精品解析：四川省广元市某校2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

高2026级高一新生入学分班考试 数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数定义可得. 【详解】由倒数定义可知，的倒数是. 故选：C 2. 函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】,故顶点坐标为. 3. 某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合几何体的三视图的规则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以A不合题意； 对于B中，由三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，所以B不合题意； 对于C中，由正方体的三视图都是正方形，所以C符合题意； 对于D中，由圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，所以D不合题意. 故选：C. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式 B. 一组数据，它的中位数和众数都是 C. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定为次 D. 一组数据，它的方差是 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故A错误， 对于B，数据从小排到大为，它的中位数是，众数是和，所以B错误； 对于C，投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数不一定为次，可能多于或少于50次，所以C错误， 对于D，数据的平均数是2，各个数据与平均数的差都是，因此方差为，所以D正确. 5. 已知点都在反比例函数的图象上，那么的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的的变化情况，即可比较大小. 【详解】，，是正数， 反比例函数的图象位于第一三象限，且在每一个象限内随的增大而减小， 都在反比例函数图象上， ， . 故选：C. 6. 把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的平移变化可得，即可得出答案. 【详解】解：把抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到： 即： 由题意可知：， ， 故选：B. 7. 如图，半径为的的弦，且于，连结，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，OD，由弦，可得，继而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定，由，，可求得，继而可得是直角三角形，则可求得，由此可解决问题． 【详解】解：弦，， ，， 如图，连接， ，， ，， ，，， 故选：B. 8. 如图，点在正方形网格的格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，和，由勾股定理可证明是直角三角形，再由，代入即可得出答案. 【详解】解：连接，点在格点上，如图所示： 设每个小正方形的边长为， 则， ， ， ， 是直角三角形， ， 故选：D. 9. 已知点为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】分和，结合图象对选项一一判断即可得出答案. 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线， 当点恰好关于对称时，有， ，即，， 抛物线的开口方向没有确定，则需要对进行讨论，故排除A，B； 当时，抛物线的开口向下， 此时距离直线越远，值越小； ，， 点距离直线较远， 当时，抛物线的开口向上， 此时距离直线越远，值越大； ，， 点距离直线较远， 故C符合题意，D不符合题意. 故选：C. 10. 如图，在矩形中，以B为圆心，长为半径画弧，交于点E．以E为圆心，长为半径画弧，与相切于点F．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】阴影部分由两块组成：左下角是正方形 去掉以 为圆心、 为半径的四分之一圆；右上角是 去掉弦 与弧 所夹的弓形. 由以 为圆心、 为半径的弧与 相切可先定出 的长，再由勾股定理求 . 【详解】 如图，因为点为以点为圆心，以长为半径的弧与边的切点， 则 ， 又因为矩形，则， 又以 为圆心、 为半径的弧交于点E，则 . 此时 ，. 则左下阴影部分的面积： . 再求右上阴影部分： 因； 弓形面积 . 所以 . 故阴影部分的总面积为：. 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，四边形是正方形，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点在反比例函数的图象上，若正方形的面积为4，且，则的值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由正方形的面积得出边长，据此可设B，则E，根据点在反比例函数的图象上，得，求解即可. 【详解】解：正方形的面积为4， 正方形的边长为2， . 设点坐标为，则点坐标， 点在反比例函数的图象上， ， 解得. 故选：B. 12. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限内，其部分图象如图所示，给出以下判断：（1）；（2）；（3）；（4）直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为，，则，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由对称轴 与过点 可用待定系数法把 ， 都用 表示，再由顶点在第二象限确定 的符号，逐条代入判断 (1)(2)(3)；(4) 转化为联立后一元二次方程的两根之和与两根之积来验证. 【详解】因为抛物线的对称轴是直线 ，所以 ，即 . 又图象过点 ，所以 ，得 ，则得. 故顶点坐标为 . 因为顶点位于第二象限，所以 ，得 ， 对于（1），因，，则 ，故（1）正确； 对于（2），，故（2）错误； 对于（3），，故（3）正确. 对于（4），将 代入 ，可得 . 依题意， ，， 于是 ，故（4）正确. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 有四张完全一样正面分别标有字母A，B，C，D的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的字母为A和C的概率是__________． 【答案】 【解析】 【详解】总的抽取方式为从张中选2张的组合数， 即 成功的情况是抽到和，只有一种组合. 因此，所求概率为成功情况除以总情况数： 14. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的最小整数值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数的图象、单调性即可求解. 【详解】二次函数的对称轴为，开口向上, 所以当时，随的增大而减小， 又当时，随的增大而减小， 所以，即的最小整数值为1. 故答案为：1. 15. 如图，线段于点于点，点为线段上一动点，且以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则的长为__________. 【答案】1或3或8. 【解析】 【分析】由三角形相似，对应边成比例，列方程求的长. 【详解】设，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似， ①当时，，解得. ②当时，，解得或， 所以当以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似时， 的长为1或3或8， 故答案为：1或3或8. 16. 对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围. 【详解】因为， 所以，解得， 所以，， 因为不等式组恰有3个整数解， 所以， 故答案为：. 三、解答题：（本题共7小题，共86分．）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解答下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式， 当时，原式. 18. 某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生．现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用扇形图和条形图，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成求不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率，再列出树状图，利用古典概率公式，即可求解. 【小问1详解】 因为（件），所以田老师抽查的四个班级共征集到作品15件． 【小问2详解】 恰好抽中一名男生、两名女生的概率，也即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率， 不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下： 共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种， 所以恰好抽中一名男生、两名女生的概率为． 19. 如图，是的直径，是的弦，点P是外一点，连接、、，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，且，的半径为，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示， 是的直径，，， ，， ，，即， 是的切线. （2）2. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的半径为，，， ，， ，，， 又，， ，即，. 20. 如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． （1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； （2）假设每个甲型哨所的人数为m，请用含m的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的m的值． 【答案】（1）甲哨所有4人，则乙哨所有3人． （2），时，y有最大值为30，当时，y有最小值为18 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程即可求解； （2）设六个哨所共有y人，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 设甲哨所有x人，则乙哨所有人， 则，解得：，， 所以甲哨所有4人，乙哨所有3人． 【小问2详解】 设六个哨所共有y人，则：， 因为一次函数， 所以随的增大而减小， 又， 所以当时，y有最大值为30，当时，y有最小值为18． 21. 如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在x轴上，点，，斜边与反比例函数交于点． （1）求n，k的值； （2）若在该反比例函数上有一点G，过G作x轴的平行线，分别交，于点E，F．当时，求G点的坐标． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设点G的坐标为，根据列出方程即可求解． 【小问1详解】 ，，． 为等腰直角三角形，．． 设的解析式为． ，解得，∴直线的解析式为． 当时，．． 将点D代入，得． ，． 【小问2详解】 由（1）可知，，∴反比例函数的解析式为． 设点G的坐标为． 当时，．，． ，，整理，得． 解得或（舍去）．． 22. 已知是一元二次方程的两个实数根. （1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在实数，使得成立， 一元二次方程的两个实数根， ，(不要忽略判别式的要求)， 由韦达定理得， ， 但， 不存在实数，使得成立. （2） 【解析】 【分析】（1）利用反证法先假设存在实数，使得成立，根据一元二次方程有两个实数根可得，因此原假设不成立，故不存在； （2）根据题意，可得能被整除，即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 要使其值是整数，只需要能被整除， 故，即， ， . 23. 如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（a，c为常数，）． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小星想驾驶一辆高为3 m，宽为2 m的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚A，B之间抛物线上有两个点D和E（不与点A，B重合）．它们的横坐标分别为t，2t，连接，．设点A与点D之间部分（含点A和点D）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点A与点E之间部分（含点A和点E）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出t的值． 【答案】（1） （2）小星能将车开进车棚． （3）． 【解析】 【分析】（1）确定点的坐标并代入函数式求解即可. （2）由（1）的结论，求出抛物线上离其对称轴距离1的点的纵坐标，再比较大小即可. （3）根据给定条件，按点在抛物线对称轴左侧、不在左侧分类列式求解. 【小问1详解】 依题意，点，在抛物线上， 则，解得， 所以顶棚抛物线的函数关系式为：. 【小问2详解】 如图， 曲线的对称轴为， 由车身的宽为2 m，得车身FG一端点F的坐标为，过F作交抛物线于点M， 将代入，得，即， 所以小星能将车开进车棚． 【小问3详解】 由点D，E在抛物线A，B之间，得，即， 则点，，， ① 当D，E都在对称轴的左侧时，如下图： 由，得，则， 此时，，得或，于是； ② 当D在对称轴的左侧，点E在对称轴上或右侧时，如下图： 由，得，则， 此时，，即， 解得或，无解， 综上可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026级高一新生入学分班考试 数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式 B. 一组数据，它的中位数和众数都是 C. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定为次 D. 一组数据，它的方差是 5. 已知点都在反比例函数的图象上，那么的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，半径为的的弦，且于，连结，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图，点在正方形网格的格点上，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知点为抛物线上两点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在矩形中，以B为圆心，长为半径画弧，交于点E．以E为圆心，长为半径画弧，与相切于点F．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，四边形是正方形，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点在反比例函数的图象上，若正方形的面积为4，且，则的值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 12. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限内，其部分图象如图所示，给出以下判断：（1）；（2）；（3）；（4）直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为，，则，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 有四张完全一样正面分别标有字母A，B，C，D的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的字母为A和C的概率是__________． 14. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的最小整数值为__________. 15. 如图，线段于点于点，点为线段上一动点，且以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，则的长为__________. 16. 对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是________. 三、解答题：（本题共7小题，共86分．）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解答下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． （1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ （2）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生．现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率． 19. 如图，是的直径，是的弦，点P是外一点，连接、、，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，且，的半径为，求的长． 20. 如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． （1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； （2）假设每个甲型哨所的人数为m，请用含m的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的m的值． 21. 如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在x轴上，点，，斜边与反比例函数交于点． （1）求n，k的值； （2）若在该反比例函数上有一点G，过G作x轴的平行线，分别交，于点E，F．当时，求G点的坐标． 22. 已知是一元二次方程的两个实数根. （1）是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （2）求使的值为整数的实数的整数值. 23. 如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（a，c为常数，）． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小星想驾驶一辆高为3 m，宽为2 m的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚A，B之间抛物线上有两个点D和E（不与点A，B重合）．它们的横坐标分别为t，2t，连接，．设点A与点D之间部分（含点A和点D）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点A与点E之间部分（含点A和点E）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $