第一章《因式分解》单元测试卷-2026-2027学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 鲁教版（五四制）八年级上册《因式分解》单元卷，覆盖提公因式法、公式法等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习，培养运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解概念（1题）、公因式（2题）、公式应用（3-8题）|结合概念辨析（如1题区分因式分解与整式乘法）| |填空题|5/15|提公因式（11题）、平方差（12题）、完全平方（13题）|注重分解彻底性（如14题提公因式后用平方差）| |解答题|10/55|综合提公因式与公式（19-21题）、简便计算（22题）、化简求值（23题）|体现整体思想（如25题用完全平方公式变形求xy）|

鲁教版（五四制）八年级上册 第一章《因式分解》单元测试卷 满分：100分　　考试时间：90分钟 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　得分：__________   注意事项：本试卷共三大题、25个小题。解答题须写出完整的分解或计算步骤，只写结果不给满分。答案写在答题区域内，字迹工整。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. x(x－1)＝x²－x　　B. x²－2x＋1＝(x－1)² C. x²＋1＝x(x＋1)　　D. (x＋1)(x－1)＝x²－1 2. 多项式 6x²y－3xy² 的公因式是（　　） A. 3xy　　B. 3x²y　　C. 6xy　　D. xy 3. 下列因式分解正确的是（　　） A. a²－9＝(a＋3)(a－3)　　B. a²＋4＝(a＋2)² C. x²＋2x－1＝(x－1)²　　D. x²－6x＋9＝(x－3)(x＋3) 4. 用提公因式法分解因式：2a²b－4ab＝（　　） A. 2ab(a－2)　　B. 2ab(a²－2)　　C. ab(2a－4)　　D. 2a²b(b－2) 5. 分解因式 x²－25 的结果是（　　） A. (x＋5)(x－5)　　B. (x＋5)²　　C. (x－5)²　　D. x(x－25) 6. 分解因式 x²＋10x＋25 的结果是（　　） A. (x＋5)(x－5)　　B. (x＋5)²　　C. (x－5)²　　D. (x＋10)² 7. 分解因式 9x²－12xy＋4y² 的结果是（　　） A. (3x－2y)²　　B. (3x＋2y)² C. (9x－4y)²　　D. (3x－2y)(3x＋2y) 8. 若 x²＋kx＋16 是完全平方式，则 k 的值为（　　） A. 8　　B. －8　　C. ±8　　D. ±16 9. 计算 2023²－2022×2024 的结果是（　　） A. －1　　B. 0　　C. 1　　D. 2 10. 已知 a－b＝3，ab＝1，则代数式 a³b－2a²b²＋ab³ 的值是（　　） A. 9　　B. 8　　C. 7　　D. 10 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：3x＋3y＝__________。 12. 分解因式：x²－49＝__________。 13. 分解因式：x²－6x＋9＝__________。 14. 分解因式：2x³－8x＝__________。 15. 已知 a＋b＝5，a²＋b²＝13，则 ab＝__________。 三、解答题（共55分） 16. （4分）分解因式：5a²－10a。 17. （4分）分解因式：m²－16n²。 18. （4分）分解因式：x²＋4x＋4。 19. （4分）分解因式：4x²y－8xy＋4y。 20. （6分）分解因式：3ax²－3ay²。 21. （6分）分解因式：2x³y＋4x²y²＋2xy³。 22. （6分）用简便方法计算：57²－43²。 23. （6分）先化简，再求值：(x＋2)²－(x＋1)(x－1)，其中 x＝2。 24. （7分）分解因式：(2x＋1)²－(x－2)²。 25. （8分）已知 x²＋y²＝10，x＋y＝4，求 xy 的值和 (x－y)² 的值。 参考答案与解析 以下按题号顺序给出每小题的标准答案、考点、解题步骤与易错提醒，供批改与讲评使用。 一、选择题 1. 答案：B 考点：因式分解的概念。 