精品解析：湖南湘潭江声实验学校2026-2027学年八年级上学期开学数学收心练习

2026 年下学期八年级思维拓展体验活动 • 数学 分值：120 分 时间：90 分钟 一、选择题（8 个小题，每题 4 分，共 32 分） 1. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 3. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设 a < b < 0， ， 则 的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 若实数，，满足等式，，则可能取的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4.8 D. 5.2 7. 小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（ ） A. B. C. D. 8. 把一副直角三角尺如图摆放，已知，，，有下列结论：①；②；③；④当时，平分．其中，正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（6 个小题，每题 5 分，共 30 分） 9. 因式分解的结果为______． 10. 在第个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表，根据图表信息，表中的值为__________． 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 11. 定义一种新运算：当时，；当时，． 若，则的取值范围是______________． 12. 若有理数 ，则有理数的个位数字是__________． 13. 如图，将一块三角板沿一条直角边所在的直线向右平移个单位得到位置． 下列结论： ①且； ②； ③若，，则边扫过的图形的面积为8； ④若四边形的周长为，的周长为，则． 其中正确的结论是__________．（填序号）． 14. 如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 三、解答题（6 个小题，其中 15-17 题 8 分，18 题 10 分，19-20 题 12 分，共 58 分） 15. 对于任意实数 a， b， c， d， 我们规定， （1）若，， 求的值（先化简，后求值）． （2）若， 求非负整数的值． 16. 代数式的运算可以转化为五个多项式相乘，按多项式乘法法则，展开合并同类项后其乘积为：，其中、、、、、为乘积展开式各项的系数，因此，． （1）求与的值； （2）求的值． 17. 根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决： （1）任务一：在活动中，学生共卖出了斤草莓，销售总收入为元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ （2）任务二：现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在元以内（含元），请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 18. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求M的最小值． 解：． ，， 当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：            ； （2）已知 ，求的值． （3）已知 ， ，试比较P，Q的大小． 19. 理解图形，完成下列各题： （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是____________；若，，则该大正方形的边长为______； （2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，．则______． 仿照这个方法，请你尝试解决： 若，求的值； （3）【解决问题】如图2，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． （4）【思维拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，若已知，，则______． 20. 如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板和，其中 ，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点A在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，如图2，当点F在上时，的度数为__________； ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求度数． （2）如图3，点A在上，边在上，三角形的边在直线上，点F落在与之间．将三角形绕点C以每秒的速度顺时针旋转得到三角形，直线分别交直线、于点K、Q，设运动时间为t秒． ①若，当与平行时，____________秒． ②当第一次与平行时三角形停止旋转，运动过程中E、K、Q三点不重合，设，请直接写出β与t之间的关系式及对应的t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年下学期八年级思维拓展体验活动 • 数学 分值：120 分 时间：90 分钟 一、选择题（8 个小题，每题 4 分，共 32 分） 1. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式性质：不等式两边同时加上（减去）同一个数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个正数（式），不等号方向不变；不等式两边同时乘以（除以）同一个负数（式），不等号方向改变；熟记不等式的性质是解决问题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立即可得到答案． 【详解】解：已知，分析各选项： A、两边加，得，符合不等式加法性质，正确，不符合题意； B、两边乘（负数），不等号方向改变，得，正确，不符合题意； C、平方运算不保序，例如，当，时，成立，但，故不正确，符合题意； D、两边乘（正数），得，符合不等式乘法性质，正确，不符合题意； 故选：C． 2. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】统一所求幂的底数为，然后将代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ， 将代入， 得． 3. 实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数轴得出与的范围，再结合不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， 对比各选项只有C符合题意． 