第12章 函数与一次函数 教学设计与导学案 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

沪科版八年级数学上册第12章《函数与一次函数》导学 案 (2024版新教材·全章6课时·课前预习+课堂探究+分层检测+课后作业) 使用说明：本导学案按课时编写，每课时包含"学习目标一课前自主预习一课堂合作探究一例题导学 一当堂分层检测一课后分层作业一参考答案"七个板块。带★的为拓展内容，供学有余力的同学选 做。 全章知识框架 款普平发数 恐 温 架 器 方唐经品有 主越十用一条直线提送堂化.西测末来 第12章知识结构图 本章主线：从生活情境中抽象出变量与常量→建立函数概念→三种表示方法→一次函数（正 比例函数)的图象与性质→待定系数法→一次函数模型解决实际问题→一次函数与二元一次方程 (组)的关系。 第1课时 变量与常量、函数的概念（12.1) 【学习目标】 1.能说出变量与常量的概念，会区分实际问题中的变量与常量；2.理解函数的 概念，会判断两个变量之间是否具有函数关系；3.会求函数自变量的取值范围和函数 值。 【学习重难点】 重点：函数概念的形成与理解。难点：理解对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与之对应"。 【课前自主预习】 1.在变化过程中，数值发生变化的量叫做 数值始终不变的量叫做 2.在某个变化过程中，有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，y都有 的值 与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做 3.函数关系中，自变量取值范围的常见限制：整式取；分式的分母 4.一辆汽车以60kmh的速度匀速行驶，行驶路程s(km)与行驶时间t(h)的关系式为 s=60t,其中变量是，常量是 预习：某地24小时气温变化图（回答：一天中最高气温和最低气温分别出现在何时？） 【课堂合作探究】 探究1完成下表并思考：t与T之间是函数关系吗？ 时刻th 6 9 12 15 18 21 气温T/C 20 26 31 33 27 23 探究2判断下列各式中y是否为x的函数（是的打"V"):①y=3x-1(); ②y=x2();③y=x();④y=x（）。 探究3某蓄水池蓄水1200m3,每小时放水80m3。 (1)写出池中剩余水量Q(m)与放水 时间t()的函数关系式；(2)自变量t的取值范围是 (3)放水10h后剩余水量为 m3。 【例题导学】 例1求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y=3x+1;(2)y=2/x-1); (3)y=(x-1)/x+2) 思路点拨：（1)整式，x取全体实数；(2)分母x-10,x≠1；(3)分母x+20,x≠-2。 例2小明骑自行车以15km/h的速度从家出发去图书馆，他家距图书馆6km。(1)写出行 驶路程s(km)与时间t(h)的函数关系式，并求自变量t的取值范围；(2)出发20min后，小 明行驶了多少千米？ 思路点拨：(1)s=15t,由0≤15t≤6得0≤t≤0.4；(2)t=1/3时，s=5km。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1.圆的周长C与半径r的关系式C=2π中，变量是， 常量是 2.求y=1/(x+2)中x的取值范围。 B组（提升）：3.下列关系中，y是x的函数的是（)A.y=xB.y2=xC.y=x+1 D.y=x;4.函数y=x/(x-2)中自变量x的取值范围是 C组（拓展★）：5.等腰三角形的周长为20，底边长为y,腰长为x。(1)写出y与x的函 数关系式；(2)求自变量x的取值范围（提示：三角形三边关系）。 【课后分层作业】 必做：教材12.1练习1一4题；选做：C组第5题及"气温图读图"报告。 【参考答案】 预习：1.变量；常量2.唯一确定；自变量3.全体实数；不为04.s、t;60探究 1:是（每个时刻对应唯一气温） 探究2：①W②W③×④×探究3：(1)Q=1200-80t; (2)0st≤15；(3)400 例2：(1)s=15t,0<t<0.4;(2)5km。A组：1.C、r;22.x≠-2Bs组：3.C 4.x≠2C组：5.(1)y=20-2x;(2)5<x<10 第2课时函数的表示方法（(12.1) 【学习目标】 1.掌握函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法），能根据情境选择合 适的表示方法；2.会用描点法画函数图象，能从图象中读取信息。 【学习重难点】 重点：描点法画函数图象并读图。难点：图象上点的坐标与函数值的一一对应关 系。 【课前自主预习】 1.函数有三种常用表示方法：法、 法、 法。 2.画函数图象的一般步骤：① (取自变量与函数值的对应值)；② ③。 3.用解析式法表示函数，必须写出自变量的；列表法能直接看出；图象法能直 观反映 【课堂合作探究】 出 探究：同一问题(s=50t)的三种表示方法 探究1小亮以50m/min的速度匀速步行上学，用表格、解析式、图象三种方式表示路程 s(m)与时间t(min)的关系(0st≤10)。比较三种方法的优缺点。 探究2用描点法画函数y=2x+1的图象：先列表(x取-2，-1,0,1,2)，再描点、连线。观察图 象是什么形状。 探究：描点法画y=2x+1 探究3下图是"小明上学途中路程随时间变化"的图象，描述各段小明在做什么（匀速/停 留/加速)。 探究：上学途中的路程一时间"图象（读图） 【例题导学】 例3某市出租车白天收费标准：起步价10元(3km以内)，超过3km的部分按实际里程每 千米2.5元计费。设行驶xkm(x>3),应付y元。(1)写出y与x的函数关系式；(2)用图象 表示y与x的关系(0<x≤8)；(3)行驶6km应付多少元？ 思路点拨：(1)y=10+2.5(x-3)=2.5x+2.5;(2)图象为一条射线(x>3部分，注意分段点 x=3处y=10);(3)x=6时y=17.5元。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1.点(2,5)在函数y=3x-1的图象上吗？为什么？2.函数y=x+2的图象与y轴 的交点坐标是。 B组（提升）：3.某水库初始水位3m,每小时上涨0.5m,画出0st≤6内水位h与时间t的 图象，并求t=4时水位；4.从图象中你能读出"小明离家2km后休息了5min再继续走"这样的信息 吗？请画出一条相应图象。 C组（拓展★）：5.下表是小明记录的弹簧伸长量：挂1个砝码伸长2cm,挂2个伸长4 cm,挂3个伸长6cm。(1)写出伸长量y与砝码个数n的关系式；(2)若弹簧最大伸长15cm, 求n的最大整数值。 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：用三种方式表示"家中本月用电量一电费"关系。 【参考答案】 预习：1.列表；解析式；图象2.列表；描点；连线3.取值范围；对应值；变化趋势 探究2：一条直线例3：(1)y=2.5x+2.5;(3)17.5元A组：1.在（当x=2时y=5)2. (0,2)B组：3.h=3+0.5t,t=4时h=5mC组：5.(1)y=2n;(2)n≤7.5，最大为7 第3课时一次函数与正比例函数（12.2) 【学习目标】 1.理解一次函数与正比例函数的概念，能判断一个函数是否是一次函数（正比例 函数)；2.能根据条件确定一次函数解析式中的字母参数。 【学习重难点】 重点：一次函数与正比例函数的概念及判定。难点：含参数的一次函数条件讨论 (k≠0)。 【课前自主预习】 1.一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，)的函数叫做一次函数；当 时，y=kx(k0)叫做正比例函数。 2.正比例函数是特殊的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx+b就化为 3.判断一次函数的关键：①含自变量x的次数为；②x的系数k；③等号右边 是 (整式)。 【课堂合作探究】 探究：网约车计费中的一次函数 探究1写出下列情境中的函数关系式，并判断是否为一次函数、正比例函数：①网约车：起 步价12元含3km,超出每千米2.4元，y=;②专车一口价每千米3元，y=；③圆形 水池周长C与半径r:C= 探究2下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？①y=2x;②y=-3x+1; ③y=x2;④y=5/x;⑤y=2x-2x2;⑥y=3x+1-3x。 探究3已知y=(m-1)x+m2-1。(1)m为何值时是一次函数？(2)m为何值时是正比例函 数？ 【例题导学】 例4已知y=(3k-1)x+2-k。(1)若y是x的正比例函数，求k的值；(2)若y是x的一次函 数，求k的取值范围；(3)若函数图象经过原点，求k的值。 思路点拨：(1)3k-10且2-k=0,k=2;(2)3k-1≠0，k≠13；(3)图象过原点即b=0: 2-k=0,k=2(且k≠13成立)。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1.下列函数中是一次函数的是（)A.y=x2B.y=2C.y=3x-2 D.y=x;2.函数y=2x+4中，k=,b=。 B组（提升）：3.已知y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值；4.已知y+2与x-1成正 比例，且当x=2时y=1,写出y与x的关系式（设y+2=k(x-1),k=3,y=3x-5)。 C组（拓展★）：5.等腰三角形的顶角为y°，底角为x°，写出y与x的关系式并判断是否为 一次函数；若底角x每增加1°，顶角y如何变化？ 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：调查身边一个一次函数关系的实例，说明k、b的实际意义。 【参考答案】 预习：1.k0;b=02.y=kx3.1次；不为0；整式探究1：①y=2.4x+4.8(一次)； ②y=3x(正比例)；③C=2π（正比例）探究2：一次函数①②⑥；正比例函数①⑥探究3： (1)m≠1；(2)m=-1(m2-1=0且m-1≠0)例4：(1）k=2;(2)k≠1/3；(3)k=2A组： 1.C2.2;4B组：3.m=-3(m2-9=0且m-3≠0)4.y=3x-5C组：5.y=180-2x(一次函 数)，x每增加1°，y减少2° 第4课时一次函数的图象与性质（12.2) 【学习目标】 1.会用两点法画一次函数的图象，知道一次函数的图象是一条直线；2.理解 k、b对图象位置与变化趋势的影响，掌握一次函数的增减性。 【学习重难点】 重点：一次函数图象的画法与性质归纳。难点：k、b的几何意义与图象经过象限 的综合判断。 【课前自主预习】 1.一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条，画图象通常取与坐标轴的交点：与x轴交 点(，0)、与y轴交点(0， ）。 2.k>0时，y随x的增大而 ,图象从左到右；k<0时，y随x的增大而 3.b>0时，直线与y轴交于 半轴；b<0时交于半轴；b=0时图象经过 【课堂合作探究】 探究：k>0时图象上升 探究1在同一坐标系中画y=2x、y=2x+3、y=2x-2,观察三条直线的位置关系。 探究2画y=2x与y=-2x,观察增减性的差异。 探究3填写下表并总结k、b的符号与图象经过象限的关系： k、b的符号 k>0,b>0 k>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b<0 经过象限 探究：四幅一次函数图象（判断k、b符号） 【例题导学】 例5已知一次函数y=(3-m)x-2m+1。(1)y随x增大而增大，求m范围；(2)图象经过原 点，求m;(3)图象与y轴交于正半轴，求m范围。 思路点拨：(1)3-m>0,m<3;(2)-2m+1=0且3-m0,m=1/2;(3)-2m+1>0且 3-m0,m<1/2。 例6已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,0)和(0,4)。(1)求k、b的值；(2)判断点 (1,6)是否在图象上；(3)当x=3时，求y的值。 思路点拨：(1)b=4,-2k+4=0,k=2;(2)x=1时y=6,在图象上；(3)y=10。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1.直线y=3x-1与y轴的交点坐标是；2.下列函数中，y随x增大而 减小的是（)A.y=2xB.y=x+1C.y=-xD.y=0.5x-3。 B组（提升）：3.一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k0,b0;4. 点A(-2,y1B(1,y2)在直线y=-3x+2上，比较y1、y2的大小。 C组（拓展★）：5.直线y=2x+1沿y轴向下平移3个单位，所得直线的解析式为；再 判断它经过哪些象限。 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：探究k大小对直线"陡峭程度"的影响。 【参考答案】 预习：1.直线；-bk;b2.增大；上升；减小3.正；负；原点探究1：三条直线平行 探究3：（一、二、三）；（一、三、四)；（一、二、四)；（二、三、四)例5：(1)m< 3;(2)m=12;(3)m<1/2例6：(1)k=2,b=4;(2)在；(3)10A组：1.(0，-1) 2.CB组：3.<；>4.k<0,y1>y2C组：5.y=2x-2,经过一、三、四象限 第5课时待定系数法求解析式与一次函数应用（12.2) 【学习目标】 1.掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤；2.能建立一次函数模型解决分段 计费、行程、方案选择等实际问题。 【学习重难点】 重点：待定系数法；一次函数建模。难点：分段函数的解析式与图象；实际问题 的答案检验。 【课前自主预习】 1.用待定系数法求一次函数解析式的步骤：①设：设解析式为；②代：把已知点的坐 标代入，得；③解：解方程组求出 ；④写：写出解析式。 2.已知一次函数图象经过两点，一般需要 个点的坐标即可确定解析式。 【课堂合作探究】 探究：阶梯水费分段函数图象 探究1某市阶梯水价：不超过12m,每立方米3元；超过12m3不超过20m3部分，每立方 米4.5元。(1)写出水费y(元)与用水量x(m)的函数关系式；(2)画图象；(3)小明家用 水16m应付多少元？(4)若上月水费为60元，用水多少立方米？ 思路点拨：(1)0sx≤12：y=3x;12<x≤20：y=4.5x-18;(2)两段线段； (3)y=4.5×16-18=54元；(4)60>3×12=36，属第二档：4.5x-18=60,x≈17.3（取整17.3m3)。 探究2学校组织研学，甲方案：45座大巴日租1200元；乙方案：30座中巴日租900元。300 人出行，怎样租车最省钱？（建模后由整数的限制讨论） 探究：租车方案选择 【例题导学】 例7一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1，-1)。(1)求解析式；(2)求图象与坐标轴 围成的三角形面积。 思路点拨：(1)k+b=3,-k+b=-1,k=2,b=1,y=2x+1;(2)与x轴交于(-1/2,0)，与y轴交 于(0,1)，面积=5×5×1=1/4。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1.已知一次函数图象经过(0,2)和(2,6)，求解析式；2.直线y=3x+b经过点 (1,5),求b。 B组（提升）：3.某快递公司寄件收费：首重1kg内10元，续重每kg加2元。写出费用y 与重量x(x>1)的关系式；若付28元，最多可寄多少kg?(y=2x+8,x≤10kg,最多10kg) C组（拓展★）：4.A、B两家网约车公司：A公司起步价10元含3km,超出每km2元；B 公司每km2.5元无起步。设行程xkm(x>0),分别写出费用yA、yB与x的关系式，并说明何时 选A、何时选B更划算。 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：调查本地出租车/网约车计费并写出函数关系式。 【参考答案】 预习：1.y=kx+b;方程组；k、b2.两探究1：(1)0≤x≤12时y=3x;12<x≤20时 y=4.5x-18;(3)54元；(4)17.3m3探究2：甲6辆+乙1辆，共8100元例7： (1)y=2x+1;(2)1/4A组：1.y=2x+22.b=2B组：3.y=2x+8,最多10kgC组： 4.yA=2x+4(x>3),x<3时yA=10;yB=2.5x。令2x+4=2.5x得x=8。当0<x<8时选B;当x=8 时两公司费用相同；当x>8时选A 第6课时一次函数与二元一次方程（组） （12.3) 【学习目标】 1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；2.会用图象法解二元一次方程 组，能利用图象交点解决实际问题。 【学习重难点】 重点：图象交点与方程组解的关系。难点：将方程（组）问题转化为函数图象问 题。 【课前自主预习】 1.二元一次方程x+y=3变形为y=,它的解与直线y=-x+3上的点对应。 2.二元一次方程组{x+y=3,xy=1}的解，就是两个一次函数y=-x+3与y=X-1图象 的坐 标。 3.若两条直线平行（无交点），对应方程组 解；重合则 解。 【课堂合作探究】 探究：方程组解的几何意义 探究1在同一坐标系中画y=-x+3与y=2x-3,读出交点坐标，并解方程组{x+y=3,2xy=3}验 证。 探究2用图象法解方程组{x+y=2,2x+y=4}。 探究3甲乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲速5km/h,乙速4km/h,AB相距27 km。设出发xh,甲距A的路程y1,乙距A的路程y2,写出关系式，并求两人相遇的时间与地点。 探究：相遇问题与图象交点 【例题导学】 例8已知直线11：y=2x+1与l2:y=-x+4交于点P。（1)求交点P的坐标；(2)方程组 {y=2x+1,y=-x+4}的解是什么？(3)x取何值时2x+1<-x+4? 思路点拨：(1)联立：2x+1=-x+4,X=1,y=3,P(1,3)；(2){x=1,y=3};(3)由图：X<1 时l1在12下方，即x<1。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1.直线y=3x-2与y=x+2的交点坐标是，方程组{y=3x-2,y=x+2}的解 是；2.直线y=kx+b经过点(2,0)，则方程kx+b=0的解是 B组（提升）：3.不解方程组，判断{x+y=2,x+y=4}对应的两直线位置关系，方程组有解 吗？4.用图象法解{x-y=1,x+y=5}。 C组（拓展★）：5.某移动套餐：A套餐月费58元含100min通话，超出每分钟0.15元；B 套餐月费98元含400min,超出每分钟0.15元。(1)写出通话xmin时A、B套餐费用y1、y2的解 析式(x>100与x>400分段)；(2)每月通话多少分钟时两套餐费用相等？ 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：探究"方程组的三种解的情况与两条直线位置关系的对应"。 【参考答案】 预习：1.-x+3;一一2.交点；坐标3.无；无数探究1：交点(2,1)探究2：解{x=2, y=0}(交点(2,0)探究3：y1-5x,y2=27-4K,相遇即5x=27-4,x=3,距A15km例8： (1)P(1,3);(2){x=1,y=3};(3)x<1时2x+1<-x+4A组：1.(2,4)；{x=2,y=4}2.x=2 B组：3.平行，无解4.{x=3,y=2}C组：5.(1)y1=0.15x+43(x>100),y2=0.15x+38(x >400);(2)两套餐超出部分单价相同，月费之差恒为5元，两套餐费用永远不会相等 沪科版八年级数学上册第12章《函数与一次函数》导学案 （2024版新教材 · 全章6课时 · 课前预习+课堂探究+分层检测+课后作业） 使用说明：本导学案按课时编写，每课时包含"学习目标—课前自主预习—课堂合作探究—例题导学—当堂分层检测—课后分层作业—参考答案"七个板块。带★的为拓展内容，供学有余力的同学选做。 全章知识框架 第12章知识结构图 本章主线：从生活情境中抽象出变量与常量→建立函数概念→三种表示方法→一次函数（正比例函数）的图象与性质→待定系数法→一次函数模型解决实际问题→一次函数与二元一次方程（组）的关系。 第1课时　变量与常量、函数的概念（12.1） 【学习目标】 1．能说出变量与常量的概念，会区分实际问题中的变量与常量；2．理解函数的概念，会判断两个变量之间是否具有函数关系；3．会求函数自变量的取值范围和函数值。 【学习重难点】 重点：函数概念的形成与理解。难点：理解"对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应"。 【课前自主预习】 1．在变化过程中，数值发生变化的量叫做______，数值始终不变的量叫做______。 2．在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有______的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做______。 3．函数关系中，自变量取值范围的常见限制：整式取______；分式的分母______。 4．一辆汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程s（km）与行驶时间t（h）的关系式为s=60t，其中变量是______，常量是______。 预习：某地24小时气温变化图（回答：一天中最高气温和最低气温分别出现在何时？） 【课堂合作探究】 探究1　完成下表并思考：t与T之间是函数关系吗？ 时刻t/h 6 9 12 15 18 21 气温T/℃ 20 26 31 33 27 23 探究2　判断下列各式中y是否为x的函数（是的打"✓"）：①y=3x−1（　）；②y=x²（　）；③y=±x（　）；④|y|=x（　）。 探究3　某蓄水池蓄水1200 m³，每小时放水80 m³。（1）写出池中剩余水量Q（m³）与放水时间t（h）的函数关系式；（2）自变量t的取值范围是______；（3）放水10 h后剩余水量为______m³。 【例题导学】 例1　求下列函数中自变量x的取值范围：（1）y=3x+1；（2）y=2/(x−1)；（3）y=(x−1)/(x+2)。 思路点拨：（1）整式，x取全体实数；（2）分母x−1≠0，x≠1；（3）分母x+2≠0，x≠−2。 例2　小明骑自行车以15 km/h的速度从家出发去图书馆，他家距图书馆6 km。（1）写出行驶路程s（km）与时间t（h）的函数关系式，并求自变量t的取值范围；（2）出发20 min后，小明行驶了多少千米？ 思路点拨：（1）s=15t，由0≤15t≤6得0≤t≤0.4；（2）t=1/3时，s=5 km。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1．圆的周长C与半径r的关系式C=2πr中，变量是______，常量是______；2．求y=1/(x+2)中x的取值范围。 B组（提升）：3．下列关系中，y是x的函数的是（　）A．y=±x　B．y²=x　C．y=x+1　D．|y|=x；4．函数y=x/(x−2)中自变量x的取值范围是______。 C组（拓展★）：5．等腰三角形的周长为20，底边长为y，腰长为x。（1）写出y与x的函数关系式；（2）求自变量x的取值范围（提示：三角形三边关系）。 【课后分层作业】 必做：教材12.1练习1—4题；选做：C组第5题及"气温图读图"报告。 【参考答案】 预习：1．变量；常量　2．唯一确定；自变量　3．全体实数；不为0　4．s、t；60　探究1：是（每个时刻对应唯一气温）　探究2：①✓②✓③×④×　探究3：（1）Q=1200−80t；（2）0≤t≤15；（3）400 例2：（1）s=15t，0≤t≤0.4；（2）5 km。A组：1．C、r；2π　2．x≠−2　B组：3．C　4．x≠2　C组：5．（1）y=20−2x；（2）5＜x＜10 第2课时　函数的表示方法（12.1） 【学习目标】 1．掌握函数的三种表示方法（列表法、解析式法、图象法），能根据情境选择合适的表示方法；2．会用描点法画函数图象，能从图象中读取信息。 【学习重难点】 重点：描点法画函数图象并读图。难点：图象上点的坐标与函数值的一一对应关系。 【课前自主预习】 1．函数有三种常用表示方法：______法、______法、______法。 2．画函数图象的一般步骤：①______（取自变量与函数值的对应值）；②______；③______。 3．用解析式法表示函数，必须写出自变量的______；列表法能直接看出______；图象法能直观反映______。 【课堂合作探究】 探究：同一问题（s=50t）的三种表示方法 探究1　小亮以50 m/min的速度匀速步行上学，用表格、解析式、图象三种方式表示路程s（m）与时间t（min）的关系（0≤t≤10）。比较三种方法的优缺点。 探究2　用描点法画函数y=2x+1的图象：先列表（x取−2,−1,0,1,2），再描点、连线。观察图象是什么形状。 探究：描点法画y=2x+1 探究3　下图是"小明上学途中路程随时间变化"的图象，描述各段小明在做什么（匀速/停留/加速）。 探究：上学途中的"路程—时间"图象（读图） 【例题导学】 例3　某市出租车白天收费标准：起步价10元（3 km以内），超过3 km的部分按实际里程每千米2.5元计费。设行驶x km（x＞3），应付y元。（1）写出y与x的函数关系式；（2）用图象表示y与x的关系（0＜x≤8）；（3）行驶6 km应付多少元？ 思路点拨：（1）y=10+2.5(x−3)=2.5x+2.5；（2）图象为一条射线（x＞3部分，注意分段点x=3处y=10）；（3）x=6时y=17.5元。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1．点(2,5)在函数y=3x−1的图象上吗？为什么？2．函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标是______。 B组（提升）：3．某水库初始水位3 m，每小时上涨0.5 m，画出0≤t≤6内水位h与时间t的图象，并求t=4时水位；4．从图象中你能读出"小明离家2 km后休息了5 min再继续走"这样的信息吗？请画出一条相应图象。 C组（拓展★）：5．下表是小明记录的弹簧伸长量：挂1个砝码伸长2 cm，挂2个伸长4 cm，挂3个伸长6 cm。（1）写出伸长量y与砝码个数n的关系式；（2）若弹簧最大伸长15 cm，求n的最大整数值。 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：用三种方式表示"家中本月用电量—电费"关系。 【参考答案】 预习：1．列表；解析式；图象　2．列表；描点；连线　3．取值范围；对应值；变化趋势　探究2：一条直线　例3：（1）y=2.5x+2.5；（3）17.5元　A组：1．在（当x=2时y=5）　2．(0,2)　B组：3．h=3+0.5t，t=4时h=5 m　C组：5．（1）y=2n；（2）n≤7.5，最大为7 第3课时　一次函数与正比例函数（12.2） 【学习目标】 1．理解一次函数与正比例函数的概念，能判断一个函数是否是一次函数（正比例函数）；2．能根据条件确定一次函数解析式中的字母参数。 【学习重难点】 重点：一次函数与正比例函数的概念及判定。难点：含参数的一次函数条件讨论（k≠0）。 【课前自主预习】 1．一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，______）的函数叫做一次函数；当______时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数。 2．正比例函数是特殊的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx+b就化为______。 3．判断一次函数的关键：①含自变量x的次数为______；②x的系数k______；③等号右边是______（整式）。 【课堂合作探究】 探究：网约车计费中的一次函数 探究1　写出下列情境中的函数关系式，并判断是否为一次函数、正比例函数：①网约车：起步价12元含3 km，超出每千米2.4元，y=______；②专车一口价每千米3元，y=______；③圆形水池周长C与半径r：C=______。 探究2　下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？①y=2x；②y=−3x+1；③y=x²；④y=5/x；⑤y=2x−2x²；⑥y=3x+1−3x。 探究3　已知y=(m−1)x+m²−1。（1）m为何值时是一次函数？（2）m为何值时是正比例函数？ 【例题导学】 例4　已知y=(3k−1)x+2−k。（1）若y是x的正比例函数，求k的值；（2）若y是x的一次函数，求k的取值范围；（3）若函数图象经过原点，求k的值。 思路点拨：（1）3k−1≠0且2−k=0，k=2；（2）3k−1≠0，k≠1/3；（3）图象过原点即b=0：2−k=0，k=2（且k≠1/3成立）。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1．下列函数中是一次函数的是（　）A．y=x²　B．y=2/x　C．y=3x−2　D．y=|x|；2．函数y=2x+4中，k=______，b=______。 B组（提升）：3．已知y=(m−3)x+m²−9是正比例函数，求m的值；4．已知y+2与x−1成正比例，且当x=2时y=1，写出y与x的关系式（设y+2=k(x−1)，k=3，y=3x−5）。 C组（拓展★）：5．等腰三角形的顶角为y°，底角为x°，写出y与x的关系式并判断是否为一次函数；若底角x每增加1°，顶角y如何变化？ 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：调查身边一个一次函数关系的实例，说明k、b的实际意义。 【参考答案】 预习：1．k≠0；b=0　2．y=kx　3．1次；不为0；整式　探究1：①y=2.4x+4.8（一次）；②y=3x（正比例）；③C=2πr（正比例）　探究2：一次函数①②⑥；正比例函数①⑥　探究3：（1）m≠1；（2）m=−1（m²−1=0且m−1≠0）　例4：（1）k=2；（2）k≠1/3；（3）k=2　A组：1．