解题步骤：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。A、D 是整式乘法（展开），方向相反；C 中 x(x＋1)＝x²＋x，与左边 x²＋1 不相等，变形错误；只有 B 把多项式化成了积的形式，且变形正确。   易错提醒：判断因式分解要看两点——左边是"和差"形式、右边是"积"的形式，右边必须与左边恒等。C 选项看似"积"，但两边并不相等，属于易错陷阱。 2. 答案：A 考点：公因式的确定（系数、字母、指数三要素）。 解题步骤：系数取各项系数 6 与 3 的最大公约数 3；字母取各项相同字母的最低次幂，即 x 的最低次幂 x，y 的最低次幂 y，所以公因式为 3xy。   易错提醒：公因式的系数不要照抄第一项的系数 6，要取各项系数的最大公约数；字母指数要取最低次幂，不是最高次幂。 3. 答案：A 考点：平方差公式与完全平方公式的辨析。 解题步骤：A 中 a²－9＝a²－3²＝(a＋3)(a－3)，正确；B 中 (a＋2)²＝a²＋4a＋4≠a²＋4；C 中 (x－1)²＝x²－2x＋1≠x²＋2x－1；D 中 (x－3)(x＋3)＝x²－9≠x²－6x＋9，应为 (x－3)²。   易错提醒：完全平方式中间项是"2 倍首尾积"，验证选项时把右边乘开逐一核对，不要凭感觉选。 4. 答案：A 考点：提公因式法。 解题步骤：公因式为 2ab，提出后 2a²b÷2ab＝a，－4ab÷2ab＝－2，所以 2a²b－4ab＝2ab(a－2)。   易错提醒：注意"提干净"，公因式要提到不能再提；B 选项提得不彻底，是常见错误。 5. 答案：A 考点：平方差公式 a²－b²＝(a＋b)(a－b)。 解题步骤：x²－25＝x²－5²＝(x＋5)(x－5)。   易错提醒：25 的平方根是 5，注意别写成 (x＋25)(x－1) 之类的错误分解。 6. 答案：B 考点：完全平方公式 a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²。 解题步骤：x²＋10x＋25 中，x² 对应 a²，25 对应 b²＝5²，中间项 10x 恰为 2×x×5，所以原式＝(x＋5)²。   易错提醒：中间项符号为正，分解后括号内取"+"；要养成先核对"中间项是否等于 2 倍首尾积"的习惯。 7. 答案：A 考点：完全平方公式。 解题步骤：9x²＝(3x)²，4y²＝(2y)²，中间项 12xy＝2×3x×2y，且为负号，所以 9x²－12xy＋4y²＝(3x－2y)²。   易错提醒：首项系数 9 不是底数，要写成 (3x)² 再套公式；负号只能写在同一个括号里，不能拆成 (3x－2y)(3x＋2y)（那是平方差的结果）。 8. 答案：C 考点：完全平方式的结构（逆向运用完全平方公式）。 解题步骤：x²＋kx＋16＝x²＋kx＋4²，中间项应满足 kx＝±2×x×4＝±8x，所以 k＝±8。   易错提醒：最容易丢掉负值。完全平方式既可以是 (x＋4)²，也可以是 (x－4)²，两种情况都要考虑。 9. 答案：C 考点：平方差公式的简便运算。 解题步骤：注意到 2022＝2023－1，2024＝2023＋1，所以 2022×2024＝(2023－1)(2023＋1)＝2023²－1，于是原式＝2023²－(2023²－1)＝1。   易错提醒：不要硬算大数乘法。看到"相邻三个数"的组合，要想到把两个因数化成同一个数加 1、减 1 的形式，构造平方差。 10. 答案：A 考点：提公因式法与完全平方公式的综合运用（整体代入）。 解题步骤：a³b－2a²b²＋ab³＝ab(a²－2ab＋b²)＝ab(a－b)²。将 ab＝1、a－b＝3 整体代入，得原式＝1×3²＝9。   易错提醒：不要试图分别求出 a、b 的值。三项都有公因式 ab，先提公因式再用公式，然后把 a－b、ab 作为整体代入，这是"整体思想"的典型用法。 二、填空题 11. 答案：3(x＋y) 考点：提公因式法。 解题步骤：公因式为 3，提出得 3x＋3y＝3(x＋y)。   易错提醒：提完后要检验——用乘法分配律展开 3(x＋y) 应还原为 3x＋3y。 12. 答案：(x＋7)(x－7) 考点：平方差公式。 解题步骤：x²－49＝x²－7²＝(x＋7)(x－7)。   易错提醒：49＝7²，不要误写成 9² 或把 49 当作其他平方数直接拆错。 13. 答案：(x－3)² 考点：完全平方公式。 解题步骤：x²－6x＋9 中，中间项 6x＝2×x×3，符号为负，所以原式＝(x－3)²。   易错提醒：中间项是"减 6x"，括号里必须写成减 3，写成 (x＋3)² 会展开得 x²＋6x＋9，与原式不符。 14. 答案：2x(x＋2)(x－2) 考点：提公因式法与平方差公式的综合运用。 解题步骤：先提公因式 2x：2x³－8x＝2x(x²－4)；括号内 x²－4 继续用平方差公式：x²－4＝(x＋2)(x－2)。所以原式＝2x(x＋2)(x－2)。   易错提醒：最典型的错误是只提公因式就停笔，得到 2x(x²－4)。分解因式必须分解到每个因式都不能再分解为止，要"一提二套三检查"。 15. 答案：6 考点：完全平方公式（(a＋b)² 与 a²＋b² 的关系）。 解题步骤：由 (a＋b)²＝a²＋b²＋2ab，得 2ab＝(a＋b)²－(a²＋b²)＝25－13＝12，所以 ab＝6。   易错提醒：不要联立方程去解 a、b 的具体值，路程远且容易出错；牢记三个基本关系：(a＋b)²＝a²＋b²＋2ab，(a－b)²＝a²＋b²－2ab，(a＋b)²－(a－b)²＝4ab。 三、解答题 16. 解：5a²－10a＝5a·a－5a·2＝5a(a－2)。 考点：提公因式法。   易错提醒：第二项提出 5a 后剩 2（不是 0，也不带 a）；结果可用乘法展开检验。 17. 解：m²－16n²＝m²－(4n)²＝(m＋4n)(m－4n)。 考点：平方差公式。   易错提醒：16n² 要先写成 (4n)²，注意系数 4 要同时出现在两个括号中，漏掉系数是常见错误。 18. 解：x²＋4x＋4＝x²＋2·x·2＋2²＝(x＋2)²。 考点：完全平方公式。   易错提醒：中间项 4x＝2×x×2 恰好满足公式结构，分解后别丢平方符号。 19. 解：4x²y－8xy＋4y＝4y(x²－2x＋1)＝4y(x－1)²。 考点：提公因式法与完全平方公式的综合运用。   易错提醒：必须先提出公因式 4y（含系数与字母），再对括号内的 x²－2x＋1 用完全平方公式；只提一半或提完不再分解都算不完整。 20. 解：3ax²－3ay²＝3a(x²－y²)＝3a(x＋y)(x－y)。 考点：提公因式法与平方差公式的综合运用。   易错提醒：公因式是 3a（系数 3 与字母 a 的整体），提出后剩下 x²－y² 仍能继续分解；两步一步都不能少。 21. 解：2x³y＋4x²y²＋2xy³＝2xy(x²＋2xy＋y²)＝2xy(x＋y)²。 考点：提公因式法与完全平方公式的综合运用。 解题步骤：公因式取各项都含的 2、x 的最低次幂 x、y 的最低次幂 y，即 2xy；提出后括号内为 x²＋2xy＋y²，套用完全平方公式得 (x＋y)²。   易错提醒：公因式漏掉字母 y 是高频错误；括号内三项是完全平方式，中间项 2xy 别写成 xy。 22. 解：57²－43²＝(57＋43)(57－43)＝100×14＝1400。 考点：平方差公式的简便运算。   易错提醒：不要先算 57² 和 43² 再相减；逆用平方差公式构造整百数，才是"简便方法"的得分点，直接硬算往往不得分。 23. 解：(x＋2)²－(x＋1)(x－1)＝x²＋4x＋4－(x²－1)＝x²＋4x＋4－x²＋1＝4x＋5。 当 x＝2 时，原式＝4×2＋5＝13。 考点：整式乘法与合并同类项（化简求值）。   易错提醒：减号后面是多项式的整体，去括号时 (x²－1) 各项都要变号，漏变号得 4x＋3 是最常见错误；(x＋1)(x－1) 可直接用平方差公式得 x²－1，不必完全展开。 24. 解：把 (2x＋1) 与 (x－2) 各看作一个整体，逆用平方差公式： (2x＋1)²－(x－2)²＝[(2x＋1)＋(x－2)]·[(2x＋1)－(x－2)]＝(3x－1)(x＋3)。 考点：平方差公式的整体运用（换元思想）。   易错提醒：第二个括号相减时，(x－2) 整体要加括号再去括号：(2x＋1)－(x－2)＝2x＋1－x＋2＝x＋3，其中"－(－2)"要变成"＋2"，符号处理是本题最关键的易错点。 25. 解：由 (x＋y)²＝x²＋y²＋2xy，得 2xy＝(x＋y)²－(x²＋y²)＝16－10＝6，所以 xy＝3。 由 (x－y)²＝x²＋y²－2xy＝10－6＝4，所以 (x－y)²＝4。 考点：完全平方公式的变形运用（整体思想）。   易错提醒：本题不需要（也无法轻易）求出 x、y 的单独值，直接把 x＋y、x²＋y² 代入公式变形即可；求 (x－y)² 时用"x²＋y²－2xy"比先算 x－y 再平方更稳妥，别把 2xy 误当成 xy。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $