精品解析：湖南邵阳市2027届高三上学期第一次联考数学试题

邵阳市2027届高三第一次联考试题卷 数 学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，再求模即可. 【详解】复数z满足，则， 所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得，， 又， 所以. 3. 已知向量与的方向相同，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】向量与的方向相同，，可设，， 由，解得，所以有. 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点， 则有，， 所以. 5. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和双曲线关于原点中心对称得出点坐标. 【详解】由双曲线定义，，所以， 又直线和双曲线都关于原点中心对称，所以交点也关于原点对称， 不妨设，且，又，所以， 代入双曲线方程，得出， 所以的面积为. 6. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（ ） A. 284 B. 381 C. 384 D. 484 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差、等比数列性质，先求前三项，再求等比数列公比，最后分组求和得到总粟米铢. 【详解】已知 ， 成等差数列，则 ， 所以又 ， 所以得，， 后7项成等比数列，设公比为，则， 由 ，得，得解得 或 ， 因为粟米质量从小到大，数列递增，舍去负根，得， 所以， 所以， 则这9人所得粟米质量和的铢数为. 7. 已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据奇函数性质求得，再求的定义域，并结合复合函数单调性法则“同增异减”判断即可. 【详解】 ， 因为是定义在R上的奇函数， 所以，即恒成立， 所以，解得， 所以，定义域为， 所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”可得在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数的单调递增区间为. 8. 近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（ ） A. 2376 B. 2352 C. 2208 D. 2068 【答案】B 【解析】 【分析】利用间接法，先求总排列数，再减去恰好 3 对、恰好 4 对字母相邻的情况，得到至多两对相同字母相邻的排列种数. 【详解】8 个字母包含4对重复字母（BB、WW、MM、FF），， ① 恰好4对全部相邻：把4对重复字母各自捆绑为1个整体，共4个独立模块，全排列数是， ② 恰好3对相邻：先从4对字母中选3对，将其对应相同字母捆绑，选法为种，将3对捆绑的整体排列，排列数是种，3个整体排列后形成4个空隙，将剩余2个相同的字母插入空隙，因为两个字母相同，所以插空方法共有种， 所以该类排列数为种， 利用间接法，至多两对相邻排列数 = 总排列数 − 恰好3对相邻 − 恰好4对相邻， 所以不同排列种数为. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B、D，利用二次函数的性质可判断C． 【详解】对于A，由于，当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当，时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当时等号成立，因此的最小值为，故D正确． 10. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇函数推中心对称、偶函数推轴对称，通过变量替换联立等式，推出函数递推关系 和周期T=4；再结合特殊点函数值、周期求和公式，逐一验证所有选项，最终确定正确答案. 【详解】 是奇函数 ，函数关于点 中心对称， 是偶函数 ，令 ，得，函数关于直线 轴对称，得， 对于A，由 ，令 ，得，所以，故A 错误； 对于B， ，把 换成 ，得，因 ， 则有，再把 换成 ，得， 两式相减，可得，即的一个周期为 4，故B正确； 对于C，由上分析已得，故 C正确； 对于D，已知 ，周期为 4，， 由，得，又因， ， 得，由 的周期为4，得， 则函数在一个周期内的和是， 因为，所以，故D 错误. 11. 如图，半圆锥的底面直径的长为2，顶点V为矩形的边的中点，母线的长为2，P为半圆弧上任意一点（P不与A，D重合），则下列结论正确的是（ ） A. 该半圆锥的表面积为 B. 三棱锥的四个面都为直角三角形 C. 当直线与平面所成的角为时，异面直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项,半个圆锥的表面积为一个弧面、一个半圆、一个三角形的面积之和；对于B选项，主要运用线面垂直的判定定理从而证明线线垂直然后得出直角三角形；对于C选项，建立空间直角坐标系，求出与的向量坐标，再运用向量的相关计算求出异面直线与所成角的余弦值；对于D选项，先求出P点坐标，再求出三棱锥的外接球的球心，然后求出所得截面的半径从而求出面积. 【详解】对于A选项，因为，所以, 半圆锥的表面积等于圆锥侧面的一半+半圆+， 即，故A选项正确； 对于B选项，取的中点连接，因为为半圆锥的圆心，为半圆锥的顶点， 所以平面，又因点和点分别是，的中点，所以， 所以平面，所以， 所以为直角三角形，三点在圆上且为直径， 所以，且，所以平面， 又平面，故，， 所以为直角三角形， 综上所述三棱锥的四个面都为直角三角形，故B选项正确. 对于C选项，以为x轴，以为y轴，如下图作z轴建立空间直角坐标系， 则，，故， 由题可设，其中， 因为直线与平面所成的角为且面，面， 故面面，且面面，所以P投影在面上点在直线上， 故，所以， 即，且，解得，故， 因此，， 则异面直线与所成角的余弦值为，故C选项错误； 对于D选项， 运用到C选项的空间直角坐标系，除点P坐标未知其余坐标不变， 因为， h为的长，以为底，高为点到的距离，因为三棱锥的体积最大， 所以点到的距离就要最大，所以， 设三棱锥的外接球的球心， 则，解得， 球的半径，，， ，，设面的法向量， 则，令，则，故， 则点M到面的距离为， 故平面截三棱锥的外接球所得截面的半径， 平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为，故D选项正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在数列中，，，则__________． 【答案】7 【解析】 【详解】由题意得，． 13. 已知函数，．若，，满足，则实数a的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】将双变量问题转化成. 【详解】因为，，满足，所以， 对于对称轴，在上单调递减，在上单调递增，所以， 又在上单调递增，，解得， 实数的最小值为. 14. 已知a，b，，且，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题首先对已知等式变形，利用经典不等式进行同构，得到，之间的关系式；再对目标多项式配方，转化为点到直线距离的几何模型，将三元最值问题降为单变量函数最值；最后利用导数求函数极值，验证等号成立条件，求出最小值. 【详解】由题中可知，所以同时除以整理得，， 又，所以， 令，则方程变为，因为当且仅当取等号， 所以，则， ， 该式子的几何意义是点到直线上点的距离的平方， 所以其最小值即为点到直线距离的平方， 因为，构造函数，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以取得最小值，即所求多项式的最小值为. 【点睛】利用经典不等式同构得到，之间的关系式是本题的突破口；三元二次式配方转化为点到直线距离简化了多元最值问题的求解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角正切值． 【答案】（1）证明：取棱的中点为G，连接，，如图所示． 因为点E为的中点，所以，且． 又F为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建系求出两个平面法向量，利用法向量夹角余弦求二面角的余弦；（2）再利用同角三角函数关系，算出正切值，注意平面夹角取锐角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，由题意，以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 不妨设，则，，，， 所以，． 设平面的一个法向量为，则， 则，取，则． 又平面，则是平面的一个法向量， 所以． 设平面与平面的夹角为，则，， 所以， 所以平面与平面的夹角正切值为． 16. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得，用正弦定理边化角，化简得，结合锐角三角形，即可求出角； （2）由中线向量公式得，结合余弦定理，得，再用正弦定理表示，由锐角条件求其范围，即得范围. 【小问1详解】 因为，所以． 在中，由正弦定理得：， 展开得：，即． 因为，得．又，故． 【小问2详解】 因为点是边的中点，由向量中线公式：， 两边平方得：，即． 因为，，由余弦定理得：， 则，故． 所以． 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则． 又， 则 ． 由，得，故， 所以，， 故的长的取值范围为． 17. 设集合，从集合的所有非空子集中任意选择一个集合，即且，记集合B中的最小元素和最大元素分别为随机变量X，Y． （1）当时，求事件“且”的概率； （2）求随机变量Y的分布列； （3）在的条件下，求X的数学期望． 【答案】（1） （2），其中，2，3，…， （3） 【解析】 【分析】（1）集合B共有15个，并用列举法得到事件“且”的概率； （2）求出Y的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）求出，当，，2，3，…，时，，结合错位相减法求和，得到数学期望 【小问1详解】 当时，非空子集B共有个，符合题意的子集只有，两个， 所以． 【小问2详解】 由题意得：Y的所有可能取值为1，2，3，…，，非空子集B共有个． 当时，集合B中必须包含元素k，不含大于k的元素，符合题意的子集B共有个， 故，其中，2，3，…，n． 【小问3详解】 当时，集合B中必须包含元素n，符合题意的子集B共有个． 当时，； 当，，2，3，…，时，； 因此，记， 即，① ，② ①-②得：， 整理得：． 即． 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，． （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）（i）证明：由（1）得：，， 当直线的斜率不存在时，易知直线，的斜率同号，不合题意； 所以直线的斜率存在，设直线． 联立，消去得：． 则，化简得：． 设，，由韦达定理得：，． 因为，则． 代入，，得：． 展开整理得：， 将韦达定理代入，化简得：． 解得（舍去，直线过点）或． 