第3讲 抛体运动 圆周运动-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第一部分：专题一力与运动1 第3讲 抛体运动 圆周运动 核心素养>助学提能 考点一运动的合成与分解 核心透视 C.C点速度方向沿CB向上，大小为1mm/s 1.曲线运动的理解 D.A点相对C点的速度沿水平方向，大小 (1)曲线运动是变速运动，速度方向沿切线 为2mm/s 方向 对点集训 (2)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动 1.一河流两岸平行，水流速率恒定为，某人划 的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之 船过河，船相对静水的速率为2，且2>.设 间，合力的方向指向曲线的“凹”侧. 人以最短的时间t1过河时，渡河的位移为 2.曲线运动的分析 d1;以最短的位移d2过河时，所用的时间为 (1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两 t2.下列说法正确的是 ) 个方向上的分运动的合成， A.=,d4- (2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合 t2 'd喝 运动的性质。 B.4=,4 (3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度 d 等的合成与分解，遵循平行四边形定则. d 1 典题例析 'd2 1+ [例1]（多选）(2026·河北卷)某千斤顶的 D.4= 1 结构如图所示，四根等长杆由铰链相连.摇 t2 d'd 1 动手柄竖直抬升重物过程中，A、C两点的 2.如图所示，有一半径为r 间距每秒均匀缩短2mm,当∠CAB=45° 的圆环在一水平地面上 时，下列说法正确的是 ) 向右运动，且其圆心速度 大小为u.现有一木板， 重物 左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之 上，且木板与地面所成锐角为0.则木板转动 的角速度ω为 ( ) 手柄 77777777777 A.cosgan号 B.sin @tan A.A与C两点速度大小相等，方向相反 B.B点速度方向竖直向上，大小为2mm/s C.”cos7tan0 D.eos tan 0 考点二 抛体运动 核心透视 先按分运动规律列式，再用运动的合成求合 1.平抛运动 运动 (2)两个突破口 (1)基本思路 ①对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题， 处理平抛（或类平抛）运动时，一般将运动沿 其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角 初速度方向和垂直于初速度方向进行分解， 的正切值. 11 I物理 ②若平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物 飞行器 体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度 777777777777 之比等于斜面倾角的正切值. 着陆线 2.斜抛运动（类斜抛运动）的处理方法 (1)斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运 d 动为例（如图所示） A.20 m/s B.50 m/s C.110m/s D.120m/s 春向2 斜抛运动 [例3] (多选)(2026·湖 速度：v,=6cos0,0,y=Vo sin0-gt 北卷)某山沟竖直截面图 0 位移：x=℃cos0·t,y=vsin0·t- 28r 如图所示，山沟的一侧竖 (2)当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆 直，另一侧是以O点为圆 向思维，可转化为平抛运动， 心R为半径的圆弧，圆弧最高点与O点 典题例析 专向1 等高.救援队从0点以大小为，=2gR的 平抛运动 2 [例2](2026·广东卷)如图是月球上一圆 初速度向该山沟投掷救援物资，其中g是重 柱形阴影坑竖直截面图.假定某飞行器在月 力加速度大小.物资可视为质点，不计空气 阻力.为避免损坏救援物资，要求物资落到 面上空H=1.28km向坑中心方向以速度 圆弧上的速率最小，则物资 () oo匀速水平飞行.在距坑边l=1.2km的P 点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直 A.在空中运动的时间为四 g 至抵达着陆线.已知坑直径d=3km,月面 B.与水平方向成45°角斜上抛 至着陆线深度h=1.6km,月面重力加速度 取g月=1.6m/s2,飞行器可视为质点.飞行 C.抛出点与落点的高度差为② 器安全到达着陆线，则。的大小可能是 D.落到圆孤上的最小速率为6g 2 考点三 圆周运动 核心透视 2.圆周运动常考的临界模型 1.求解圆周运动问题的思维流程 (1)水平面内圆周运动常考的临界模型 图示 受力 临界 明确向心力的来源，一般情况下向心力是由 绳（杆）的拉力、静摩擦力提供 竖直方向：受重力和 水平面内 分析临界状态，一般情况下，当静摩擦力最大 支持力，且二力的合 时为临界点 力为零 定模型 判断是轻杆模型还是轻绳模型 水平方向：受静摩擦当F向=Fmx 受力分析 轻杆：FN=mg时 力的作用，且静摩擦时，物体速度 竖直面内 定临界点 轻绳：mgm时 力提供物体做圆周达到临界值 运动的向心力，关系 应用动能定理或机械能守恒定 过程分析 律将初、末状态联系起来，列方 程求解 式有：F=m 12 第一部分：专题一力与运动 (2)竖直面内圆周运动常考的两种临界模型 规律总结解决圆周运动问题的主要步骤 最高点无支撑 最高点有支撑 (1)审清题意，确定研究对象，明确物体做圆 周运动的平面是至关重要的一环，如例题 图示 中是水平面内的圆周运动.水平面内做圆 周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦 最高点 重力ng,弹力F弹向 重力mg,弹力F弹 力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接 受力 下或等于零 向下、向上或等于零 触面分离等临界状态. 向心力 来源 mg十F第=m mg土F第=nD (2)分析物体的运动情况，即物体运动的线速 度、角速度、周期、平面、圆心、半径等。 F弹=0，mg=m mg=F,v=0,即 (3)分析物体的受力情况，画出受力分析图， 恰好过 护 在最高点速度可 最高点v=√gr,即在最高点 确定向心力的来源。 为零 速度不能为零 (4)注意临界条件.绳的临界条件为张力 典题例析 FT=0,接触面滑动的临界条件为静摩擦 专向1水平面内的圆周运动及临界问题 力达到最大静摩擦力，接触面分离的临界 [例4幻（多选）(2025· 条件为FN=0. 山东卷，10)如图所 (5)对匀速圆周运动或变速圆周运动的某 示，在无人机的某次 点，根据牛顿运动定律及向心力公式列方 定点投放性能测试 程.对变速圆周运动的某一段，根据动能 中，目标区域是水平 定理和几何关系列方程 地面上以O点为圆 专回2竖直面内的圆周运动及临界问题 心，半径R1=5m的圆形区域，OO'垂直 地面，无人机在离地面高度H=20m的 [例5]（多选）(2026·湖北 空中绕O点、平行地面做半径R2=3m 卷)如图所示，半径为R、内 的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点， 壁光滑的圆环轨道固定在竖 ∠AOB=90°.若物品相对无人机无初速 直平面内.初始时刻，质量为 度地释放，为保证落点在目标区域内，无 m的小球甲从圆环内表面最 人机做圆周运动的最大角速度应为wax 高处以大小为v。=√2gR(g为重力加速度 当无人机以wmx沿圆周运动经过A点时，相对 大小)的水平初速度向右运动，同时质量为 无人机无初速度地释放物品.不计空气对物品 2的小球乙从圆环内表面最低处以某一水 运动的影响，物品可视为质点且落地后即静 平初速度向左运动.当甲第一次运动到圆环 止，重力加速度大小g=10m/s2.下列说法正 确的是 最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高 点.不计空气阻力、下列说法正确的是 A.cmax= rad/s 3 Bak-号rads A.乙的初速度大小为3√gR C.无人机运动到B点时，在A点释放的物 B.甲、乙两小球运动的周期相等 品已经落地 C.任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D.无人机运动到B点时，在A点释放的物 D.任意时刻两小球对圆环作用力的合力均 品尚未落地 不为零 13 I物理 规律总结解决竖直面内圆周运动问题的 关键—“两点一过程” (1)“两点”即最高点和最低点，在最高点和最 307 低点对物体进行受力分析，找出向心力的 A.a在最高点时所受摩擦力可能为0 来源，根据牛顿第二定律列方程； B.a在最低点时所受摩擦力可能为0 (2)“一过程”即从最高点到最低点（或从最低 点到最高点)，往往用动能定理或机械能 C.ω= 多是a开始滑动的临界角速度 W8 守恒定律将这两点联系起来. 专向3斜面上的圆周运动及临界问题 D如√急是b开始滑动的临界角速度 [例6]如图所示，两个质量均为m的小物块 易错警示本题容易错选A选项.若a通 a和b(可视为质点)，静止在倾斜的匀质圆 过最高点时所受摩擦力为0，则应有mgsin0 盘上.圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a 到转轴的距离为1，b到转轴的距离为21，物 =mw2l,此时w= g,殊不知，物块a的角 块与盘面间的动座擦因数为，盘面与水平 速度要受在最低点不滑动的限制，物块a在 面的夹角为30°.设最大静摩擦力等于滑动 最低点不发生滑动的最大角速度为，√景，所 摩擦力，重力加速度大小为g.若a、b随圆 以最高点摩擦力不可能为0，出现错选的原 盘以角速度ω匀速转动，下列说法正确的是 因是考虑问题不全面，只分析了最高点，而没 分析最低点. 课堂评价>高考预测 1.(多选)水平地面上有一足 2.如图所示，一长为1的轻 够长且足够宽的固定斜 杆的一端固定在水平转 面，倾角为37°，小明站在 轴上，另一端固定一质量 斜面底端向斜面上投掷可视作质点的小石 为m的小球.使轻杆随转 块.若石块出手时的初速度方向与水平方向 轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆 成45°，出手高度为站立点正上方1.8m,重 周运动，重力加速度为g,下列说法正确 力加速度g=10m/s2,sin37°=0.6，cos37 =0.8.下列说法正确的是 的是 A.若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂 A.小球运动到最高点时，杆对球的作用力 直，石块在斜面上的落点恰好与出手点等 一定向上 高，则石块出手时的初速度为2√6m/s B.小球运动到水平位置A时，杆对球的作 B.若石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边垂 用力指向O点 直，石块在斜面上的落点恰好与出手点等 高，则石块出手时的初速度为2√3m/s C若如？，小球通过最高点时，杆对球的 C.若石块的初速度大小一定，当石块的飞 作用力为零 行轨迹所在平面与斜面底边垂直时，石 D.小球通过最低点时，杆对球的作用力可 块飞行时间最短 能向下 D.若投出石块的最大初速度为8m/s,则石 C温馨提污 块在斜面上与出手点等高的有落点所 学习至此，请完成配套训练专题精准强化3 组成的线段长度不会超过12m 14丨物理 的减速运动，2时刻速度减小到零，此后做向上的加速 度减小的加速运动，加速度减小到零时向上运动的速度 达到最大，此后先向上做加速度增大的减速运动，从t 时刻再向上做加速度减小的减速运动，最后速度为零， 故A错误；充电宝在t,时刻加速度方向向上，所受的摩 擦力方向向上；充电宝在t时刻加速度方向向下，由mg +F,=ma3,a3=12m/s,可知摩擦力方向向下，故B错 误；在t,时刻充电宝向下的加速度为10m/s2,充电宝 与手机之间的摩擦力最小，值为零，故C错误：在t。时刻 充电宝向上的加速度最大，充电宝与手机之间的摩擦力 最大，由牛顿第二定律可得Fimax一mg=ma2,又Fmx= F,解得充电宝与手机之间的吸引力大小至少为F=12N, 故D正确.] 第3讲抛体运动圆周运动 核心素养·助学提能 考点一 [例1][解析]由题意可知，四边形ABCD是菱形，摇动 手柄竖直拾升重物过程中，B点的速度方向竖直向上， A、C两点的速度方向分别垂直AD、CD方向，大小相等， A、C两，点的间距每秒均匀缩短2mm,可知A、C两点速 度的水平分量大小相等，为==合×号m/s=1 mm/s,当∠CAB=45°时，B,点和C,点沿BC方向的分速度 大小相等，即gsin45°=c,又e=ccos45°，可得te=√2 mm/s,vg=2mm/s,A、C两点的速度大小相等，方向相 互垂直，A、C错误，B正确：A、C两点竖直方向的速度大 小相等，方向相同，水平方向速度大小相等，方向相反， 所以A点相对C,点的速度沿水平方向，大小为A:十= 2mm/s,D正确. [答案]BD [对点集训] 1.C[船头垂直河岸出发时，过河时间最短，即，=，过河 Ty 位移d,=√+(t)严；船以最短的位移过河时，d2= √一，联立解得在 d 1 ‘√1+远选项C /1十 正确.门 2.B[设圆环与木板的接触，点 为P,圆心为O,角的顶点为 A,连接AO,A、P之间的距离 为x,将圆心的速度分解为板 的速度和圆环上P点的速Ammm咖nmim 度，如图所示 由几何关系有m号-二，由运动的合成与分解有 =sin0,板的角速度为a=整，解得w=号sin0an号 故B正确.门 30 考点二考向1 [例2][解析]根据题意可知飞行器安全到达着陆线， 速度最小时会刚好通过月面坑边到达着陆线，此时根据 1 平抛运动规律在竖直方向有H=2gn(,代入数据解 得t1=40s, 在水平方向有1=t1,代入数据可得=30m/s; 飞行器安全到达着陆线，速度最大时会到达着陆线最右 端的坑边缘，此时根据平抛运动规律在竖直方向有H十 h=28a云，代入数据解得t=60s, 在水平方向有1十d=t,代入数据可得，=70m/s, 所以飞行器安全到达着陆线需满足0/s≤ 70m/s, [答案]B 考向2 [例3][解析]设落，点与O,点的竖直高度为h,水平位移 为x,初速度与水平方向的夹角为日，将初速度沿水平和竖直 方向分解，可得-=n01一时x=4cas9t, 同时有h+x2=R, k立可得6=+号一 设落到圆孤上的速度为，根据机械能守恒 mg+m=md, 1 解得v=√，2+2gh, 故可知h越小0想小，故当gr-尽，是 ·产时，h取最小 g 值，落到圆孤上的速度最小； 解得入g h=号R,0=巫故A,D正确，C 2 倍说，根据前西分析，当√医A=专R时庆入解得 1 sin9=2,8=30°，故B错误。 [答案]AD 考点三考向1 [例4][解析]物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖 直方向H=号g,可得=2s 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 x=√/Ri-R=t, 最大角速度等于”一尺' 2 联立可得0=子Tad/s,故A错误，B正确， 无人机从A到B的时间t=一 由于t'>t,可知无人机运动到B,点时，在A,点释放的物 品已经落地，故C正确，D错误. [答案]BC 00 考向2 [例5][解析]根据题意当甲第一次运动到圆环最低点 时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，则两者运动周期 相同，B正确；若乙的初速度为3√gR,则根据动能定理 可得此时乙在最高点的速度为√5gR,则易知乙的平均 速度大于甲，不可能相同时间内转半圈，A错误；在竖直 光滑圆环内，小球受重力作用，做的是变速圆周运动，相 同时间乙转过的角度与甲不同，除甲、乙运动到最低点 或最高点，任意时刻两小球连线均不过圆心，即速度不 同，向心力不同，圆环对两小球的作用力大小、方向均不 一致，根据力的合成和牛顿第三定律，两小球对圆环作 用力的合力不可能为0，C错误，D正确. [答案]BD 考向3 [例6][解析]在最高点，若a所受摩擦力为0，靠重力 沿圆盘的分力提供向心力，有ngsin9=mlu,在最低 点，有f一ngsin9=mlw,解得最低点的摩擦力f=mg, 而最大静摩擦力fm=μngcos日=0.75mg,不可能为 mg,故假设不成立，因此在最高点a所受到的摩擦力不 会为0，故选项A错误a在最低，点时，由牛顿运动定律 有f-mgsin 0-=mwl,得f=mgsin 0-+mwl,所以a在最 低点时所受摩擦力不可能为0，故选项B错误；对a在最 低点，由牛顿运动定律得ngcos日一mgsin日=mwil,代 入教据解得仙，√景，故选项C错误：对b在最低点，由 牛顿运动定律得ngcos日-ngsin0=mw(2l),代入数 据解得a√景，故选项D正确。 [答案]D 课堂评价·高考预测 1.ACD[石块出手时的初速度方向与水平方向成45°，则 tan45°-20，.=u,石块落在1.8m高的斜面上，an37° =1.8m,则石块的水平位移x=2.4m,由石块斜向上 运动时父=1=号=1.2m小=经1=06m,又或 2gy',解得v,=2√3m/s,所以石块出手时的初速度为 u=√o十℃=2√6m/s,故A正确，B错误；若石块的初 速度大小一定，当石块的飞行轨迹所在平面与斜面底边 垂直时，石块在斜面上的落点最高，石块下落时间最短， 石块飞行时间最短，故C正确：若投出石块的最大初速 度为8m/s,则o=o=4√2m/s,石块在斜面上的落 点恰好与出手点等高处，最大运动时间=2=4巨、， g 5 最大水平位移=U0。=兰m,石块在斜面上与出手点 等高的所有落点与出手点的最小距离x=2.4m,则石块 在斜面上与出手，点等高的最远落，点与最近落点的距离 △x=√/x-x=√35.2m<6m,2△x<12m,则石块在 斜面上与出手点等高的所有落，点所组成的线段长度不 会超过12m,故D正确. 30 讲解册参考答案」 2.C[根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球运动到 最高，点时，若杆对球的作用力为零，则有g=wl,解 得ω任，可知，若小球运动的角速度√任，杆对球 的作用力向下，若小球运动的角建度®一√孚，杆对球的 作用力向上，故A错误，C正确；小球做匀速圆周运动， 则小球运动到水平位置A时，合力指向圆心，对小球受 力分析可知，小球受重力和杆的作用力，由平行四边形 定则可知，杆对球的作用力不可能指向O,点，故B错误； 小球通过最低点时，合力竖直向上，则杆对球的作用力 一定向上，故D错误. 第4讲万有引力与宇宙航行 核心素养·助学提能 考点一 [例1][解析]设恒星半径为R,由题意得行星轨道半 径r=R,行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向 心力，有G=mT心，整理得恒星质量M=4xr 4π G7°，恒 星为均匀球体，体积V-号R,平均密定p=兴将， 4π2(nR) nR代入得p= GT 3xn GT°· [答案]C [对点集训] 1.B[由题知“天含”室间站网期T=器h=1.5h,运行本径 片=6800km, “吉林一号”遥感卫星运行半径r=6935km,根据开普 解得T2≈T=1.5h.] 2.B设卫星质量为m,近地，点到地心距离为r1,远地点 到地心距离为2，运动周期为T,卫星绕地球表面运动 的周期为T。,则F=GMm,F4=G Mm ri Mm,F表=G R 根据题高可知，R=子PA。=6R,联立解得1 2R,r2=4R,绕地球表面运动的卫星有G Mm =mg= R m()】 T To R,根据开普勒第三定律有 ,联 R 2 立解得T=6√g ，B正确.门 考点二 「例2「解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提 2 供向心力GM0三m0r=m了' 其中G为引力常量，M为地球质量，r为轨道半径，w为 角速度，为线速度