4. 设 a < b < 0， ， 则 的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将所求分式平方，结合已知等式利用完全平方公式求其平方值，再根据的符号与大小关系确定结果符号. 【详解】解：∵ ， ∴ ，, ∴ . ∵ ，∴ ，， ∴ ， ∴ . 5. 若实数，，满足等式，，则可能取的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数是运算，绝对值的非负数性质及解一元一次不等式，正确得出是解题关键．根据，得出，根据绝对值的非负数性质得出，解不等式即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴可能取的最大值为． 故选：C． 6. 如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4.8 D. 5.2 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴． 7. 小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的知识是解题的关键，根据题意找到图形旋转后变换的规律即可求解． 【详解】解：由题意得图形每按一次旋转键，图形就会逆时针旋转， 那么连续按4次旋转键后，图形会旋转， 即旋转一周后图形会回到原来的位置， 由此可知，该图形的旋转是以4次为一个循环周期， ， 则第15次逆时针旋转变为： 故选：D． 8. 把一副直角三角尺如图摆放，已知，，，有下列结论：①；②；③；④当时，平分．其中，正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，得出即判断①，进而根据，即可判断②，延长交于点，根据平行线的性质即可判断③，根据当时，，结合平角的定义以及三角板的角度，即可判断④，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，故②正确； 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 当时，， ∴， ∴平分，故④正确； 综上，①②③④都是正确的． 二、填空题（6 个小题，每题 5 分，共 30 分） 9. 因式分解的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的完全平方公式与平方差公式，解题的关键是先将原式看作关于的完全平方式，再继续分解． 先将原式整理为的形式，用完全平方公式分解；再对得到的结果用平方差公式分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： 故答案为：． 10. 在第个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表，根据图表信息，表中的值为__________． 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 【答案】 【解析】 【分析】根据选择元宇宙的人数及其所占百分比计算出总人数，再用总人数减去选择元宇宙和人形机器人的人数即可． 【详解】解：据图可知选择元宇宙的人数为，占比为， 则全班人数为， 则． 11. 定义一种新运算：当时，；当时，． 若，则的取值范围是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况，根据新运算规则列出不等式，分别求解后得到最终结果． 【详解】解：当，即时，根据新运算规则得， 整理得， 解得， 结合前提，得此情况的取值范围为； 当，即时，根据新运算规则得， 整理得， 解得， 结合前提，得此情况的取值范围为； 综上，的取值范围是或． 12. 若有理数 ，则有理数的个位数字是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式化简，再根据的幂次的个位数字的周期性规律计算结果． 【详解】解： ， 观察的幂次的个位数字规律：个位为，个位为，个位为，个位为，个位，可得个位数字周期为， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 13. 如图，将一块三角板沿一条直角边所在的直线向右平移个单位得到位置． 下列结论： ①且； ②； ③若，，则边扫过的图形的面积为8； ④若四边形的周长为，的周长为，则． 其中正确的结论是__________．（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据平移的性质可得对应点连线平行且相等可判断①；由平移的性质可得三角形面积相等，再根据面积的和差可判定②；根据平行四边形的面积公式可得判断③；根据周长的定义及平移的性质计算可判定④． 【详解】解：①由平移的性质可知，且，故①符合题意； ②由平移的性质可知，， ， 即，故②符合题意； ③边扫过的图形为平行四边形， 当，时，平行四边形的底，高， 面积为，故③符合题意； ④四边形的周长为，的周长为， 由平移可知，，，， ，即， 故④不符合题意。 综上，符合题意的有①②③． 14. 如图，已知，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．当将军走过的路程最短时，则__________． 【答案】70 【解析】 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，此时，路程最短；通过对称性得出为等腰三角形且顶角为，进而求出底角；最后利用对称性将底角转化为和，求和即可得到． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交、于点、，连接，如下图： 此时，路程最短， 由对称性质可知，，． ， ， ， ∵， ， 由对称性质可知，， ，， ． 三、解答题（6 个小题，其中 15-17 题 8 分，18 题 10 分，19-20 题 12 分，共 58 分） 15. 对于任意实数 a， b， c， d， 我们规定， （1）若，， 求的值（先化简，后求值）． （2）若， 求非负整数的值． 【答案】（1）； （2），， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ，， 原式； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得， 非负整数的值为，，． 16. 代数式的运算可以转化为五个多项式相乘，按多项式乘法法则，展开合并同类项后其乘积为：，其中、、、、、为乘积展开式各项的系数，因此，． （1）求与的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）令即可求出，根据是的系数即可求出； （2）当时，，当时，，代入所求代数式即可求出答案． 【小问1详解】 解：令， 则 ∴， ∵，是的系数， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴ ． 17. 根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决： （1）任务一：在活动中，学生共卖出了斤草莓，销售总收入为元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ （2）任务二：现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在元以内（含元），请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】（1）精包装销售了盒，简包装销售了盒 （2）解：共有2种符合要求的分装方案．方案1：精包装6盒，简包装22盒；方案2：精包装3盒，简包装24盒． 理由：设可以分装成盒精包装，则分装成盒简包装， 根据题意得， 解得． 又，均为正整数， 必须是3的倍数， 可以为3，6， 共有2种分装方案， 分装成3盒精包装，24盒简包装； 或分装成6盒精包装，22盒简包装． 【解析】 【分析】（1）设精包装销售了盒，简包装销售了盒，根据学生共卖出了斤草莓，销售总收入为元建立方程组求解即可； （2）设可以分装成盒精包装，则分装成盒简包装，根据购买包装盒的成本控制在18元以内建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设精包装销售了盒，简包装销售了盒， 根据题意得 解得 答：精包装销售了盒，简包装销售了盒； 【小问2详解】 略． 18. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求M的最小值． 解：． ，， 当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：            ； （2）已知 ，求的值． （3）已知 ， ，试比较P，Q的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】用配方法将各式凑成完全平方式与其他整式的和，然后根据平方的非负性解决问题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 故， ∴， ； 【小问3详解】 解： ， ∴． 19. 理解图形，完成下列各题： （1）【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为，的正方形和两个长方形．用两种方法表示该大正方形的面积，可得数学等式是____________；若，，则该大正方形的边长为______； （2）【能力提升】我们还可以利用（1）中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若满足，可设，，则，．则______． 仿照这个方法，请你尝试解决： 若，求的值； （3）【解决问题】如图2，是直角三角形，，分别以边，为直径向三角形外部作半圆，已知，两半圆的面积和，求的面积． （4）【思维拓展】如图3，观察棱长为的大正方体的分割，若已知，，则______． 【答案】（1）；8 （2）7； （3）6 （4）95 【解析】 【分析】（1）整体图形是一个边长为的正方形，其面积为；图形有一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长为，宽为的长方形组成，根据图形的面积性质，列代数式表示解答即可；利用公式解答即可； （2）求解即可． （3）设，则，由两半圆的面积和，根据圆的面积公式，得，利用完全平方公式变形求解即可； （4）根据题意，得整个立方体的体积为，其体积可以有，，，组成，变形求解即可． 【小问1详解】 解：， 由，， 得， 故，（不符合要求，舍去）； 【小问2详解】 解：根据题意，得满足， 设，，则，． ， ， ； ， 设，， 则，． ， ， ； ； 【小问3详解】 解：设， 则， 由两半圆的面积和， ， ， ， ， ， ； ， 的面积为6． 【小问4详解】 解：根据题意，得， ， ，， ． 20. 如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板和，其中 ，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点A在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，如图2，当点F在上时，的度数为__________； ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求度数． （2）如图3，点A在上，边在上，三角形的边在直线上，点F落在与之间．将三角形绕点C以每秒的速度顺时针旋转得到三角形，直线分别交直线、于点K、Q，设运动时间为t秒． ①若，当与平行时，____________秒． ②当第一次与平行时三角形停止旋转，运动过程中E、K、Q三点不重合，设，请直接写出β与t之间的关系式及对应的t的取值范围． 【答案】（1）①；②或 （2）①15秒或51秒或87秒；②， 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，，根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可得． ②分和两种情况，根据角的和差进行计算即可； （2）①如图6，当第一次与平行时，设直线与的交点为P点．根据平行线的性质可得，，再根据三角形内角和定理可得，进而可得，再除以旋转的速度即可求得．再继续旋转，第二次与平行，则时间增加，即，同理第三次与平行时秒． ②根据三角形内角和定理和平行线的性质可得，，，进而可得，求出当第一次与平行时t的值即可得t的取值范围． 【小问1详解】 解：①∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴． ②如图4，当E点与A点重合时，，则， 图4 如图5，当时，， 图5 综上所述：的度数为或． 【小问2详解】 解：①如图6，当第一次与平行时，设直线与的交点为P点，与相交于点K， 则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（秒）． 如图7，当第二次与平行时， 图7 此时在图6的基础上又旋转了， ∴又旋转了（秒）， ∴（秒）， 同理，当第三次与平行时，（秒）， ∵， ∴综上所述，当与平行时秒或51秒或87秒． ②如图8, 图8 ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 如图9，当第一次与平行时， 图9 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， ∴t的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了平移和旋转的性质、平行线的性质，三角形内角和定理和外角定理．正确地作出图形，并且分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $