3.2 基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式（√ab ≤ (a+b)/2），从概念公式导入，衔接不等式基础，通过“一正、二定、三相等”条件及变形，搭建求最值和实际应用的学习支架，含思维导图梳理知识脉络。 其亮点在于分层训练（基础到拔高）、例题变式结合、高考对接，融入数学文化（如《九章算术》勾股容方）。通过广告牌设计等实际问题培养数学眼光，用“1”的代换等方法发展数学思维，帮助学生提升解题能力，为教师提供一体化教学资源。

高一数学●2024苏教版必修一 第三章 不等式 本节学习基本不等式及其推导过程，掌握“一正、二定、三相等”使用条件，会运用不等式求解最值问题，能够处理简单实际应用题，体会转化与化归的数学思想。。 3.2 基本不等式 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括89张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 基本不等式 如果,是正数，那么（几何平均数.） （算术平均数.）（当且仅当 时，等号成立）. 我们把不等式 （【关键点】两个非负数的几何平均数不大 于它们的算术平均数）称为基本不等式. . . . . . . 4 知识剖析 基本不等式 中，应牢记两点： （1）基本不等式成立的条件是, 都是非负数. （2）等号成立的条件是当且仅当，即若,则，若 ，则 ,即，反之，若,则 . 5 特别提醒 基本不等式的常见变形及常用结论 1.基本不等式的常见变形：, . 2.基本不等式的常用结论 （1）同号，当且仅当时取等号；异号 ,当且 仅当 时取等号. （2），当且仅当时取等号； ，当且仅 当 时取等号. 6 学思用·典例详解 【想一想丨问题质疑】 基本不等式中，为什么要求, 都是非负数？ 提示 基本不等式中，要求,都是非负数，否则，若， ，如 ,,则会出现的错误结论，若, 中有一个小于 0，如,,则 无意义. 7 例1-1 判断下列两个推导过程是否正确： （1）, , ; 【解析】由于，,所以与 不一定非负，不符合基本不等式的使用条件， 故（1）的推导是错误的. （2），, , . 【解析】由,知，均为负数，在推导过程中，将其转变为正数， 后， 符合基本不等式的使用条件，故（2）的推导正确. 8 知识点2 基本不等式与最大（小）值——最值定理 1 和积（最值）定理 已知, 都是正数. （1）若（和为定值），则当时，取得最大值 ； （2）若（积为定值），则当时，取得最小值 . 上述结论可快速求解两正数所对应的两类最值问题：（1）和为定值，积有最大 值；（2）积为定值，和有最小值.因此，上述结论也称为最值定理.最值定理可简记 为“和定积最大，积定和最小”. . . 9 2 和积（最值）定理的理解 利用基本不等式求最值要牢记：“一正”“二定”“三相等”. （1）“一正”,即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的结果.例 如，函数,当时，绝不能认为 . （2）“二定”,即含变量的各项的和或积必须是定值（常数）.如果要求 的最 小值，那么必须是定值；要求的最大值， 必须是定值.例如，已知 ,求的最大值,需变形为,这时 为定 值，且, . （3）“三相等”,即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值. 例如，满足“正”和“定”的条件，但要取等号必须 , 即 ,这是不可能的，所以其最小值不是2. 10 学思用·典例详解 例2-2 （1）已知，，且，则 的最大值为( ) C A.16 B.25 C.36 D.49 【解析】因为， ， 所以，即，当且仅当时取等号，故 的最大值 为36． 11 （2）[教材改编P61 练习T1](2026·河北省保定市月考)已知两个正数， 满足 ，则 的最小值为( ) B A.3 B.6 C. D. 【解析】因为， 为正数， 所以，当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值为6. 12 例2-3 [教材改编P62 T4]设，则 的最____值为_________. 大 【解析】， , , , 当且仅当，即 时等号成立. 故有最大值 . 13 释疑惑 重难拓展 知识点3 基本不等式的变式与拓展 1 基本不等式链 ， 当且仅当时等号成立.其中为, 的调和平均值，为, 的平方平均值.此 不等式链又常以 的形式出现. 