C　2．2；4　B组：3．m=−3（m²−9=0且m−3≠0）　4．y=3x−5　C组：5．y=180−2x（一次函数），x每增加1°，y减少2° 第4课时　一次函数的图象与性质（12.2） 【学习目标】 1．会用两点法画一次函数的图象，知道一次函数的图象是一条直线；2．理解k、b对图象位置与变化趋势的影响，掌握一次函数的增减性。 【学习重难点】 重点：一次函数图象的画法与性质归纳。难点：k、b的几何意义与图象经过象限的综合判断。 【课前自主预习】 1．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条______，画图象通常取与坐标轴的交点：与x轴交点（____，0）、与y轴交点（0，____）。 2．k＞0时，y随x的增大而______，图象从左到右______；k＜0时，y随x的增大而______。 3．b＞0时，直线与y轴交于______半轴；b＜0时交于______半轴；b=0时图象经过______。 【课堂合作探究】 探究：k＞0时图象上升 探究1　在同一坐标系中画y=2x、y=2x+3、y=2x−2，观察三条直线的位置关系。 探究2　画y=2x与y=−2x，观察增减性的差异。 探究3　填写下表并总结k、b的符号与图象经过象限的关系： k、b的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 经过象限 探究：四幅一次函数图象（判断k、b符号） 【例题导学】 例5　已知一次函数y=(3−m)x−2m+1。（1）y随x增大而增大，求m范围；（2）图象经过原点，求m；（3）图象与y轴交于正半轴，求m范围。 思路点拨：（1）3−m＞0，m＜3；（2）−2m+1=0且3−m≠0，m=1/2；（3）−2m+1＞0且3−m≠0，m＜1/2。 例6　已知一次函数y=kx+b的图象经过点(−2,0)和(0,4)。（1）求k、b的值；（2）判断点(1,6)是否在图象上；（3）当x=3时，求y的值。 思路点拨：（1）b=4，−2k+4=0，k=2；（2）x=1时y=6，在图象上；（3）y=10。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1．直线y=3x−1与y轴的交点坐标是______；2．下列函数中，y随x增大而减小的是（　）A．y=2x　B．y=x+1　C．y=−x　D．y=0.5x−3。 B组（提升）：3．一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k____0，b____0；4．点A(−2,y₁)、B(1,y₂)在直线y=−3x+2上，比较y₁、y₂的大小。 C组（拓展★）：5．直线y=2x+1沿y轴向下平移3个单位，所得直线的解析式为______；再判断它经过哪些象限。 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：探究|k|大小对直线"陡峭程度"的影响。 【参考答案】 预习：1．直线；−b/k；b　2．增大；上升；减小　3．正；负；原点　探究1：三条直线平行　探究3：（一、二、三）；（一、三、四）；（一、二、四）；（二、三、四）　例5：（1）m＜3；（2）m=1/2；（3）m＜1/2　例6：（1）k=2，b=4；（2）在；（3）10　A组：1．(0,−1)　2．C　B组：3．＜；＞　4．k＜0，y₁＞y₂　C组：5．y=2x−2，经过一、三、四象限 第5课时　待定系数法求解析式与一次函数应用（12.2） 【学习目标】 1．掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤；2．能建立一次函数模型解决分段计费、行程、方案选择等实际问题。 【学习重难点】 重点：待定系数法；一次函数建模。难点：分段函数的解析式与图象；实际问题的答案检验。 【课前自主预习】 1．用待定系数法求一次函数解析式的步骤：①设：设解析式为______；②代：把已知点的坐标代入，得______；③解：解方程组求出______；④写：写出解析式。 2．已知一次函数图象经过两点，一般需要______个点的坐标即可确定解析式。 【课堂合作探究】 探究：阶梯水费分段函数图象 探究1　某市阶梯水价：不超过12 m³，每立方米3元；超过12 m³不超过20 m³部分，每立方米4.5元。（1）写出水费y（元）与用水量x（m³）的函数关系式；（2）画图象；（3）小明家用水16 m³应付多少元？（4）若上月水费为60元，用水多少立方米？ 思路点拨：（1）0≤x≤12：y=3x；12＜x≤20：y=4.5x−18；（2）两段线段；（3）y=4.5×16−18=54元；（4）60＞3×12=36，属第二档：4.5x−18=60，x≈17.3（取整17.3 m³）。 探究2　学校组织研学，甲方案：45座大巴日租1200元；乙方案：30座中巴日租900元。300人出行，怎样租车最省钱？（建模后由整数的限制讨论） 探究：租车方案选择 【例题导学】 例7　一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(−1,−1)。（1）求解析式；（2）求图象与坐标轴围成的三角形面积。 思路点拨：（1）k+b=3，−k+b=−1，k=2，b=1，y=2x+1；（2）与x轴交于(−1/2,0)，与y轴交于(0,1)，面积=½×½×1=1/4。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1．已知一次函数图象经过(0,2)和(2,6)，求解析式；2．直线y=3x+b经过点(1,5)，求b。 B组（提升）：3．某快递公司寄件收费：首重1 kg内10元，续重每kg加2元。写出费用y与重量x（x＞1）的关系式；若付28元，最多可寄多少kg？（y=2x+8，x≤10 kg，最多10 kg） C组（拓展★）：4．A、B两家网约车公司：A公司起步价10元含3 km，超出每km 2元；B公司每km 2.5元无起步。设行程x km（x＞0），分别写出费用yA、yB与x的关系式，并说明何时选A、何时选B更划算。 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：调查本地出租车/网约车计费并写出函数关系式。 【参考答案】 预习：1．y=kx+b；方程组；k、b　2．两　探究1：（1）0≤x≤12时y=3x；12＜x≤20时y=4.5x−18；（3）54元；（4）17.3 m³　探究2：甲6辆+乙1辆，共8100元　例7：（1）y=2x+1；（2）1/4　A组：1．y=2x+2　2．b=2　B组：3．y=2x+8，最多10 kg　C组：4．yA=2x+4（x＞3），x≤3时yA=10；yB=2.5x。令2x+4=2.5x得x=8。当0＜x＜8时选B；当x=8时两公司费用相同；当x＞8时选A 第6课时　一次函数与二元一次方程（组）（12.3） 【学习目标】 1．理解一次函数与二元一次方程（组）的关系；2．会用图象法解二元一次方程组，能利用图象交点解决实际问题。 【学习重难点】 重点：图象交点与方程组解的关系。难点：将方程（组）问题转化为函数图象问题。 【课前自主预习】 1．二元一次方程x+y=3变形为y=______，它的解与直线y=−x+3上的点______对应。 2．二元一次方程组{x+y=3, x−y=1}的解，就是两个一次函数y=−x+3与y=x−1图象______的坐标。 3．若两条直线平行（无交点），对应方程组______解；重合则______解。 【课堂合作探究】 探究：方程组解的几何意义 探究1　在同一坐标系中画y=−x+3与y=2x−3，读出交点坐标，并解方程组{x+y=3, 2x−y=3}验证。 探究2　用图象法解方程组{x+y=2, 2x+y=4}。 探究3　甲乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲速5 km/h，乙速4 km/h，AB相距27 km。设出发x h，甲距A的路程y₁，乙距A的路程y₂，写出关系式，并求两人相遇的时间与地点。 探究：相遇问题与图象交点 【例题导学】 例8　已知直线l₁：y=2x+1与l₂：y=−x+4交于点P。（1）求交点P的坐标；（2）方程组{y=2x+1, y=−x+4}的解是什么？（3）x取何值时2x+1＜−x+4？ 思路点拨：（1）联立：2x+1=−x+4，x=1，y=3，P(1,3)；（2）{x=1, y=3}；（3）由图：x＜1时l₁在l₂下方，即x＜1。 【当堂分层检测】 A组（基础）：1．直线y=3x−2与y=x+2的交点坐标是______，方程组{y=3x−2, y=x+2}的解是______；2．直线y=kx+b经过点(2,0)，则方程kx+b=0的解是______。 B组（提升）：3．不解方程组，判断{x+y=2, x+y=4}对应的两直线位置关系，方程组有解吗？4．用图象法解{x−y=1, x+y=5}。 C组（拓展★）：5．某移动套餐：A套餐月费58元含100 min通话，超出每分钟0.15元；B套餐月费98元含400 min，超出每分钟0.15元。（1）写出通话x min时A、B套餐费用y₁、y₂的解析式（x＞100与x＞400分段）；（2）每月通话多少分钟时两套餐费用相等？ 【课后分层作业】 必做：教材练习；选做：探究"方程组的三种解的情况与两条直线位置关系的对应"。 【参考答案】 预习：1．−x+3；一一　2．交点；坐标　3．无；无数　探究1：交点(2,1)　探究2：解{x=2, y=0}（交点(2,0)）　探究3：y₁=5x，y₂=27−4x，相遇即5x=27−4x，x=3，距A 15 km　例8：（1）P(1,3)；（2）{x=1, y=3}；（3）x＜1时2x+1＜−x+4　A组：1．(2,4)；{x=2, y=4}　2．x=2　B组：3．平行，无解　4．{x=3, y=2}　C组：5．（1）y₁=0.15x+43（x＞100），y₂=0.15x+38（x＞400）；（2）两套餐超出部分单价相同，月费之差恒为5元，两套餐费用永远不会相等 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版八年级数学上册第12章《函数与一次函数》教学设计 （2024版新教材 · 全章6课时 · 含图与场景化教学流程） 一、教材分析 本章是沪科版（2024版）八年级上册第12章，属于"数与代数"领域"函数"主题的起始章节，是初中数学从"常量数学"走向"变量数学"的转折点。本章由"12.1 函数""12.2 一次函数""12.3 一次函数与二元一次方程"三节组成，学生在七年级已学习代数式、方程（组）与不等式，具备用代数方法刻画等量关系的基础；本章在此基础上引入变量、常量、函数的概念，系统学习函数的概念、三种表示方法及一次函数的图象与性质，并借助一次函数模型解决实际问题。函数思想、数形结合思想贯穿整个初中乃至高中，本章是后续学习反比例函数、二次函数的知识与方法起点。 二、全章知识结构 全章知识结构图（情境抽象→三种表示→模型应用） 三、课标要求与核心素养 《义务教育数学课程标准（2022年版）》对本学段的要求：结合实例探索并理解函数的概念、函数自变量的取值范围与函数值；能用描点法画出一次函数的图象，根据图象和解析式探索并理解k＞0、k＜0时图象的变化情况；会用待定系数法求一次函数解析式；能用一次函数解决简单实际问题；体会一次函数与二元一次方程（组）的关系。 本章重点发展：数学抽象（从情境中抽象出函数模型）、几何直观（图象与性质）、模型观念（用一次函数建模解决实际问题）、应用意识。 四、学情分析 学生已具备用字母表示数、列代数式、解方程（组）的能力，但"变量""对应关系""运动变化"的思维刚刚起步，抽象出函数概念是本阶段难点。学生生活经验丰富（温度变化、出租车计费、水费阶梯等），但缺乏用数学语言刻画变化规律的意识。教学中应以真实情境为载体，让学生经历"观察—列表—描点—连线—归纳"的完整过程，从具体到抽象逐步建立函数概念。 五、教学目标 1．结合具体情境理解变量与常量、函数的概念，能确定函数自变量的取值范围，会求函数值； 2．会用列表法、解析式法和图象法表示函数，并能从图象中读取信息； 3．掌握一次函数与正比例函数的概念；会用描点法画一次函数图象，理解k、b对图象的影响； 4．会用待定系数法求一次函数解析式，能建立一次函数模型解决分段计费、行程、方案选择等实际问题； 5．理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。 六、教学重难点 重点：函数概念的建立；一次函数图象与性质；用待定系数法求解析式；一次函数模型的应用。 难点：对函数概念中"唯一确定对应"的理解；从实际问题中抽象并建立函数模型；分段函数图象的理解与计算。 七、课时安排 课时 教学内容 核心任务 对应教材 第1课时 变量与常量、函数的概念 从气温、高铁等情境抽象函数概念 12.1 第2课时 函数的表示方法 列表、解析式、图象三种表示，描点法画图 12.1 第3课时 一次函数与正比例函数 概念辨析、判定、字母系数条件 12.2 第4课时 一次函数的图象与性质 k、b对图象的影响，增减性 12.2 第5课时 待定系数法及应用 求解析式，水费、网约车、方案选择建模 12.2 第6课时 一次函数与二元一次方程（组） 图象交点与方程组的解 12.3 八、分课时教学设计 第1课时　变量与常量、函数的概念（12.1） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）通过具体情境理解变量、常量的概念，能区分问题中的变量与常量； （2）理解函数的概念，能判断两个变量之间是否具有函数关系； （3）会求简单函数自变量的取值范围和函数值。 2．教学重难点 重点：函数概念的形成与理解。难点：理解"对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应"。 3．教学过程 （1）情境导入（8分钟） 情境一：某地一天24小时气温变化折线图（读图发现气温随时间变化） 情境一：展示某地一天24小时气温变化图。教师提问：①气温是随时间变化的吗？②在每一时刻，气温有几个值与之对应？③这一天中最高气温、最低气温分别出现在什么时候？ 情境二：G字头高铁从合肥南站出发，行驶速度约为300 km/h。设行驶时间为t h，行驶路程为s km，s与t之间满足什么关系？若列车以该速度匀速行驶2 h，路程是多少？ 设计意图：从"图形与表格""式子"两个角度引入变化过程，让学生直观感受"一个量随另一个量变化而变化"，为抽象函数概念积累素材。 （2）探究新知（15分钟） 探究1（变量的定义）：在上述两个情境中，找出在变化过程中数值发生变化的量（时间t、路程s、气温T、时刻t）和始终不变的量（速度300 km/h）。给出变量、常量定义。 探究2（函数概念）：以"气温—时刻"为例，引导学生归纳：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 追问辨析（判断题）：①y=x²中，y是x的函数吗？②x²+y²=1中，y是x的函数吗？③|y|=x（x≥0）中，y是x的函数吗？通过反例强化概念的关键词"每一个""唯一确定"。 （3）例题精讲（10分钟） 例1　下列各式中，y不是x的函数的是（　）。A．y=2x−1　B．y=3/x（x≠0）　C．y=x²　D．y=±x 解析：选项D中，当x=1时，y=±1，有两个值与之对应，不符合"唯一确定"，故y不是x的函数，选D。 例2　某蓄水池蓄水量为1500 m³，用抽水机每小时抽水120 m³。设抽水时间为t h，池中剩余水量为Q m³。（1）写出Q与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（2）抽水10 h后，池中还剩多少水？ 例2蓄水池抽水情境示意图 解析：（1）Q=1500−120t，由Q≥0得0≤t≤12.5；（2）当t=10时，Q=1500−120×10=300，还剩300 m³。 （4）变式巩固（10分钟） 变式1　求下列函数中自变量x的取值范围：①y=3x+1；②y=x/(x−2)；③y=(2x−1)/(x+3)。（整式取全体实数；分母非零得x≠2；分母非零得x≠−3） 变式2　某市出租车收费标准：起步价10元（3 km以内），超过3 km的部分每千米2.5元。设行驶x km（x＞3）时应付车费y元，写出y与x的关系式，并求行驶8 km应付多少元。（y=10+2.5(x−3)，x=8时y=22.5元） （5）课堂小结（4分钟） 学生回顾：什么是变量与常量？什么是函数？函数概念中的关键是什么？求自变量取值范围有哪些类型（整式、分式、实际问题中的限制）？ 板书设计（知识框图）：变量与常量 → 函数概念（唯一确定）→ 自变量的取值范围 → 函数值 4．作业布置 必做：教材12.1练习及习题；选做：调查家里本月电费随用电量变化的规律，用表格记录并尝试写出关系式。 第2课时　函数的表示方法（12.1） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）掌握函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法，能根据具体问题选择合适的方法； （2）会用描点法画函数图象，并能从函数图象中读取信息。 2．教学重难点 重点：描点法画函数图象并读取信息。难点：理解图象上点的坐标与函数值的对应关系。 3．教学过程 （1）情境导入（5分钟） 展示小亮从家到学校的三种记录：①表格（时间—路程）；②关系式s=50t；③图象（折线图）。提问：这三种方式都能表示路程与时间的关系吗？它们各有什么特点？ 情境：同一变化过程的三种表示方法 （2）探究新知（15分钟） 探究1（描点法画图）：以y=2x−1为例，列表（取x=−1,0,1,2,3）→描点→连线，教师示范步骤，强调"取自变量与函数值的对应值作为点的坐标"。 探究2（读图信息）：展示"小明上学途中路程—时间"图象（先匀速、后停留、再加速），让学生描述每一段的行为，体会图象的直观性。 探究：描点连线画函数图象 （3）例题精讲（12分钟） 例3　一列动车从合肥出发开往上海，全程约460 km，动车以200 km/h的速度匀速行驶。设行驶时间为t h，距上海的路程为s km。（1）写出s与t的函数关系式；（2）用描点法画出这个函数的图象（t≥0）；（3）行驶2 h后，距上海还有多远？ 解析：（1）s=460−200t；（2）列表描点连线，得到一条直线；（3）当t=2时，s=460−400=60（km）。 例3高铁行程情境图 （4）变式巩固（10分钟） 变式　某水库的水位在5 h内持续上涨，每小时上升0.3 m，初始水位为3 m。设经过t h后水位为h m。（1）写出h与t的关系式；（2）画出0≤t≤5时的图象；（3）根据图象估计t=3.5时水位约为多少米。（h=3+0.3t，t=3.5时h=4.05 m） （5）课堂小结（4分钟） 三种表示方法各自的优点：列表法直观显示对应值；解析式法精确便于计算；图象法形象反映变化趋势。画图象步骤：列表、描点、连线。 4．作业布置 必做：教材课后习题；选做：利用周末测量家中水龙头每分钟滴水量，用三种方式表示滴水时间与滴水量关系。 第3课时　一次函数与正比例函数（12.2） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）理解一次函数与正比例函数的概念，能判断一个函数是否为一次函数（正比例函数）； （2）能根据条件确定一次函数解析式中的字母参数。 2．教学重难点 重点：一次函数与正比例函数的概念及判定。难点：含参数的一次函数条件讨论。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：某网约车平台计价规则为"起步价12元（含3 km），超出部分每千米2.4元"。设乘车里程为x km（x＞3），应付车费为y元，写出y与x的关系式（y=12+2.4(x−3)=2.4x+4.8）。追问：若某专车"一口价"为每千米3元，应付y=3x。比较两个式子结构上的共同点。 情境：网约车计费中的一次函数 （2）探究新知（15分钟） 探究1（概念归纳）：将y=2.4x+4.8、y=3x、y=−5x+2、y=x等式子按"是否含常数项"分类，归纳：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数；当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 探究2（概念辨析）：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？①y=2x；②y=−3x+1；③y=x²；④y=5/x；⑤y=2(x+1)−2。指出①②⑤是一次函数，其中①⑤是正比例函数。 （3）例题精讲（12分钟） 例4　已知函数y=(m−2)x+m²−4。（1）当m取何值时，y是x的一次函数？（2）当m取何值时，y是x的正比例函数？ 解析：（1）一次函数要求x的系数不为0，即m−2≠0，m≠2；（2）正比例函数要求m−2≠0且m²−4=0，即m=−2。 追问：若一次函数y=(2k−1)x+3k的图象经过原点，求k的值。（图象过原点即b=0：3k=0，k=0，且2k−1≠0成立） 例4：正比例函数与一次函数图象对比 （4）变式巩固（10分钟） 变式1　已知y=(n+1)x+2n−3是一次函数，求n的取值范围（n≠−1）；若它又是正比例函数，求n的值（n=3/2）。 变式2　等腰三角形的顶角度数为y°，底角度数为x°，写出y与x的函数关系式，并指出自变量取值范围（y=180−2x，0＜x＜90），该函数是一次函数吗？ （5）课堂小结（4分钟） 一次函数y=kx+b（k≠0）：k是斜率，b是截距；正比例函数是b=0的特例；判断时注意k≠0这一隐含条件。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：写出你身边一个一次函数关系的实例，并说明k、b的实际意义。 第4课时　一次函数的图象与性质（12.2） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）会用描点法画一次函数的图象，知道一次函数的图象是一条直线； （2）理解k、b对一次函数图象位置与变化趋势的影响，掌握一次函数的增减性。 2．教学重难点 重点：一次函数图象的画法及性质归纳。难点：理解k、b的几何意义与增减性的本质。 3．教学过程 （1）情境导入（5分钟） 某登山队从海拔1200 m处出发，以平均每分钟上升40 m的速度攀登，设登山时间为t min，所处海拔为h m，则h=1200+40t。提问：图象大致是什么形状？图象从左到右是上升还是下降？ 情境：k＞0时一次函数图象（上升） （2）探究新知（18分钟） 探究1（图象形状）：在同一直角坐标系中画出y=2x、y=2x+3、y=2x−2的图象，观察三条直线的位置关系（平行），归纳一次函数图象是一条直线，两点即可确定，画图通常取与坐标轴的交点。 探究2（k的作用）：画y=2x、y=−2x，观察增减性：k＞0时，y随x增大而增大；k＜0时，y随x增大而减小。 探究3（b的作用）：对比y=2x与y=2x+3、y=2x−2，b决定直线与y轴交点的纵坐标（0，b），直线可由y=kx平移|b|个单位得到（b＞0向上，b＜0向下）。 探究：b对图象位置的影响（平移） （3）例题精讲（12分钟） 例5　已知一次函数y=(2m−3)x+1−m。（1）当m取何值时，y随x增大而减小？（2）当m取何值时，图象经过原点？（3）当m取何值时，图象与y轴交于负半轴？ 解析：（1）2m−3＜0，m＜3/2；（2）图象经过原点，则b=0且k≠0：1−m=0且2m−3≠0，m=1；（3）交y轴负半轴：1−m＜0且2m−3≠0，m＞1。 （4）变式巩固（8分钟） 变式：四宫格中四个一次函数图象（判断k、b符号） 变式1　观察四幅一次函数图象，判断各图中k、b的符号。 变式2　点A(−1,y₁)、B(3,y₂)都在直线y=−2x+1上，比较y₁与y₂的大小。（k＜0，y随x增大而减小，y₁＞y₂） （5）课堂小结（4分钟） 口诀归纳：k正上坡、k负下坡；b定截距、平移动画；两点定线、数形结合。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：探究|k|越大直线越陡这一现象，并举出生活中的实例。 第5课时　待定系数法求解析式与一次函数应用（12.2） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）掌握待定系数法求一次函数解析式； （2）能建立一次函数模型解决水费、电费、网约车等分段计费与方案选择问题。 2．教学重难点 重点：待定系数法；一次函数建模。难点：分段函数的图象理解与实际意义解读。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：小明用"打气筒给自行车胎打气"，胎内气压p（kPa）与打气次数n满足一次函数关系。打了20次时气压为200 kPa，打了50次时气压为350 kPa。提问：如何求p与n的关系式？从而引出"已知两个点的坐标，求解析式"的问题——待定系数法。 情境：动态变化中的一次函数 （2）探究新知（14分钟） 探究（待定系数法步骤）：已知一次函数图象经过点A(1,3)、B(2,5)，求解析式。步骤归纳：①设：设解析式为y=kx+b（k≠0）；②代：把两点的坐标代入，得方程组；③解：解方程组得k、b；④写：写出解析式。 学生活动：独立完成上述步骤，教师强调"设—代—解—写"四步规范。 （3）例题精讲（16分钟） 例6：阶梯水费分段函数图象 例6　某市居民用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过15 m³时，水价为3元/m³；超过15 m³不超过25 m³的部分，水价为4.5元/m³（为简化，只设两档）。（1）写出月水费y（元）与用水量x（m³）之间的函数关系式；（2）画出图象；（3）小明家本月用水20 m³，应付水费多少元？ 解析：（1）当0≤x≤15时，y=3x；当15＜x≤25时，y=3×15+4.5(x−15)=4.5x−22.5；（2）图象为两条线段；（3）x=20时，y=4.5×20−22.5=67.5（元）。 追问：若小明家上月水费为90元，则用水多少立方米？（90＞67.5，属于第二档：4.5x−22.5=90，x=25 m³） （4）变式巩固（8分钟） 变式1　一次函数图象经过点(0,4)和(2,0)，求解析式并写出与两坐标轴围成的三角形面积。（y=−2x+4，面积=½×4×2=4） 变式2　学校组织研学，租车方案：甲方案每辆45座大巴，日租金1200元；乙方案每辆30座中巴，日租金900元。若出行人数为300人，应如何选择更省钱？（设租甲车x辆，则乙车(300−45x)/30辆；总费用y=1200x+900×(300−45x)/30=1200x+27000−1350x=−150x+27000，x越大越省，x最大取整数使45x≤300，x=6，需乙车1辆，共y=27000−900=26100元） 变式2：租车方案选择示意图 （5）课堂小结（4分钟） 待定系数法四步：设—代—解—写；分段函数注意分段点"不重不漏"；应用题的答题规范：设元→建模→求解→检验→作答。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：调查本地出租车或网约车计费规则，写出车费与里程的函数关系式并画出图象。 第6课时　一次函数与二元一次方程（组）（12.3） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，知道二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象交点的坐标； （2）会用图象法解二元一次方程组，能利用交点解决实际问题。 2．教学重难点 重点：图象交点与方程组解的关系。难点：将方程（组）问题转化为函数图象问题。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：甲乙两人从相距30 km的两地同时相向而行，甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h。设出发x h后，甲距出发地的路程为y₁ km，乙距甲出发地的路程为y₂ km。写出y₁、y₂与x的关系式（y₁=5x，y₂=30−4x），并思考：两人相遇时对应图象上的什么位置？ 情境：相遇问题中的两条一次函数图象 （2）探究新知（16分钟） 探究1（方程与函数）：把二元一次方程x+y=5变形为y=−x+5，则它的解与直线y=−x+5上的点有什么对应关系？（每个解对应直线上一个点，直线上每个点的坐标都是方程的解） 探究2（方程组与交点）：解方程组{x+y=5, 2x−y=1}，并把两个方程分别变形为y=−x+5、y=2x−1，在同一直角坐标系中画出两条直线，观察交点的坐标与方程组的解的关系。（交点坐标就是方程组的解） 探究：二元一次方程组解的几何意义（图象交点） （3）例题精讲（12分钟） 例7　用图象法解方程组{x+y=3, 2x−y=0}。 解析：分别变形为y=−x+3、y=2x，画出两条直线，交点坐标为(1,2)，故方程组的解为{x=1, y=2}。 追问：若两条直线平行（如y=2x+1与y=2x−3），对应的方程组有解吗？（无解，两直线无交点） （4）变式巩固（8分钟） 变式：由图象交点直接读出方程组的解 变式1　如图，直线l₁：y=x+1与直线l₂：y=−x+3交于点P，直接写出方程组{y=x+1, y=−x+3}的解。（P(1,2)，解为{x=1, y=2}） 变式2　一次函数y=kx+b的图象经过点(−2,0)和(0,4)，求它与x轴交点的横坐标并说明该横坐标是哪个方程的解。（x=−2，是方程kx+b=0的解） （5）课堂小结（4分钟） 数形结合链条：二元一次方程→直线；二元一次方程组→两直线交点；图象法解方程组直观但不够精确，代数法（代入、加减）精确。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：利用图象法说明"方程组无解、唯一解、无数解"各对应两直线的什么位置关系。 九、教学评价设计 评价维度 评价方式 评价要点 知识理解 课堂提问、限时小测 函数概念、一次函数概念、图象性质表述准确 技能操作 板演、作业批改 描点画图规范、待定系数法四步完整 应用建模 情境探究表现、项目作业 能从情境抽象函数关系式，会解读分段函数 思维发展 变式拓展、错题反思 能比较辨析概念，会用数形结合分析问题 十、教学资源与准备 多媒体课件（含高铁、气温、网约车、阶梯水费等情境素材）、几何画板或GeoGebra动态演示、坐标纸、学生学案（详见同章导学案）、分层训练卷（详见同章分层训练）。 （本教学设计依据2024版沪科版八年级上册教材编写，全部图片为教学原创示意图，与课文内容一一对应。） 学科网（北京）股份有限公司 $污科版八年级数学上册第12章《函数与一次函数》教学 设计 (2024版新教材·全章6课时·含图与场景化教学流程) 一、教材分析 本章是沪科版(2024版)八年级上册第12章，属于"数与代数"领域"函数"主题的 起始章节，是初中数学从"常量数学"走向"变量数学"的转折点。本章由"12.1函数"12.2 一次函数"12.3一次函数与二元一次方程"三节组成，学生在七年级已学习代数式、方 程（组）与不等式，具备用代数方法刻画等量关系的基础：本章在此基础上引入变 量、常量、函数的概念，系统学习函数的概念、三种表示方法及一次函数的图象与性 质，并借助一次函数模型解决实际问题。函数思想、数形结合思想贯穿整个初中乃至 高中，本章是后续学习反比例函数、二次函数的知识与方法起点。 二、全章知识结构 函要装数 器 漫 品 先超 美 方案提器国 主线：用一条直线描述变化、预测未来 全章知识结构图（情境抽象一→三种表示→模型应用） 三、课标要求与核心素养 《义务教育数学课程标准(2022年版)》对本学段的要求：结合实例探索并理解 函数的概念、函数自变量的取值范围与函数值；能用描点法画出一次函数的图象，根 据图象和解析式探索并理解k>0、k<0时图象的变化情况；会用待定系数法求一次函 数解析式：能用一次函数解决简单实际问题：体会一次函数与二元一次方程（组）的 关系。 本章重点发展：数学抽象（从情境中抽象出函数模型）、几何直观（图象与性 质)、模型观念（用一次函数建模解决实际问题）、应用意识。 四、学情分析 学生已具备用字母表示数、列代数式、解方程（组）的能力，但"变量"对应关系 "运动变化"的思维刚刚起步，抽象出函数概念是本阶段难点。学生生活经验丰富（温 度变化、出租车计费、水费阶梯等)，但缺乏用数学语言刻画变化规律的意识。教学 中应以真实情境为载体，让学生经历"观察一列表一描点一连线一归纳"的完整过程， 从具体到抽象逐步建立函数概念。 五、教学目标 1.结合具体情境理解变量与常量、函数的概念，能确定函数自变量的取值范围， 会求函数值： 2.会用列表法、解析式法和图象法表示函数，并能从图象中读取信息： 3.掌握一次函数与正比例函数的概念；会用描点法画一次函数图象，理解k、b 对图象的影响： 4.会用待定系数法求一次函数解析式，能建立一次函数模型解决分段计费、行 程、方案选择等实际问题； 5.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。 六、教学重难点 重点：函数概念的建立：一次函数图象与性质：用待定系数法求解析式：一次函 数模型的应用。 难点：对函数概念中"唯一确定对应"的理解：从实际问题中抽象并建立函数模 型；分段函数图象的理解与计算 七、课时安排 对应教 课时 教学内容 核心任务 材 第1 变量与常量、函数的概 从气温、高铁等情境抽象函 课时 念 数概念 12.1 第2 函数的表示方法 列表、解析式、图象三种表 12.1 课时 示，描点法画图 第3 概念辨析、判定、字母系数 一次函数与正比例函数 课时 条件 12.2 第4 一次函数的图象与性质 k、b对图象的影响，增减性 12.2 课时 第5 求解析式，水费、网约车、 待定系数法及应用 12.2 课时 方案选择建模 第6 一次函数与二元一次方 图象交点与方程组的解 12.3 课时 程（组） 八、分课时教学设计 第1课时变量与常量、函数的概念(12.1) 【课型】新授课 【课时】1课时 1.教学目标 (1)通过具体情境理解变量、常量的概念，能区分问题中的变量与常量： (2)理解函数的概念，能判断两个变量之间是否具有函数关系： (3)会求简单函数自变量的取值范围和函数值。 2.教学重难点 重点：函数概念的形成与理解。难点：理解"对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与之对应"。 3.教学过程 (1)情境导入(8分钟) 某地一天中气温随时间的变化 25 920 204 时刻t(时) 6 情境一：某地一天24小时气温变化折线图（读图发现气温随时间变化） 情境一：展示某地一天24小时气温变化图。教师提问：①气温是随时间变化的 吗？②在每一时刻，气温有几个值与之对应？③这一天中最高气温、最低气温分别出 现在什么时候？ 情境二：G字头高铁从合肥南站出发，行驶速度约为300kh。设行驶时间为t h,行驶路程为skm,s与t之间满足什么关系？若列车以该速度匀速行驶2h,路程是 多少？ 设计意图：从"图形与表格"式子"两个角度引入变化过程，让学生直观感受"一个 量随另一个量变化而变化"，为抽象函数概念积累素材。 （(2)探究新知（15分钟) 探究1（变量的定义）：在上述两个情境中，找出在变化过程中数值发生变化的量 (时间t、路程s、气温T、时刻t)和始终不变的量（速度300kh)。给出变量、常 量定义。 探究2（函数概念)：以"气温一时刻"为例，引导学生归纳：在某个变化过程中， 有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那 么就说y是x的函数，x是自变量。 追问辨析（判断题)：①yx2中，y是x的函数吗？②x+y=1中，y是x的函数 吗？③y(x之0)中，y是x的函数吗？通过反例强化概念的关键词"每一个"唯一确 定"。 (3)例题精讲（10分钟) 例1下列各式中，y不是x的函数的是()。A.y=2x-1B.y=3/x(x0) C.yx2D.y=±x 解析：选项D中，当x=1时，y=±1，有两个值与之对应，不符合"唯一确定"，故 y不是x的函数，选D。 例2某蓄水池蓄水量为1500m,用抽水机每小时抽水120m。设抽水时间为t h,池中剩余水量为Qm。(1)写出Q与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取 值范围：(2)抽水10h后，池中还剩多少水？ 例2蓄水池抽水情境示意图 解析：（1)Q=1500-120t,由Q≥0得0s≤12.5；(2)当=10时， Q-1500-120×10=300,还剩300m。 (4)变式巩固（10分钟) 变式1求下列函数中自变量x的取值范围：①y=3x+1;②yx/(x-2): ③y=(2x-1)/x+3)。(整式取全体实数；分母非零得x≠2；分母非零得x≠-3) 变式2某市出租车收费标准：起步价10元(3kam以内)，超过3km的部分每 千米2.5元。设行驶xkm(x>3)时应付车费y元，写出y与x的关系式，并求行驶8 km应付多少元。(y=10+2.5(x-3),x8时y=22.5元) (5)课堂小结(4分钟) 学生回顾：什么是变量与常量？什么是函数？函数概念中的关键是什么？求自变 量取值范围有哪些类型（整式、分式、实际问题中的限制）？ 板书设计（知识框图）：变量与常量→函数概念（唯一确定）→自变量的取值范 围函数值 4.作业布置 必做：教材12.1练习及习题；选做：调查家里本月电费随用电量变化的规律，用 表格记录并尝试写出关系式。 第2课时函数的表示方法(12.1) 【课型】新授课 【课时】1课时 1.教学目标 (1)掌握函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法，能根据具体问题选 择合适的方法： (2)会用描点法画函数图象，并能从函数图象中读取信息。 2.教学重难点 重点：描点法画函数图象并读取信息。难点：理解图象上点的坐标与函数值的对 应关系。 3.教学过程 (1)情境导入（5分钟) 展示小亮从家到学校的三种记录：①表格（时间一路程）；②关系式s=50:③图 象（折线图）。提问：这三种方式都能表示路程与时间的关系吗？它们各有什么特 点？ 241出HE田 情境：同一变化过程的三种表示方法 (2)探究新知（15分钟) 探究1（描点法画图）：以y=2x-1为例，列表（取x=-1,0,1,2,3)→描点→连线， 教师示范步骤，强调"取自变量与函数值的对应值作为点的坐标"。 探究2（读图信息)：展示"小明上学途中路程一时间"图象（先匀速、后停留、再 加速)，让学生描述每一段的行为，体会图象的直观性。 =X地 探究：描点连线画函数图象 (3)例题精讲（12分钟) 例3一列动车从合肥出发开往上海，全程约460km,动车以200kmh的速度匀 速行驶。设行驶时间为th,距上海的路程为skm。(1)写出s与t的函数关系式： (2)用描点法画出这个函数的图象(20)：（3)行驶2h后，距上海还有多远？ 解析：（1)s=460-200t:(2)列表描点连线，得到一条直线：(3)当=2时， s=460-400=60(km)。 1200 s=300 900 600 300 3 时间t(时) 例3高铁行程情境图 (4)变式巩固（10分钟) 变式某水库的水位在5h内持续上涨，每小时上升0.3m,初始水位为3m。设 经过th后水位为hm。(1)写出h与t的关系式：(2)画出0≤t≤5时的图象：(3) 根据图象估计=3.5时水位约为多少米。(h=3+0.3t,t=3.5时h=4.05m) (5)课堂小结（4分钟) 三种表示方法各自的优点：列表法直观显示对应值；解析式法精确便于计算；图 象法形象反映变化趋势。画图象步骤：列表、描点、连线。 4.作业布置 必做：教材课后习题：选做：利用周末测量家中水龙头每分钟滴水量，用三种方 式表示滴水时间与滴水量关系。 第3课时一次函数与正比例函数（12.2) 【课型】新授课 【课时】1课时 1.教学目标 (1)理解一次函数与正比例函数的概念，能判断一个函数是否为一次函数（正比 例函数)； (2)能根据条件确定一次函数解析式中的字母参数。 2.教学重难点 重点：一次函数与正比例函数的概念及判定。难点：含参数的一次函数条件讨 论。 3.教学过程 (1)情境导入(6分钟) 情境：某网约车平台计价规则为"起步价12元（含3ku)，超出部分每千米2.4 元"。设乘车里程为xk(x>3),应付车费为y元，写出y与x的关系式 (y=12+2.4(x-3)=2.4x+4.8)。追问：若某专车"一口价"为每千米3元，应付y=3x。比 较两个式子结构上的共同点。 251 起步价10元（含3km) B15 行驶路程x(km) 情境：网约车计费中的一次函数 (2)探究新知（15分钟) 探究1（概念归纳）：将y=2.4x+4.8、y=3x、y=-5x+2、yx等式子按"是否含常数 项"分类，归纳：一般地，形如y=x+b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数： 当b0时，ykx(k0)叫做正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。 