故直线方程为，恒过定点． （ii） 【解析】 【分析】（1）由短轴长得，离心率，结合求出，得标准方程； （2）（ⅰ）设，联立椭圆得韦达定理，由代入化简，得，解得，故直线恒过定点；（ⅱ）中固定，面积最大等价于到距离最大，即为椭圆左右顶点，由 求斜率，得的斜率为. 【小问1详解】 由离心率，得．又短轴长为，故． 由，代入得：，故． 所以椭圆的标准方程：． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）要使的面积取得最大值，又，则点横坐标的绝对值最大， 若为的右顶点，，此时的斜率为，， ，消去得， ，满足题意，此时直线的斜率为． 同理可得，当为左顶点时，直线的斜率为， 所以的斜率为． 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 【答案】（1） （2）证明：由题意得，． 因为有2个极值点a，b，则有两个正根a，b． 则，解得． 所以 ． 设，，则． 因为，所以，则， 所以在区间上单调递增． 即， 所以． （3）设， 当时，．又恒成立，则在上单调递减； 当时，．又恒成立，则在上单调递增． 因为方程在上有2个不同的根，， 又时，，如图所示： 所以，． 又在处的切线方程为，设，． 当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则． 即当时，． 与，的两个交点的横坐标分别为与， 则有，同时． 过点和的直线方程为， 该直线与的交点的横坐标为，同理可证：， 所以． 综上所述，成立． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，根据函数单调性得到恒成立，参变分离，结合基本不等式可得答案； （2）根据极值点情况可得不等式，得到，，故，设，，求导，得到的单调性，得到，证明出结论； （3）设，求导，得到的单调性，画出的图象，数形结合得到，．又在处的切线方程为，设，求导，得到的单调性，得到，并得到过点和的直线方程为，该直线与的交点的横坐标为，同理可证，所以，可得成立． 【小问1详解】 的定义域为，． 因为在上单调递增，所以恒成立． 则，即在上恒成立，所以． 因为，当且仅当时，等号成立． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】极值点个数的判断问题，一般转化为方程根的个数，求导后若可以化为二次函数，可以利用根的判别式及韦达定理求解，若不是二次函数，则研究函数的单调性，借助函数图象研究，在完成此类题目时，往往会将多元问题转化为一元问题进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市2027届高三第一次联考试题卷 数 学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的方向相同，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-9，，为此双曲线的左、右焦点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（ ） A. 284 B. 381 C. 384 D. 484 7. 已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 近期，电影《功夫女足》热映，片中经典台词“，”深入人心，其哲学内涵被广大网友反复讨论．某数学兴趣小组从中提取四个首字母B，W，M，F，各取两次（即共8个字母：B，B，W，W，M，M，F，F）并排成一排．若至多有两对相同的字母相邻，则这8个字母的不同排列种数为（ ） A. 2376 B. 2352 C. 2208 D. 2068 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 10. 已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为4 C. D. 11. 如图，半圆锥的底面直径的长为2，顶点V为矩形的边的中点，母线的长为2，P为半圆弧上任意一点（P不与A，D重合），则下列结论正确的是（ ） A. 该半圆锥的表面积为 B. 三棱锥的四个面都为直角三角形 C. 当直线与平面所成的角为时，异面直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在数列中，，，则__________． 13. 已知函数，．若，，满足，则实数a的最小值为__________． 14. 已知a，b，，且，则的最小值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角正切值． 16. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 17. 设集合，从集合的所有非空子集中任意选择一个集合，即且，记集合B中的最小元素和最大元素分别为随机变量X，Y． （1）当时，求事件“且”的概率； （2）求随机变量Y的分布列； （3）在的条件下，求X的数学期望． 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆交于两点，点不在上，直线，的斜率分别为，． （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）过点作直线的垂线，垂足为点．当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 19. 已知函数，． （1）若在定义域上单调递增，求m的取值范围； （2）若有两个极值点a，b，证明：； （3）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $