第4讲 万有引力与宇宙航行-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第一部分：专题一力与运动 第4讲万有引力与宇宙航行 核心素养>助学提能 考点一开普勒定律和万有引力定律 核心透视 典题例析 1.正确理解开普勒三定律 [例1](2026·湖南卷)郭守敬望远镜是我 (1)开普勒第一定律：太阳位于所有行星的椭 国首个天文领域大科学装置，积累了大量的 圆轨道的公共焦点上. 观测数据.分析观测数据表明，某行星绕一 (2)开普勒第二定律：行星在近日点的速率最 恒星做匀速圆周运动的周期为T,轨道半径 大，在远日点的速率最小 为该恒星半径的n倍.不考虑其他星体的影 r (3)开普勒第三定律：气=k,其中k与中心天 响，引力常量为G,则该恒星的平均密度为 体有关 2.计算天体质量和密度的两条基本思路 A.3xn GT B吾 (1)利用中心天体的半径R和表面的重力加 速度g C.3n GT2 “漂 由G”中m P =mg求出m中，进而求得 [解题指导] m中=m中= 0 3g 第二步：根据行星绕恒星做匀速圆周运动 4πGR 万有引力提供向心力求出恒星质量； (2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T 第二步：由平均密度ρ= 求得该医星的 由Gm中 2=m 产，可得出m中 4π2r3 G7T2, 平均密度 若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运 对点集训 动时，轨道半径r=R,则p= m中 3π 1.(2026·云南卷)我国“天宫”空间站的轨 3R3 GT2 道离地高度约为400km,空间站内的宇 3.涉及“g”的两个问题（在天体表面） 航员每24h能看到16次日出.“吉林一 (1)不考虑天体自转问题时，有G”天m 号”遥感卫星组网中的某颗卫星轨道离地 R2 mg' 高度约为535km.已知地球半径约为6 其中g为天体表面的重力加速度， 400km,空间站与该卫星绕地球的运动 (2)考虑天体自转问题时，在两极上才有 均视为匀速圆周运动，则该卫星的周期 G天m =mg,在赤道上有Gm天m 约为 () R2 R 一mg A.1.0h B.1.5h C.2.0h D.2.4h 15 I物理 2.(2026·湖北卷)已知某卫星绕地球做椭圆运 半径为R,该卫星的运动周期为 动，在近地点所受的地球引力为其在地面附近 A.4不g 3R B.6x 的，在远地点所受的地球引力为其在地面附 R C.16x 6R 近的。地面附近的重力加速度大小为g,地球 D. 考点二人造卫星和变轨问题 核心透视 典题例析 1.卫星运行参量的分析 [例2](2026·陕晋青宁卷)我国自主建 (1)在讨论有关卫星的运动规律时，关键要明 设运行的北斗全球卫星导航系统空间段 确向心力、轨道半径、线速度、角速度、周期 由多颗卫星组成.若轨道半径不同的两颗 卫星绕地球做匀速圆周运动，角速度大小 和向心加速度，它们之间彼此影响、互相 分别为w1、w2,线速度大小分别为1,2， 联系. 则 (2)不管是定性分析还是定量计算，必须抓 住卫星运动的特点.万有引力提供卫星 A.☑1= B.=9 G01 02 绕地球做匀速圆周运动的向心力，根据 D. 32 1 01ω2 C0102 G Mnmor-m 4π 2 2r=ma,求 [解题指导] 出相应物理量的表达式即可讨论或求 第一步：由万有引力提供向心力G Mm 解，需要注意的是a、v、w、T均与卫星质 量无关 wr=m分析巴、马的比值 ww 2.航天器变轨问题的三点注意事项 第二步：由万有引力提供向心力G Mm (1)航天器变轨时半径的变化根据万有引 r2 力和所需向心力的大小关系判断；稳定 m,=m卫分析立的比值 在新轨道上的运行速度变化由v= [例3]中国北斗卫星导航 GM判断. 系统是中国自行研制的全 r 球卫星导航系统，也是继 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同， GPS、GLONASS之后的 轨道半径越大，机械能越大。 第三个成熟的卫星导航系统.北斗卫星导航 (3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加 系统(BDS)和美国GPS、俄罗斯 速度相等，外轨道的速度大于内轨道的 GLONASS、欧盟GALILEO是联合国卫星 速度. 导航委员会已认定的供应商.同步卫星是 北斗卫星导航系统非常重要的组成部分， 16 第一部分：专题一力与运动 如图为地球某同步卫星的转换轨道示意 对点集训 图，其中I为近地轨道，Ⅱ为转换轨道，Ⅲ 1.（2026·河南卷)“土星 为同步轨道，下列说法正确的是( 环”是由绕土星运动的 A.赤道上静止物体的向心加速度为ao,I 颗粒组成的带状薄圆 轨道上卫星的加速度为a1,Ⅲ轨道上卫 环，图为拍摄的真实照 星的加速度为a3,则加速度的大小关系 片.已知土星的平均密 为a3>a1>ao 度约为7.0×102kg/m3,引力常量G=6.67 B.在Ⅱ轨道上，从P到Q的过程中机械能 ×10-11N·m/kg2,由照片信息估算位于 增加 “土星环”上的中间颗粒绕土星做圆周运动 C.在P点，Ⅱ轨道的线速度大于I轨道的 的周期是 线速度 A.2.0×103s B.4.0×10s D.Ⅱ轨道的运行周期大于Ⅲ轨道的运行 C.2.0×105s D.4.0×10s 周期 2.(多选)发射载人飞船和空间站对接的简 [解题指导] 化示意图如图所示，先把飞船发射到近地 卫星变轨时速度的变化要根据万有引力 圆轨道I,继而调整角度和高度，经过多 和所需向心力的大小关系判断；根据牛顿 次变轨不断逼近空间站轨道，当两轨道很 第二定律比较各点的加速度；根据开普勒 接近时再从空间站下方、后方缓慢变轨接 第三定律比较不同轨道上卫星的周期 近.Ⅱ是绕地球运行的椭圆轨道，Ⅲ是绕 关系 地球运行、很接近空间站轨道的圆形轨 道.P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ的近地点和 规律总结 卫星变轨问题的实质 远地点，已知万有引力常量为G,地球半 两类变轨 离心运动 近心运动 径为R,飞船在轨道I、Ⅱ、Ⅲ上运动的周 卫星速度突然卫星速度突然 期分别为T,、T2、T3.下列说法正确的是 变轨起因 增大 减小 受力分析GM <mv GMm>m 变为椭圆轨道运变为椭圆轨道运 空间站 轨道 动或在较大半径动或在较小半径 圆轨道上运动，圆轨道上运动， 变轨结果在新的轨道上运在新的轨道上运 A.T>T2 行速度将减小，行速度将增大， 重力势能、机械重力势能、机械 B.地球的质量为4xR GT 能均增大 能均减小 C.飞船在Ⅱ轨道时，P点比Q点的速度小 应用 卫星的发射和回收 D.飞船需要适当加速才能与空间站进行 对接 17 I物理 考点三 双星与“追及和相遇”问题 核心透视 最近，从运动关系上，应满足(wA一oB)t= 1.双星模型：天体运动中，将两颗彼此距离较 2nπ(n=1,2,3,…). 近且绕同一点做圆周运动的星体称为双星 (2)相距最远：两卫星的运转方向相同，且位于 模型.双星模型具有如下特点： 和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距 ①双星间的万有引力提供向心力； 最远，从运动关系上，应满足（ωA一wB)t= ②双星共同绕它们连线上某点做圆周运动， (2n-1)π(n=1,2,3,…). 轨道半径与星体的质量成反比； 典题例析 ③双星与旋转中心始终共线，它们的周期 专向1 双（多）星问题 角速度相同： ④双星模型中(A、B间距离为L,A、B质量 [例4] 一百多年前爱因斯坦预言了引力波 分别为m1、m2)常见公式有轨道半径r1 存在.双星的运动是产生引力波的来源之 m2 一，在宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星 l,r2= m1十m m一1，双星运行周期T= m1十m2 体组成，这两颗星绕它们连线的某一点只在 2πl 二者间的万有引力作用下做匀速圆周运动， /G(m1+2) 测得P星的周期为T,P、Q两颗星的距离为 2.天体运动中，三星、四星等多星模型是指相 1,P、Q两颗星的轨道半径之差为△r(P星 互作用且围绕某一点做圆周运动的星体.星 的轨道半径大于Q星的轨道半径)，引力常 体做圆周运动所需向心力由其他星体对它 量为G,则下列结论错误的是 的万有引力的合力提供，在多星系统中各星 体运行的角速度相等，其中三星模型常常有 A.Q,P两颗星的质量差为4r△r GT2 两种情况： ①三个星体连在同一直线上，两个星体围 B.P,Q两颗星的线速度大小之差为2πAr T 绕中央的星体做周期相同的圆周运动，向 心力来源于其他两个星体对它的引力的 C.P,Q两颗星的质量之比为-△ 合力； D.P,Q两颗星的运动半径之比为牛A: L-△r ②三个星体位于等边三角形的三个顶点上， [解题指导] 并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三个星 体运行周期相同，向心力来源于其他两个星 解答双星模型中物理量和、差、积、比的问 体对它的万有引力的合力 题，基本思路是一定的，都是根据双星有 3.两卫星相距最近和最远满足的条件 相等的向心力，结合已知条件求出相应物 (1)相距最近：两卫星的运转方向相同，且位于 理量的表达式，再求和、差、积、比，注意能 和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距 合并的物理量要合并， 18 第一部分：专题一力与运动 规律总结紧抓四点解决双星、多星问题 别为r和4r,每隔时间t会发生一次“相冲” (1)根据双星或多星的特点、规律，确定系统 现象，即地球、卫星A和B三者位于同一条 的中心以及运动的轨道半径. 直线上，且A、B位于地球的同侧，已知万有 (2)系统中某星体的向心力由系统其他星体 引力常量为G,则地球质量可表示为( 的万有引力的合力提供. (3)星体的角速度相等。 )活 (4)星体的轨道半径不是天体间的距离.要利 元2r3 用几何知识，寻找两者之间的关系，正确 计算万有引力和向心力： [解题指导] 根据每隔时间t会发生一次“相冲”可知 专间2 卫星“追及相遇问题” A、B在时间t内转过角度之差等于2π， [例5] 有两颗人造地球卫星A和B的轨道 在同一平面内，A、B同向转动，轨道半径分 结合万有引力提供向心力求解地球质量， 课堂评价>高考预测 1.（多选)太空电梯的原 质量较大的天体引力下被撕碎、洛希极限 理与生活中的普通电 电梯 的计算公式为：=2,44R,酒，其中，r为 梯十分相似.只需在 地球同步轨道上建造 洛希极限，M、m分别为质量较大和较小 一个空间站，并用某 的天体质量，R为质量较大的天体半径 种足够长也足够结实 如图甲所示，某脉冲双星系统由两颗相距 的“索道”将其与地面相连.如图所示，假设 较近的天体组成，并远离其他天体，它们 有一长度为r的太空电梯连接地球赤道上 在彼此间的万有引力作用下，绕连线上的 一点做匀速圆周运动.简化为如图乙所 的固定基地与同步卫星轨道上的空间站a, 示，测得A、B两恒星间的距离为L,A、B 整个太空电梯相对地面静止.卫星b与空间 两恒星的半径分别为RA、RB,恒星A做 站a的运行方向相同，某时刻二者距离最 圆周运动的向心加速度是恒星B的8倍， 近，已知地球半径为R,自转周期为T,下列 下列说法正确的是 说法正确的是 () A.太空电梯各点向心力全部由万有引力提 供，处于完全失重状态 B.太空电梯上各点线速度平方与该点离地 甲 球球心距离成反比 C.太空电梯靠近地球一端的角速度等于空 A.该双星系统的洛希极限为4.88R 间站a的角速度 B.该双星系统的洛希极限为2.44RA C.双星的质量一定，双星之间的距离越大， D.若经过时间t之后，a、b第一次相距最 其转动周期越大 远，测卫星b的周期为2 D.双星间距离一定，双星的总质量越大，其 2.(多选)洛希极限是指在双星系统中，两个天 转动周期越大 体之间的最近距离.如果两个天体之间的距 C温馨提正 学习至此，请完成配套训练专题精准强化4 离小于洛希极限，则质量较小的天体就会在 19考向2 [例5][解析]根据题意当甲第一次运动到圆环最低点 时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，则两者运动周期 相同，B正确；若乙的初速度为3√gR,则根据动能定理 可得此时乙在最高点的速度为√5gR,则易知乙的平均 速度大于甲，不可能相同时间内转半圈，A错误；在竖直 光滑圆环内，小球受重力作用，做的是变速圆周运动，相 同时间乙转过的角度与甲不同，除甲、乙运动到最低点 或最高点，任意时刻两小球连线均不过圆心，即速度不 同，向心力不同，圆环对两小球的作用力大小、方向均不 一致，根据力的合成和牛顿第三定律，两小球对圆环作 用力的合力不可能为0，C错误，D正确. [答案]BD 考向3 [例6][解析]在最高点，若a所受摩擦力为0，靠重力 沿圆盘的分力提供向心力，有ngsin9=mlu,在最低 点，有f一ngsin9=mlw,解得最低点的摩擦力f=mg, 而最大静摩擦力fm=μngcos日=0.75mg,不可能为 mg,故假设不成立，因此在最高点a所受到的摩擦力不 会为0，故选项A错误a在最低，点时，由牛顿运动定律 有f-mgsin 0-=mwl,得f=mgsin 0-+mwl,所以a在最 低点时所受摩擦力不可能为0，故选项B错误；对a在最 低点，由牛顿运动定律得ngcos日一mgsin日=mwil,代 入教据解得仙，√景，故选项C错误：对b在最低点，由 牛顿运动定律得ngcos日-ngsin0=mw(2l),代入数 据解得a√景，故选项D正确。 [答案]D 课堂评价·高考预测 1.ACD[石块出手时的初速度方向与水平方向成45°，则 tan45°-20，.=u,石块落在1.8m高的斜面上，an37° =1.8m,则石块的水平位移x=2.4m,由石块斜向上 运动时父=1=号=1.2m小=经1=06m,又或 2gy',解得v,=2√3m/s,所以石块出手时的初速度为 u=√o十℃=2√6m/s,故A正确，B错误；若石块的初 速度大小一定，当石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边 垂直时，石块在斜面上的落点最高，石块下落时间最短， 石块飞行时间最短，故C正确：若投出石块的最大初速 度为8m/s,则o=o=4√2m/s,石块在斜面上的落 点恰好与出手点等高处，最大运动时间=2=4巨、， g 5 最大水平位移=U0。=兰m,石块在斜面上与出手点 等高的所有落点与出手点的最小距离x=2.4m,则石块 在斜面上与出手，点等高的最远落，点与最近落点的距离 △x=√/x-x=√35.2m<6m,2△x<12m,则石块在 斜面上与出手点等高的所有落，点所组成的线段长度不 会超过12m,故D正确. 30 讲解册参考答案」 2.C[根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球运动到 最高，点时，若杆对球的作用力为零，则有g=wl,解 得ω任，可知，若小球运动的角速度√任，杆对球 的作用力向下，若小球运动的角建度®一√孚，杆对球的 作用力向上，故A错误，C正确；小球做匀速圆周运动， 则小球运动到水平位置A时，合力指向圆心，对小球受 力分析可知，小球受重力和杆的作用力，由平行四边形 定则可知，杆对球的作用力不可能指向O,点，故B错误； 小球通过最低点时，合力竖直向上，则杆对球的作用力 一定向上，故D错误. 第4讲万有引力与宇宙航行 核心素养·助学提能 考点一 [例1][解析]设恒星半径为R,由题意得行星轨道半 径r=R,行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向 心力，有G=mT心，整理得恒星质量M=4xr 4π G7°，恒 星为均匀球体，体积V-号R,平均密定p=兴将， 4π2(nR) nR代入得p= GT 3xn GT°· [答案]C [对点集训] 1.B[由题知“天含”室间站网期T=器h=1.5h,运行本径 片=6800km, “吉林一号”遥感卫星运行半径r=6935km,根据开普 解得T2≈T=1.5h.] 2.B设卫星质量为m,近地，点到地心距离为r1,远地点 到地心距离为2，运动周期为T,卫星绕地球表面运动 的周期为T。,则F=GMm,F4=G Mm ri Mm,F表=G R 根据题高可知，R=子PA。=6R,联立解得1 2R,r2=4R,绕地球表面运动的卫星有G Mm =mg= R m()】 T To R,根据开普勒第三定律有 ,联 R 2 立解得T=6√g ，B正确.