探究2（概念辨析）：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ ①y=2x;②y=-3x+1;③yx;④y=5/x;⑤y=2(x+1)-2。指出①②⑤是一次函数，其 中①⑤是正比例函数。 (3)例题精讲（12分钟) 例4已知函数y=m-2)x+m?-4。(1)当m取何值时，y是x的一次函数？(2) 当m取何值时，y是x的正比例函数？ 解析：(1)一次函数要求x的系数不为0，即m-20,m≠2；(2)正比例函数要 求m-2≠0且m2-4=0,即m=-2。 追问：若一次函数y=(2k一1)x+3k的图象经过原点，求k的值。（图象过原点即 b0:3k=0,k0,且2k-1≠0成立) y=-2 例4：正比例函数与一次函数图象对比 (4)变式巩固（10分钟) 变式1已知y=(n+1)x+2-3是一次函数，求n的取值范围(n≠-1)；若它又是正 比例函数，求n的值(n=3/2)。 变式2等腰三角形的顶角度数为y°，底角度数为x°，写出y与x的函数关系 式，并指出自变量取值范围(y=180-2x,0<x<90),该函数是一次函数吗？ (5)课堂小结（4分钟) 次函数y=kx+b(k0):k是斜率，b是截距：正比例函数是b0的特例：判断 时注意k0这一隐含条件。 4.作业布置 必做：教材习题；选做：写出你身边一个一次函数关系的实例，并说明k、b的实 际意义。 第4课时。 一次函数的图象与性质（12.2) 【课型】新授课 【课时】1课时 1.教学目标 (1)会用描点法画一次函数的图象，知道一次函数的图象是一条直线： (2)理解k、b对一次函数图象位置与变化趋势的影响，掌握一次函数的增减 性。 2.教学重难点 重点：一次函数图象的画法及性质归纳。难点：理解k、b的几何意义与增减性的 本质。 3.教学过程 (1)情境导入(5分钟) 某登山队从海拔1200m处出发，以平均每分钟上升40m的速度攀登，设登山时 间为tmin,所处海拔为hm,则h=1200+40t。提问：图象大致是什么形状？图象从左 到右是上升还是下降？ V=3X 情境：k>0时一次函数图象（上升） (2)探究新知（18分钟) 探究1（图象形状）：在同一直角坐标系中画出y=2x、y=2x+3、y=2x-2的图象， 观察三条直线的位置关系（平行），归纳一次函数图象是一条直线，两点即可确定， 画图通常取与坐标轴的交点。 探究2(k的作用)：画y=2x、y=一2x,观察增减性：k>0时，y随x增大而增 大；k<O时，y随x增大而减小。 探究3(b的作用)：对比y=2x与y=2x+3、y=2x-2,b决定直线与y轴交点的纵 坐标(0，b),直线可由yx平移b个单位得到(b>0向上，b<0向下)。 y三X y=x-2 探究：b对图象位置的影响（平移） (3)例题精讲（12分钟) 例5已知一次函数y=(2m-3)x+1-m。(1)当m取何值时，y随x增大而减小？ (2)当m取何值时，图象经过原点？（3)当m取何值时，图象与y轴交于负半轴？ 解析：(1)2m-3<0,m<3/2:(2)图象经过原点，则b=0且k≠0：1-m0且 2m-3≠0，m=1;（3)交y轴负半轴：1-m<0且2m-3≠0，m>1。 (4)变式巩固(8分钟) 变式：四宫格中四个一次函数图象（判断k、b符号） 变式1观察四幅一次函数图象，判断各图中k、b的符号。 变式2点A(-1,y)、B(3,y2)都在直线y=-2x+1上，比较y1与y2的大小。(k<0, y随x增大而减小，y1>y2) (5)课堂小结(4分钟) 口诀归纳：k正上坡、k负下坡：b定截距、平移动画：两点定线、数形结合。 4.作业布置 必做：教材习题：选做：探究越大直线越陡这一现象，并举出生活中的实例。 第5课时待定系数法求解析式与一次函数应用(12.2) 【课型】新授课 【课时】1课时 1.教学目标 (1)掌握待定系数法求一次函数解析式： (2)能建立一次函数模型解决水费、电费、网约车等分段计费与方案选择问题。 2.教学重难点 重点：待定系数法：一次函数建模。难点：分段函数的图象理解与实际意义解 读。 3.教学过程 (1)情境导入(6分钟) 情境：小明用"打气筒给自行车胎打气"，胎内气压p(kPa)与打气次数n满足一 次函数关系。打了20次时气压为200kPa,打了50次时气压为350kPa。提问：如何 求p与n的关系式？从而引出"已知两个点的坐标，求解析式"的问题一待定系数法。 V=X B3,0) C5,0) 情境：动态变化中的一次函数 (2)探究新知（14分钟) 探究（待定系数法步骤）：已知一次函数图象经过点A(1,3)、B(2,5),求解析式。 步骤归纳：①设：设解析式为y=kx+b(k0);②代：把两点的坐标代入，得方程 组；③解：解方程组得k、b:④写：写出解析式。 学生活动：独立完成上述步骤，教师强调"设一代一解一写"四步规范。 (3)例题精讲（16分钟) 40 E 超过部分每吨3.5元 20 10 10 用水量x(吨) 例6：阶梯水费分段函数图象 例6某市居民用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过15时，水价为3元 m3:超过15m不超过25m的部分，水价为4.5元m3（为简化，只设两档)。（1) 写出月水费y(元)与用水量x()之间的函数关系式：(2)画出图象：(3)小明 家本月用水20m,应付水费多少元？ 解析：(1)当0sx≤15时，y=3x:当15<x≤25时， y=3×15+4.5(x-15)=4.5x-22.5:(2)图象为两条线段：(3)x=20时， y=4.5×20-22.5=67.5（元)。 追问：若小明家上月水费为90元，则用水多少立方米？(90>67.5，属于第二 档：4.5x-22.5=90,x=25m3) (4)变式巩固(8分钟) 变式1一次函数图象经过点(0,4)和(2,0)，求解析式并写出与两坐标轴围成的三角 形面积。（y=-2x+4,面积=×4×2=4) 变式2学校组织研学，租车方案：甲方案每辆45座大巴，日租金1200元；乙方 案每辆30座中巴，日租金900元。若出行人数为300人，应如何选择更省钱？（设租 甲车x辆，则乙车(300-45x)/30辆：总费用 y=1200x+900×(300-45x)/30=1200x+27000-1350x=-150x+27000,x越大越省，x最大取 整数使45x≤300，x=6,需乙车1辆，共y=27000-900=26100元) 20 16 B 方案-y=2x 方案二y=x+8 6 10 租用天数X 变式2：租车方案选择示意图 (5)课堂小结（4分钟) 待定系数法四步：设一代一解一写：分段函数注意分段点"不重不漏”；应用题的 答题规范：设元→建模→求解→检验→作答。 4.作业布置 必做：教材习题；选做：调查本地出租车或网约车计费规则，写出车费与里程的 函数关系式并画出图象。 第6课时一次函数与二元一次方程（组） （12.3) 【课型】新授课 【课时】1课时 1.教学目标 (1)理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，知道二元一次方程组的解就是 对应两个一次函数图象交点的坐标： (2)会用图象法解二元一次方程组，能利用交点解决实际问题。 2.教学重难点 重点：图象交点与方程组解的关系。难点：将方程（组）问题转化为函数图象问 题。 3.教学过程 (1)情境导入(6分钟) 情境：甲乙两人从相距30km的两地同时相向而行，甲的速度为5kmh,乙的速 度为4km/。设出发xh后，甲距出发地的路程为y1km,乙距甲出发地的路程为y2 km。写出y1、y2与x的关系式(y1=5x,y2=30-4x),并思考：两人相遇时对应图象上 的什么位置？ 0 10 2 时间x(时) 情境：相遇问题中的两条一次函数图象 (2)探究新知（16分钟) 探究1（方程与函数）：把二元一次方程x+y=5变形为y=一x+5,则它的解与直线 y一x+5上的点有什么对应关系？（每个解对应直线上一个点，直线上每个点的坐标都 是方程的解) 探究2（方程组与交点)：解方程组x+y=5,2x-y=1),并把两个方程分别变形为 y=一x+5、y=2x-1,在同一直角坐标系中画出两条直线，观察交点的坐标与方程组的解 的关系。（交点坐标就是方程组的解） y=X+1 y=-x+3 探究：二元一次方程组解的几何意义（图象交点） (3)例题精讲（12分钟) 例7用图象法解方程组{x+y=3,2x-y=0}。 解析：分别变形为y=-x+3、y=2x,画出两条直线，交点坐标为(1,2)，故方程组的 解为{x=1,y=2)。 追问：若两条直线平行（如y=2x+1与y=2x-3),对应的方程组有解吗？（无 解，两直线无交点) (4)变式巩固(8分钟) y=x-1 y=-2x+5 变式：由图象交点直接读出方程组的解 变式1如图，直线1：yx+1与直线12：y=-x+3交于点P,直接写出方程组 {yx+1,y=-x+3}的解。（P(1,2),解为{x=1,y=2}) 变式2一次函数y=x+b的图象经过点(-2,0)和(0,4)，求它与x轴交点的横坐标并 说明该横坐标是哪个方程的解。（x=-2,是方程kx+b=0的解) (5)课堂小结（4分钟) 数形结合链条：二元一次方程→直线：二元一次方程组→两直线交点；图象法解 方程组直观但不够精确，代数法（代入、加减)精确。 4.作业布置 必做：教材习题；选做：利用图象法说明"方程组无解、唯一解、无数解"各对应 两直线的什么位置关系。 九、教学评价设计 评价维 度 评价方式 评价要点 知识理 课堂提问、限时小 函数概念、一次函数概念、图象性 解 测 质表述准确 技能操 板演、作业批改 描点画图规范、待定系数法四步完 作 整 应用建 情境探究表现、项 能从情境抽象函数关系式，会解读 模 目作业 分段函数 思维发 变式拓展、错题反 能比较辨析概念，会用数形结合分 展 思 析问题 十、教学资源与淮备 多媒体课件（含高铁、气温、网约车、阶梯水费等情境素材）、几何画板或 GeoGebra动态演示、坐标纸、学生学案（详见同章导学案）、分层训练卷（详见同章 分层训练)。 (本教学设计依据2024版沪科版八年级上册教材编写，全部图片为教学原创示意 图，与课文内容一一对应。)