{a}的第5项，则a+4=2a=2x, 则tam(a+4)=tan(2)广1-tm元3 2tanxo4 故选：A 7.D 根据函数的奇偶性定义、判定方法可判断A,B两项；利用函数的对称性判定方法可判断C,D两项。 对于A,因f(2-x)=(2-x)3-3(2-x)2+2(2-x) =(2-x)x2-)=-x+3.x2-2x=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,故函数f(x)关于点1,0)成中心对称， 故函数y=∫(x+)的图象关于原点成中心对称，即y=∫(x+)是奇函数，故A说法正确： 对于B,因y=才()=x3-3xP+2的定义域为R,关于原点对称， 且f(-x)=←x3-3-xP+2=x3-3xP+2x=f(x,即y=f是偶函数，故B说法正确： 对于C,设g(x)=f(x,由8(2-x)=f(2-x=上x3+3x2-2xx3-3x2+2x日f(x)=g(x), 即g(2-)=g(x),故函数y=f(x)的图象关于x=1对称，故C说法正确； 对于D,设g(w)=f(x)+1,由g(2-x)=f(2-x)+1=x3+3x2-2x+1x-3x2+2x-1曰fx)-1, 显然g(2-x)=g()不成立，故y=f(x)+1的图象不关于x=1对称，即D说法错误. 故选：D 8.B 根据题意，得到直线方程，从而得到点A,B坐标，再结合AB=2求出P,最后由抛物线准线方程的公式 即可求解 y=- 答案第2页（共10页） 如图所示，揽物线C:-2p哪(p>0),焦点F的坐标为Q号) 准线方程为y=-P 2 过点F且领斜角为5正的直线1，其斜率为及=am江-5，因此直线方程为y- 6 5x+号 3 3 2 由于直线1与轴的交点为8，令=0，得x=p,所以点的坐标为 2,0, 将直线方程代入抛物线方程中，得x2=2p 整理得xr+2 3r-p2=0, 解得x=3。 p或x=-√3p, 3 由于交点1在第一象限所以-5，代入直线方程，得， 1 3 所以点A的坐标为 3 p,p 又因为AB=2,所以 01)2 06P=2,解得D=6, 所以抛物线C的准线方程为y= 6 =-3 2 9.BC 对A,根据百分位数的定义判断即可；对B,根据二项分布的方差公式求解即可；对C,根据正态分布的 对称性求解即可；对D,举例进行验证即可. 对于A:数据共7个，则7×70%=4.9，所以第70百分位数为第5项数据8，故A错误. 对于B:若随机变量X~B4星》 则()4-引子B正商 对于C:若随机变量X~N(2,o2),则对称轴为x=2, 由PX<专得PK>)专 则Psxs到)-1子背得P2sXs)号名c正确： 对于D:设样本空间2={a,b,c,d含有4个等可能的样本点，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}, 则P(A=P)=PC)=3P=P4aC9=Psc9)-=日 所以P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C两两独立， 但是P(AC)4风4月9令所以A,B,C两两维独立时，P(ABC)=P④P(BP(C)不-定 4 成立，故D错误。 故选：BC 10.ABC 根据函数了y相邻对称轴与对称中心的距离为周期的}，求出周期T=元，再由7=向，求出@=2，根 2兀 答案第3页（共10页） 据0=1，求出p=名从面得到)2m2x君引然后爆项刻断印可 由-1≤sin(ax+p)≤1可知，-2≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值为-2，所以A正确： 由图可知（的最小正周期为召到，所以B正确。 又T,所以。=2，又ow>0,所以ω=2，所以fe)=2sn(2x+ 因为/o=1,所以m9=分因为<子所以p=君 所以=2n2君引寸-哥引=2m+周2n2x,为函数所以c正确： 6 所以D错误 41 4 2 故选：ABC 11.ABD 利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求 解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合 侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长， 以C为原点，分别以CA,CB,CC为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标：C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),B(0,2,2),C1(0,0,2),P是A4的中点，故 P(2,0,1) 对于选项A,向量AB=(-2,2,2),BC1=(0,-2,2),故AB·BC1=（2)×0+2×(←2)+2×2=0. 因此AB⊥BC,即AB,⊥BC,A正确， 对于选项B,CA=(2,0,0),CB=(0,2,2), iiCA=2x=0 设平面ACB的一个法向量i=(x,y,),则 i.CB,=2y+2z=0 x=0 解得 2=-y令y=1,则元=0,1，-1) 因为C=(2,01,所以点P到平面6C8的距离为d-GP列_0x2+1x0+()x1巨 丨 V02+12+(-1)2 一2，B正确 对于选项C,向量PB,=(-2,2,1),设直线PB与平面ACB所成角为日， 则sine= PB,·i0×(-2)+1×2+(-1)×1√2 PB 3x√2 6 ,C错误 答案第4页（共10页） 对于选项D,侧面BCCB,内的点2满足x=0.设2(0，y,=),由PQ=√6得： √(2-0)2+(y-0)2+(z-1)2=√6，化简得y2+(-1)2=2 该圆半径为√2，在矩形BCCB(y∈[0,2]，z∈[0,2])内的部分是圆心角为云的圆弧， 所以轨迹长度为2×V5=,D正确 2 12.2 因为f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=1+lgx, 所以f(-1)f(-10)=[-f(0)][-f(10)]=f(1)(10)=(1+0)1+lg10)=2. 13.3 由二项式定理得x3+10x4+40x3+80x2+80x=(x+2)-32,代入x=35-2求值即可. 由二项式定理可得，(x+2)=Cx3+Cx4.2+Cx3.22+Cx2.2+Cx24+C2 =x3+10x4+40x3+80x2+80x+32, 则有x3+10x4+40x3+80x2+80x=(x+2)-32, 当x=35-2时，x+10x4+40x3+80x2+80x=+2)-32=(85-2+2)32=35-32=3. 故答案为：3 14.1-0 10 根据二项分布可求f(p),再根据导数可求何时概率取最大值. 甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的情况有：甲胜3局乙胜1局；甲胜3局乙胜2局， 故f(p)=Cp2(1-p)p+Cp(1-p)}p=6p-15p4+9p, 故f(p)=30p4-60p3+27p2=3p2(10p2-20p+9), 当0<p<1- 0时，fp)>0:当1- <p<1时，f'(p)<0, 10 10 故f(p)在0,1- 10 10 上单调递增，在1-10 单调递减， 10 故p=1- 0时，f(p)取最大值 10 15.(1) 良好 一般 合计 服用A 85 15 100 服用B 80 20 100 合计 165 35 200 不能认为治疗效果良好与服用A,B药物有关联 答案第5页（共10页） a=器Pm=克PaN)=8 (1)根据独立性检验的相关知识解决： (2)利用古典概型的概率公式求解. (1) 良好 一般 合计 服用A 85 15 100 服用B 80 20 100 合计 165 35 200 零假设为H：治疗效果良好与服用A,B药物无关联， 根据上表可知，x2-20085×20-80x15)2200 0.866<6.635， 100×100×165×35231 所以根据小概率值=0.01的独立性检验，不能认为治疗效果良好与服用A,B药物有关联. (2)因为在200人中治疗效果良好的人数为165，所以P(M)=165=33 20040 在200人中服用药物A的人数为10，所以P(N0, 因为在200人中有85人服用药物A且治疗效果良好， 8517 所以PMN)=200F40 16.(1)取BC的中点M,连接DM,EM, 因为D为AB的中点，所以DMMC,且DM-号4C 在直三棱柱ABC-AB,C,中，ABAC,且AB=AC, 所以DMIIAE,且DM=AE,所以四边形DMEA为平行四边形， 则EMIAD 又EMC平面EBC,AD丈平面EBC,所以AD∥平面EBC, (2) 5W29 29 (1)通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可： (2)建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，求平面ABE的法向量和直线AC的方向向 量，结合向量夹角公式求结论即可. (1)略 (2)设直三棱柱的侧棱长A4=h, VA-HBC=V3-ABC= 3eh=}8xh-8h-0 3 3-31 故h=5 如图建立空间直角坐标系， 答案第6页（共10页） A B A 可得A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,4,0),E(0,2,5), 则AC=(0,4,0),AB=(4,0,0),AE=(0,2,5), 设平面ABE的法向量为i=(x,y,), i.AB=4x=0, 则 i.A亚=2y+5z=0, 取z=2,得y=-5,x=0,得i=(0,-5,2). AC. 20 5V29 设直线AC与平面ABE所成角为O,则sin0= AC网4×V25+4 29 即直线AC与平面ABB所成角的正弦值为y四 29 17.(1)8: (2)8+4V5 1）根据三角恒等变换化简得血An8smC-日，再利用三角形面积公式和正弦定理得R-4,解出 R=4,最后根据三角函数有界性即可得到其最大值； (2)计算得sin Asin BsinC= 令，sinB+smC=S,最后利用正弦定理即可得到答案 2 )由条件知sim2B+sim(4+B-C)-sim(A-B-c9=) sin 2B+sin(+B-C)+sin(B-A+C)= 展开得2 sin B cos B+2 sin Bcos((A-C)= 于是smB-c0s(4+C9)+cos(A-C]=, 4 展开得sin Asin BsinC=1, 8 设△ABC的外接圆半径大小为R, 则根据正弦定理得SAec=absin C=2R'sinAsin BsinC= 1R2=4, 解得R=4, 所以BC=2 R sin A=8sinA≤8， 答案第7页（共10页） 于是当A=时，边BC长最大，最大值为8 (2)由(1)知A=T,BC=8,此时B+C= 2 2, 于是sinC=sin -B=cosB,sin Asin Bsin C=sin Bsin C=sin B cosB= 2 所以(si血B+cos B)-1+2 sin B cosB=1+2x×1-3, 8年因为B∈02： 所以sinB+cosB=5,即sinB+smC-5 3 2 于是4C+AB=2RinB+2 R sinC=8×545, 2 所以△ABC的周长为8+4V5. 18.4四+-1 04+3 a0:@3 (1)由条件列关于a,b,c的方程，解方程求a,b,c可得椭圆方程： (2)①由条件可得FMN=0,结合向量数量积坐标运算公式列方程可求，设P(,%),根据关系 PM.PN=0及点P在椭圆C上列方程求， ②由条件可得M·=0,所以wm=-1,设P(,片)，根据关系PM.P=0及点P在椭圆C上列方程 可得(y+3m)(y+3n)=0,再证明y+3n=0,由此可得结论. (1)设椭圆的半焦距为c, 由条件可知，e=C=1, a2’c=1, 所以a=2,b=√a-c2=3, 所以活风c的方根为号号-1 (2)由已知(-1,0)，M(0,2),N(0,n), 因为点E(-1,O)在以N为直径的圆上，所以M⊥N,故MFN=0, 又EM=(1,2),N=(1,n), 所以1+2加=0，故m号即N0司 设P(6,%),右>0,6>0， Pm-(62-%),w-（3可 答案第8页（共10页） +e-为3为=0 由题意可知， +=1 43 则点P的纵坐标为2 由题知FM=(1,m,FN=(L,n),>0,n<0, 由M⊥N,可得M.N=0, 所以1+wm=0,故wm=-1, 设P(s,y),5>0,>0,PM=(-x,m-y),PN=(-,n-y) 因为PM⊥PN,故PM.PN=0, 所以+(m-为)0m-)=0,且王+￡=1， 43 化简得+3(m+n片-9=0，又=-1， 所以+3(+n)y+9m=0,即(y+3m(3+3m)=0, 由4+3m>0,得片+3n=0,所以 Pg_4=-4=3. 1.a到 (2)f(x)在(0,2)上单调递减. B)证明：由函数f(y)=5+cosx,可得h)=cosr-six-(0<x<0, 则H(x)=-2sinx-xcOSx-t,其中0<t<1, 当0<x<匹时，sinr>0,cosx>0,此时h(x)<0,h(x)单调递减， 2 所以西数()在区间Q上无极值，点： 设H()-o号，可得7（倒=-cor+sinr>0. 所以H()在(？上单调递增。 又因为y=-2r-1在行上单润造增。 所以()=-2sin-coex-1在行上单调递增， 因为=2-10，（网=->0， 由零点存在完理可知，存在唯一的e〔径可使得州(。)-0， 答案第9页（共10页） 当<x<时，h(x)<0:当5<x<π时，P()>0, 综上可得，当0<x<x时，(x)<0,当<x<π时，h'(x)>0, 故h(x)在(0，x)上单调递减，在(，)上单调递增， 所以在(0，)上有且只有一个极小值点x= (1)根据腿意，把不等式转化为c0sr>20sx-1,求得-c0sx<1,进而得到不等式的解集： (2)求得f(y)=-sinr-5-cosr,令g(y)=-sinr-cosr-5,得到g(y)=--xcosx,求得g(y)的单调性 x2 与极值，得到8(x)<0,即f(x)<0,即可求解；h(x) (3)根据题意，得到h()=cot-nx-,先求得h)在0，写》 上无极值点，设H(x)=-xCOSx,求得H(x) 和)21在后上单调道州。得到=在行可上单调道培，得到存在唯一的6《行可列使 得H(x)=0,得出h(x)的单调性，即可得证 (1)解：由函数f(x)=5+cosN,又由不等式fx)>2f(2x),可得5+cx>2x5+cos2x 2x 整理得cosx>cos2x,即c0Sx>2c0s2x-1, 可得(2c0x+1(cox-)<0,所以- 2sc0r<1, 2π 因为0<2x<2,即0<x<π，可得0<x< 3 所以原个等式的解头为Q】 (2)解：由函数f(x)=5+csx,可得f(N)=xsinx-5-cox 设g(x)=-sinx-c0osx-5,(0<x<2T),可得g'(x)=-xcOSx, 当登经时，g0:当0<爱或是。 2 或2<x<2r时，8'(x)<0, 所以g闭(0到上单训滋藏，在（任）上举遥，臣可上年消滋减， 又因为06，）50， 所以当0<x<2π时，g(x)<0,即f'(x)<0,所以f(x)在(0,2π)上单调递减 (3)略 答案第10页（共10页）