专题1.3 空间点向量及其运算的坐标表示讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间点向量及其坐标运算核心知识点，系统梳理空间直角坐标系建立、点坐标表示（含对称点）、特殊向量坐标特征，以及向量坐标运算（距离、加减、数量积、模长、夹角、平行垂直条件），构建从基础概念到运算应用的学习支架。 资料通过“即学即练”与分题型设计（如长方体中点坐标、向量平行垂直应用），引导学生用数学眼光抽象空间关系，以数学思维推理运算逻辑，用数学语言规范表达。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升空间观念与运算能力。

专题1.3 空间点向量及其运算的坐标表示-重难点题型（讲） 知识点01：空间直角坐标系与点的坐标表示 1、空间直角坐标系 在空间选定点和一个单位正交基底 以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴。 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量， 通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面. 空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系. 2、空间一点的坐标表示 在空间直角坐标系中为坐标向量。 给定任一向量，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。 也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作. 空间点对称的特点：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解。 对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论。 3.特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 【即学即练】 1．（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 知识点02：空间向量的坐标运算 1、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或 2、向量加减法、数乘的坐标运算 若，，则： ①； ②； ③； 3、向量数量积的坐标运算 若，，则：； 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 4、空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，， 则①，． ②． 【注意】 （1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 5、空间向量平行和垂直的条件 若，， 则①，， ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 【即学即练】 1．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的加减运算和模长计算，即可求解. （2）分别先算出、利用垂直求实数的值即可. 【详解】（1）∵，，，，. ∴， 于是， ， . （2）∵， ， 又与互相垂直， ∴. 即. ∴，. 题型01 空间直角坐标系及坐标表示 1．（25-26高二上·全国·课后作业）在以为原点，以为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量坐标的线性运算求解. 【详解】， 所以点的坐标为． 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）在长方体中，，点为的中点，点为上靠近点的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出与点的坐标； (2)写出向量与的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据如图所示的空间直角坐标系以及长方体的长宽高可直接写出点的坐标； （2）利用向量坐标的线性运算可得向量的坐标. 【详解】（1）由题意得，所以 （2）取此空间直角坐标系下三个方向上的单位向量为正交基底， 则， 由（1）得， 所以，． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标． 【答案】 建立如图所示的空间直角坐标系． 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0， 而E为DD1的中点，故其坐标为. 由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知FM＝，FN＝， 故F点坐标为. 因为CG＝CD，G，C均在y轴上， 故G点坐标为. 由H作HK⊥CG，可得DK＝，HK＝， 故H点坐标为. 【分析】分别根据各点在轴上的投影可得坐标. 【详解】略 4．（25-26高二上·全国·课前预习）已知正方体的棱长为2，分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系． （1）写出各顶点的坐标；        （2）写出向量的坐标． 【答案】（1），，，； （2）．，. 【分析】（1）设轴、轴、轴的单位向量分别为．利用空间向量的运算求得从原点出发到各顶点的向量关于的线性表达式，进而可得各点坐标； （2）根据线段的中点坐标公式求得的坐标，然后利用向量的坐标等于终点坐标减起点坐标得解. 【详解】解:（1）设轴、轴、轴的单位向量分别为． 因为正方体的棱长为2．所以， 因为，所以． 又因为，所以． 同理可得，． （2）因为分别为棱，的中点 由中点坐标公式，得． 所以．， 题型02 空间点的对称问题 5．（25-26高二上·广西·阶段检测）在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点关于平面对称的特点即可得到答案. 【详解】依题意知，横坐标，纵坐标不变，竖坐标变为原来相反数， 则点N坐标为. 故选：B. 6．（25-26高二上·广东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于平面对称求出点的坐标，再根据向量坐标运算求出的坐标. 【详解】由点与点关于平面对称，得，所以. 故选：A. 7．（25-26高二上·浙江台州·期中）点关于轴的对称点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据点关于轴的对称点的特点即可得到答案. 【详解】根据空间对称性得点关于轴的对称点的坐标为. 故答案为：. 8．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间坐标系中点的对称特征即可求解. 【详解】点关于点的对称点的坐标是， 即. 故选：A 题型03 空间向量运算的坐标表示 9．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示求解. 【详解】向量，，则. 故选：A 11．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）若是空间的一个基底，’且向量，则叫做向量在基底下的坐标．已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基底的坐标定义结合空间向量的线性运算求解即可. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 因为向量在基底下的坐标为， 所以， 则，故向量在基底下的坐标为. 故选：B. 12．（25-26高二上·山东德州·开学考试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 题型04 空间向量平行与垂直的坐标表示 13．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解. 【详解】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 14．（25-26高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求得，，结合，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 15．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 16．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知. (1)求的值： (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的数量积坐标运算计算； （2）由向量平行求出，由向量模的坐标运算计算； （3）由向量垂直的坐标运算计算. 【详解】（1）因为，所以 所以； （2），因为，所以，， 所以，所以，所以， 所以，所以. （3）， 因为，所以， 即，解得. 题型05 空间向量模长的坐标表示 17．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量满足，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】借助空间向量模长与数量积的关系，结合数量积公式计算即可得. 【详解】 . 故选：A 18．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于平面对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，得出点坐标，再利用空间向量减法的坐标运算求出向量坐标，再计算模长即可． 【详解】由点与点关于平面对称，则对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，可得， 所以， ， 故选：A． 19．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 20．（25-26高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 题型06 空间向量夹角的坐标表示 21．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积公式计算得到答案； （2）计算出的坐标，进而得到模长； （3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得，. （2），则. （3），则. 22．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【详解】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 23．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的定义和坐标运算可得，再结合即可得出，最后利用夹角公式求最值. 【详解】由题可知①， 又②，①②联立， 结合，得，. 因为， 所以当时，取得最大值为. 故选：A 24．（25-26高二上·北京西城·期中）在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围，结合选项即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、， 设，其中，则， 从而，， 所以， 当时，，则， 则， 所以， 因为，所以，结合选项可知符合题意. 故选：A 题型07 空间向量投影的坐标表示 25．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为__________. 【答案】 【分析】先由投影向量的概念求出的坐标，再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】向量在平面上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 则，因，则. 故答案为：. 26．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，写出，的坐标，然后代入投影向量公式可得到正确答案. 【详解】以为原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系, 由，，是的中点，得： ，，， 故， 故， 故， 故选：D 27．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若，，，则在上的投影向量的模为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，结合空间向量的坐标运算求投影向量的模. 【详解】因为，，，则， 所以在上的投影向量的模为. 故选：A. 28．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. (1)求向量的坐标; (2)求在上的投影向量的坐标. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求解即可； （2）利用投影向量公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，， 故． （2）由（1）可知， 所以，． 所以在上的投影向量的坐标为． 1．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 2．（25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 3．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 4．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 5．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 6．（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知，且，则（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：B 7．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 8．（25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，再利用投影向量公式即可得解. 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 9．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 【答案】ACD 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角，判断A的真假；判断数量积是否为0，判断B的真假；求投影向量，判断C的真假；根据的线性关系，判断D的真假. 【详解】对A：，所以，故A正确； 对B：因为，所以不成立，故B错误； 对C：因为，即向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对D：因为，即，所以向量与向量共面，故D正确. 故选：ACD 10．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】利用空间向量垂直的性质判断A；利用空间向量平行的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由得，存在实数，使得，则， 即，解得，，B正确； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：BC 11．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）设，向量，，，且，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用向量垂直即可求得参数x的值；利用向量平行即可求得y的值；再利用向量的夹角公式即可判断选项C；利用模长公式即可判断选项D. 【详解】对于选项A：因为，所以，解得：，故选项A错误； 对于选项B：因为，所以即,解得,故选项B正确； 对于选项C：，故选项C错误； 对于选项D：由，故，故选项D正确. 故选：BD 12．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知空间向量，，若，则______． 【答案】 【分析】应用向量加法的坐标运算得，再由向量平行的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，又， 所以，可得. 故答案为： 13．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）如图，平行六面体的底面是正方形，若，，则________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解. 【详解】 如上图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，则，， 设，由与,的夹角均为，且， 则，即，，即， 由，得， 代入，可得，据此可得， 又因为平行六面体的底面是正方形，所以上底面也是正方形， 则，所以， 用距离公式可得. 故答案为： 14．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_____. 【答案】3 【分析】根据向量垂直、平行的坐标运算得出，再利用坐标计算向量的模. 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为： 15．（25-26高二上·全国·阶段检测）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．试建立合适的空间直角坐标系，并求出点的坐标． 【答案】． 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求出点的坐标即可. 【详解】在四棱锥中，， 以点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向， 轴正方向指向平面正上方，建立如图所示的空间直角坐标系， ，设点， 由是以为斜边的等腰直角三角形，，得， 则，而，解得， 即得点，因为中点，则点的坐标为. 16．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)证明: 法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【详解】（1）略； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间点向量及其运算的坐标表示-重难点题型（讲） 知识点01：空间直角坐标系与点的坐标表示 1、空间直角坐标系 在空间选定点和一个单位正交基底 以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴。 这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量， 通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面. 空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系. 2、空间一点的坐标表示 在空间直角坐标系中为坐标向量。 给定任一向量，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。 也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作. 空间点对称的特点：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解。 对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论。 3.特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 【即学即练】 1．（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 知识点02：空间向量的坐标运算 1、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或 2、向量加减法、数乘的坐标运算 若，，则： ①； ②； ③； 3、向量数量积的坐标运算 若，，则：； 即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 4、空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，， 则①，． ②． 【注意】 （1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 5、空间向量平行和垂直的条件 若，， 则①，， ② 规定：与任意空间向量平行或垂直 作用：证明线线平行、线线垂直. 【即学即练】 1．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数的值. 题型01 空间直角坐标系及坐标表示 1．（25-26高二上·全国·课后作业）在以为原点，以为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）在长方体中，，点为的中点，点为上靠近点的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出与点的坐标； (2)写出向量与的坐标． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标． 4．（25-26高二上·全国·课前预习）已知正方体的棱长为2，分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系． （1）写出各顶点的坐标；        （2）写出向量的坐标． 题型02 空间点的对称问题 5．（25-26高二上·广西·阶段检测）在空间直角坐标系中，点与N关于面对称，则N坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东·期中）在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·浙江台州·期中）点关于轴的对称点的坐标为________． 8．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（ ） A． B． C． D． 题型03 空间向量运算的坐标表示 9．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）若是空间的一个基底，’且向量，则叫做向量在基底下的坐标．已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·山东德州·开学考试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 题型04 空间向量平行与垂直的坐标表示 13．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 14．（25-26高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 15．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知. (1)求的值： (2)设向量，求； (3)若，求的值. 题型05 空间向量模长的坐标表示 17．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知空间向量满足，若，则（    ） A． B． C． D．3 18．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 20．（25-26高二下·甘肃庆阳·期中）在空间直角坐标系中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D． 题型06 空间向量夹角的坐标表示 21．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 22．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 23．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 24．（25-26高二上·北京西城·期中）在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（　　） A． B． C． D． 题型07 空间向量投影的坐标表示 25．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为__________. 26．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）若，，，则在上的投影向量的模为（   ） A．1 B．3 C． D． 28．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. (1)求向量的坐标; (2)求在上的投影向量的坐标. 1．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建莆田·期末）若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东汕尾·期末）已知，且，则（   ） A．4 B． C．1 D． 7．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 10．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．（25-26高二上·福建三明·期末）（多选）设，向量，，，且，，则（   ）． A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知空间向量，，若，则______． 13．（25-26高二上·湖北咸宁·期末）如图，平行六面体的底面是正方形，若，，则________. 14．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_____. 15．（25-26高二上·全国·阶段检测）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．试建立合适的空间直角坐标系，并求出点的坐标． 16．（25-26高二上·海南儋州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 学科网（北京）股份有限公司 $