18.4整数指数幂 第1课时 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦负整数指数幂的意义及整数指数幂的运算性质，通过复习分式混合运算顺序导入，结合牛顿1676年的设想引发思考，借助“做一做”中同底数幂除法（m<n时）的两种算法对比，搭建从正整数指数幂到负整数指数幂的认知支架。 其亮点是以历史情境和问题链驱动探究，通过“议一议”“活动二”的推理验证，培养学生数学思维中的推理意识和运算能力。用符号语言（如a⁻ⁿ=1/aⁿ）和表格总结运算性质，体现数学语言的简洁性。学生能在探究中理解知识形成过程，教师可借助结构化活动提升教学效率。

第十八章 分式 18.4.1 负整数指数幂 22100 1.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用文字和符号语言 表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性 质进行幂的运算. 学习目标 22100 分式的混合运算顺序： 先乘方，再乘除，然后加减. 若有括号，先算括号里面的. 同级运算，按从左到右的顺序进行计算.　　 复习导入 22100 1676年，牛顿(Newton,1643-1727)提出了一个设想： “因为数学家将aa,aaa,aaaa, 写成a², a³,a⁴, 写成a ⁻¹, a -², a⁻3 … …“” 探究点1 负整数指数幂 议一议 你认为牛顿的这个设想合理吗? 新知探究 那么负整数指数幂 am 表示什么? 如果am中的m 可以是负整数， 所以我将 22100 活动一：探究幂的符号的演变 an 这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广. 牛顿(Newton，1643-1727) 你认为牛顿的这个设想合理吗?也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数幂am表示什么? 22100 负整数指数幂 做一做 请用分式约分方法计算下列各题，结果有什么特征? (1)5³÷55 (2)p³ ÷p⁵ (3)am÷a" (m<n) 与an-m 互为倒数 新知探究 探究点1 与5²互为倒数 与p² 互为倒数 22100 负整数指数幂 请用同底数幂除法法则方法计算下列各题，结果有什么特征? 你有什么发现? (1)5³÷5⁵=5³-5=5-2 (2)p³÷p⁵=p³-5=p-² (3)am÷a"=am-n= a-(n-m) 幂的指数是负整数 同一个算式，结 果有两种形式 (1)5³÷55 (2)p³÷p⁵ (3)am÷a”(m<n) 新知探究 做一做 探究点1 22100 活动二：探究负整数指数幂 当a≠0 时，如何计算a3÷a5？ 解法②：把正整数指数幂的运算性质am÷an=am-n (a≠0，m，n 是正整数，m >n)中的条件m >n 去掉，即假设这个性质对于像 a3÷a5 情形也能使用，则有：a3÷a5=a3-5=a-2. 你发现了什么? 根据分式的约分 22100 活动二：探究负整数指数幂 ②a3÷a5=a3-5=a-2. 22100 议一议 在am÷a”中，当m=n 时，产生0次幂，那么当m<n 时，会出 现怎样的情况呢? 负整数指数幂可以转 化为正指数幂的倒数 " a- = 新知探究 负整数指数幂 探究点1 (n-m) 22100 一般地，当n是正整数时， (a≠0) 一个非零数的负整数指数幂等于这个数正指数幂的倒数 为使同底数幂的除法运算性质适用范围更广，同时也可以更简 便地表示分式，数学中规定： 注意：规定负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数 a- n(a≠0) 是a"的倒数. 新知探究 负整数指数幂 议一议 探究点1 22100 活动二：探究负整数指数幂 为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定： a-n(a≠0)属于分式 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数. 注意 22100 活动二：探究负整数指数幂 22100 am( a ≠0) 你现在能说出当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么 意思吗? 一 般 地 ， (a≠0) 新知探究 负整数指数幂 议一议 探究点1 对于am, 设a≠0 22100 解： ; ; 负整数指数幂可以转 化为正指数幂的倒数 典例分析 负整数指数幂 (b≠0). 探究点1 例1.计算： (b≠0) 22100 活动二：探究负整数指数幂 负整数指数幂运算结果的符号如何确定？ 负整数指数幂的三个常用结论： 22100 活动三：探究整数指数幂的运算性质 分析：从特殊情形入手，取 m，n 分别为正整数和负整数、负整数和负整数、零和负整数几种情况进行研究（a≠0）． 当 m，n分别为正整数和负整数时： 1 引入负整数指数和 0 指数后，正整数指数幂的运算性质 am·an＝am＋n（m，n是正整数）能否推广到 m，n是任意整数的情形？ 22100 解：根据题意，若(2x-3)° 有意义， 则x-3≠0, 即x≠3. 若(3x -6)-² 有意义， 则 3x-6≠0, 即x≠2. ∴x≠3 且x≠2. 例2.若(2x-3)⁰-2(3x-6)-² 有意义，则x 的取值范围是什么? 思路分析：零指数幂与负整数指数幂的底数均不为0. 典例分析 负整数指数幂 探究点1 22100 引入负整数指数和0指数后，am·a"=am+n(m, n都是正整数)这条性 质能否推广到m,n 是任意整数的情形? 例如： am·an=am+n (1当m,n 分别为正整数和负整数时， am·an=am+n这条性质对于m,n 是任意整数的情形仍然适用. (3)当m,n 分别为零和负整数时， a·a³=1 · 整数指数幂及其计算 新知探究 (2)当m,n 均为负整数时， 议一议 探究点2 22100 活动三：探究整数指数幂的运算性质 引入负整数指数和 0 指数后，正整数指数幂的运算性质 am·an＝am＋n（m，n是正整数）能否推广到 m，n是任意整数的情形？ 当 m，n均为负整数时： 2 当 m，n分别为零和负整数时： 3 一般地，am· an = am+n 这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然使用. 总结 22100 类似地，你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他四个正整数指数幂的运算性质进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用. 活动三：探究整数指数幂的运算性质 22100 探究点2 整数指数幂及其计算 正整数指数幂的其他四个运算性质也都限定了指数的范围为正整数， 现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数，原来适用于正整数指数 幂的其他运算性质，是否适用于全体整数指数幂?大家试着验证看看! 归纳： (ab)"=a"b ”这条性质，对于n 是任 意整数的情形仍适用. 即 (a ⁻3)² = a (-3)×2 即 (ab)⁻³ =a -³ b-3 归纳： (am)”=amn 这条性质，对于m, n 是任意整数的情形仍适用 . 新知探究 议一议 验证幂的乘方 验证积的乘方 22100 探究点2 整数指数幂及其计算 正整数指数幂的其他四个运算性质也都限定了指数的范围为正整数， 现在我们希望把指数的范围扩大到全体整数，原来适用于正整数指数 幂的其他运算性质，是否适用于全体整数指数幂?大家试着验证看看! 归纳： 条性质，对于n 是 任意整数的情形仍适用. 即 即 a- ²÷ a-¹= a (-2)-(-1) 归纳： am÷ a"=am-n这条性质，对于m, n 是任意整数的情形仍适 用 . 新知探究 验证同底数幂的除法 议一议 验证分式的乘方 22100 活动三：探究整数指数幂的运算性质 22100 活动三：探究整数指数幂的运算性质 22100 名称 式子表示 同底数幂的乘法 ①am" ·a"=am+n(m,n是整数) 幂的乘方 ②(am)”=amn(m,n是整数) 积的乘方 ③(ab)”= a"bn(n是整数) 同底数幂的除法 ④am÷a=am-n(a≠0,m,n是整数) 分数的乘方 ⑤ (n是整数) 幂的零次方 ⑥当a≠0时， a⁰=1 指数的范围扩大到全体整数后，正整数指数幂的另外四个运算 性质仍适用. 整数指数幂及其计算 新知探究 归一归 探究点2 22100 活动三：探究整数指数幂的运算性质 事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂. 整数指数幂的运算性质 这5条整数指数幂的运算性质还能合并简化吗？ 22100 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 28 规定 整数指数幂 整数指数幂的运算性质(m，n是整数) (1) am· an = am+n (m，n 为整数) (2) (am)n = amn (m，n 为整数) (3) (ab)n = anbn (n 为整数) 性质 22100 谢谢大家聆听 22100 $