门 考点二 「例2「解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提 2 供向心力GM0三m0r=m了' 其中G为引力常量，M为地球质量，r为轨道半径，w为 角速度，为线速度 丨物理 得√ 根据”=，由于轨道半径不同，则四≠，故A错误； w 由以上分析可知，巴心r,与r有关，≠心，故B错 w1w2 误：由以上分析可知，文c心F,与r有关，≠g,故C u GM1是 错误；由以上分析可知， =GM,与r无关， GM 故D正确. [答案]D 「例3][解析]赤道上静止物体与地球同步卫星角速度 相等，由a=rw2可得a,>a,根据GMm=ma,可得a= GM,则a1>a,所以a1>a>a,选项A错误：在Ⅱ轨道 r 上，从P到Q的过程中只有万有引力做功，机械能守恒， 选项B错误；卫星从轨道I转移到轨道Ⅱ要在P点点火 加速做离心运动，所以在P点，Ⅱ轨道的线速度大于I 轨道的线选度，选项C正确：由开普勒第三定律只-大 可知，由于Ⅱ轨道半长轴小于Ⅲ轨道的半径，故Ⅱ轨道 的运行周期小于Ⅲ轨道的运行周期，选项D错误. [答案]C [对点集训] 1.B[通过照片估算中间颗粒的轨道半径约为土星半径 的2倍：结合万有引力和密度公式可估算中间颗粒的周 期，对中间颗粒，由牛顿第二定律可得GMm (2R)2 =m(2R) 禁共中M=·青成，联立可得T=2√医代人教 据可得T≈4.0X10s,B正确.] 2.BD[由开普勒第三定律=k,可知T<T:,故A错 误，飞船在轨道I上，万有引力提供向心力GMm= R m4πR,解得地球的质量为M一，故B正确，飞船 T 在轨道Ⅱ时从P到Q运行时万有引力做负功，速度变 小，P点比Q点的速度大，故C错误；飞船需要适当加速 做离心运动，才能与空间站进行对接，故D正确.门 考点三考向1 [例4][解析]双星系统靠相互间的万有引力提供向心 力，则角速度大小和周期相等，所以Q星的周期为T,根 据题意可知n十。=1、n-。=△r,解得=士△r、 2 。/兰，则卫.Q两鬟显的运动辛径之比为告选 2 项D正确；双星系统靠相互间的万有引力提供向心力， 的 角速度大小相等，向心力大小相等，则有Gmm@ Mprp@=ma raw,解得mp Pro G,m 则0 P两颗星的质量差为△m=ma一mp=心△0=4x1Ar】 G GT 选项A正确；P、Q两颗星的线速度大小之差为△=p 0=2x-2=2Ar,选项B正确，P,Q两颗星的质 T T T 量之比为m==仁A,选项C错误. mo rp 1+△r [答案]C 考向2 [例5][解析]每隔时间t会发生一次“相冲”现象，得 （w一)t=2r,根据万有引力提供向心力GMm= mAWA r,G M=mog2·4r,联立解得地球质量为 (4r)2 [答案]D 课堂评价·高考预测 1.CD[太空电梯各，点随地球一起做匀速圆周运动，均处 于失重状态，具有相同的角速度，只有位置达到同步卫 星的高度的，点才处于完全失重状态，故A错误，C正确： 设太空电梯上各，点到地球球心的距离为L,根据=wL, 可知，太空电梯上各，点线速度与该点离地球球心距离成 正比，故B错误；若经过时间t之后，a、b第一次相距最 远，则有1一=脚兰-兴=1，屏得工=巴 2tT 故D正确.门 2.AC[由万有引力提供向心力Gm=mAaA=ma, L 可知mA：g=1:8,该双星系统的洛希极限为r= 乙.44级2,44R8=488R:故AE确，B错送：根 4π2 4x 据万有引力提供向心力m三mrA三mT下s 且有r十=L,可得m=Lm 一·出一，两式 L 相加整理可得T=2√Gm十m,双星的质量一定，双星 之间的距离越大，其转动周期越大；双星间距离一定，双星 的总质量越大，其转动周期越小，故C正确，D错误.] 高考新动向（一）以新情境为背景考查：力与运动问题 动向1 1.D[设拖把与地面之间的动摩擦因数为 F 以，则拖把受到重力、支持力、推力和摩擦 力作用，拖把匀速直线运动时处于平衡 状态，受力示意图如图所示.将推拖把的 力沿竖直方向和水平方向分解，根据平 衡条件得：竖直方向上有Fsin日+mg= 2