其几何意义如图3.2-1所示. 14 2 基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式 均为正实数 当且仅当 时，等号成立. （2）推广到 元的基本不等式为 均为正实数 , （由二元到三元再到 元，体会发散思维、类比思维） 当且仅当 时，等号成立. . . 15 学思用·典例详解 例3-4 （1）[多选题](2026·广西南宁市第十四中学月考)若， ，且 ，则下列不等式恒成立的是( ) AD A. B. C. D. 【解析】由，得，故C错；由得 ， ，故A正确；，故B错；由 得 ， ，D正确． 16 （2）[教材改编P61 练习T1]若，，，则 的最小值为___. 【解析】因为 ，则 ,当且仅当 且 ,即 时取等号. 2 【想一想丨归纳总结】 以下四组不等式可以作为基本不等式的应用形态： ； ； ； . 18 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 利用基本不等式判断不等关系 例5 下列不等式一定成立的是( ) C A. B. C. D. 【解析】选项A中，（当且仅当时， ），故选项A不正确； 选项B中，， ，故选项B不正确； 选项C中， ，故选项C正确； 选项D中，，则 ，故选项D不正确. 19 利用基本不等式判断不等关系的思路 第一步：是否满足应用基本不等式的条件. 第二步：观察待比较式子的结构特征，合理选取基本不等式或其变形，利用不等式 的性质比较. 第三步：检验等号是否成立. 20 题型2 利用基本不等式证明 1 无附加条件的不等式证明 例6 已知,,,求证： . 【解析】，，,,, ,（【破题点】结合待 证不等式的结构特征，进行拆项、配凑） , （【用方法】利用同向不等式相加求解） 故,当且仅当时，取“ ”. （【明易错】判断等号能否取到） 21 知识拓展 用换，换，换后，代数式不变的式子叫轮换对称式，其特征是，， 的地 位一样. 22 2 有附加条件的不等式证明 例7 已知,,,且不全相等.若,求证： . 思路点拨 可以从左向右证明，也可以从右向左证明.证明过程中要注意“1”的适当代换. 【解析】 由题意可知，,,是不全相等的正数且 ， .（【破题点】“1”的灵活运 用） , . 同理, . . . 23 又,, 不全相等，故以上三个不等式中至少有一个等号不成立. , 即 . ，且,, 是不全相等的正数， ，即 . 24 利用基本不等式证明不等式的两种题型 （1）无附加条件的不等式的证明.其解题思路是：观察要证不等式的结构特征，若 不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配 凑（加减项或乘除某个实系数）等，使之满足使用基本不等式的条件. （2）有附加条件的不等式的证明.其解题思路是：观察已知条件与要证不等式之间 的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形，如当已知条件中含有“1”时，要注 意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到. 25 【学会了吗丨变式题】 1.已知，，是互不相等的正实数，且 ，求证： ． 【答案】因为，,, 是互不相等的正实数， 所以 ,所以 . 26 题型3 利用基本不等式求最值 1 “配、拆、并”求最值 例8（1）函数 的最大值是 _ __. 【解析】 .（调整 的系数，使原等式中出 现和为定值的代数式） ,， ， ,当且仅当，即 时取等号. 故当时， . . . 27 由知, ,当且仅当 ,即时取等号.故当时, . 28 （2）函数 的最小值是 ___. 8 【解析】 ,（【破题点】此处连续两次利用配凑 法构造出了需要的代数式） , , , 当且仅当,即 时取等号. 故当时， . . . 29 （3）若,是正数，则 的最小值是 ___. 4 【解析】, 是正数， ，当且仅当 （【明易错】多次使用基本不等式，应注意等号成立的一致性）即 时取等号. 故 的最小值为4. 30 31 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，求函数或代数式的最值，需对函数或代数式进行恒等变形及配凑， 使“和”或“积”为定值.常见的变形手段为拆、并、配. （1）拆——裂项拆项 当分子的次数高于分母的次数时，将分式进行整式分拆——分拆成整式与“真分式” 的和，再根据分式分母的形式对整式进行凑项，为应用基本不等式创造条件 （如例8（2））. （2）并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先部分应用基本不等式，再 组与组之间应用基本不等式得出最值（如例8（3））. 32 （3）配——配式、配系数 为使“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件进行合理配式或配系数，使匹配后 的和式中两部分乘积为定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两项之和为定值 （如例8（1））. 注意以下两点：（1）使用基本不等式求最值时一定要满足“一正、二定、三相等”; （2）分式型函数以及含有两个变量的函数，特别适合于使用基本不等式求最值. 33 【学会了吗丨变式题】 2.[教材改编P59 T4](2026·黑龙江省齐齐哈尔市实验中学月考)已知，则 的最小值为( ) B A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】因为，所以 ,所以 ， 当且仅当，即 时取等号． 34 3.已知，则 的最小值为___. 9 【解析】因为，所以 ， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故 的最小值为9. 35 2 连续使用基本不等式求最值 例9 若实数,满足，则 的最小值为___. 4 36 【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 即或 时等号成立．（连续两次使用基本不等式要保证等号成立的一 致性） 37 【学会了吗丨变式题】 4.已知正实数，满足，则当__时， 的最小值是___． 6 【解析】依题意，，即，当且仅当 时取等 号， ， 当且仅当 时取等号. 38 3 “ 1”的代换与消元法 母题 致经典·母题探究 例10 已知,,且,则 的最小值为____. 16 39 【解析】 （“1”的代换） , . ,, ， 当且仅当,即 时，取等号. , 当,时， . 40 （消元法） , . ,,.（【关键点】消去后，原来的的限制条件，当由代替它的 来“接班”,此限制条件不会因“消元”而凭空消失） ,且 ， ， 当且仅当,即时,取等号，此时 . 当,时， . . . 41 （化积为定值） 由，得 （定值）. ，即 由可知， ， ，当且仅当 ，即， 时上式取等号. 故当，时， . 易错警示 本题若由得, , ,则造成错误，这是由于两个不等式取等号时，， 的取值不相 等造成的，故这种解法不正确. . . 42 子题 若正数,满足,则 的最小值是___. 5 【解析】 （“1”的代换） 由条件得,则 （巧妙借助了“1”的代换）, 当且仅当,,即, 时取等号. 故 的最小值为5. . . 43 （消元法） 由条件得，由,知 ,从而 ,当且 仅当,,即,时取等号.故 的最小值为5. 名师点评 此子题与母题实质是一样的，条件,经过变形可得到,即 ,可利用“1”的代换巧妙求解. 44 例11 当时， 的最小值为( ) B A.8 B.9 C.10 D.12 【解析】由，得 ，所以 ，（【变换有 招】此处用到了隐含的“1”的代换，解题时就是要朝着新增的式子整体是1的方向发 展）当且仅当，即时等号成立，所以 的最小值为9． 45 【学会了吗丨变式题】 5.已知，，且，则 的最小值为( ) A A.2 B.3 C. D. 【解析】 ， ， ， ，当且仅当 ，即 时取等号．故 的最小值为2. ,,即 , , 当且仅当,即时取等号，故 的最小值为2. 46 题型4 利用基本不等式处理含参恒成立问题 例12 已知正数，满足恒成立，则实数 的最小值为___． 2 【解析】依题意得，即 （当且仅当 时取等号），即的最大值为2．又，因此有，即 的 最小值为2． 47 运用基本不等式求恒成立问题中参数的取值范围时，可将参数分离出来，转化为求 函数的最值.求函数的最值时，要巧妙利用“和定积最大，积定和最小”这一结论. 48 【学会了吗丨变式题】 6.设常数，若对一切正实数恒成立，则 的取值范围为_______ ___. 【解析】，，，当且仅当，即 时取等号.从 而由原不等式对恒成立得， . 49 题型5 已知三个实数之间的关系，求某个代数式的最值问题 例13 设正实数,,满足.则当取得最小值时, 的 最大值为( ) C A.0 B. C.2 D. 50 【解析】依题意得， ,当且仅当 ，即 时，等号成立. 此时 ， , 当，,时， 取最大值，最大值为2. 51 例14 已知实数,,满足,,则 的最大值是_ __. 【解析】,即 , （当且仅当 时取等号）. 由，得,由 ，得 ,，故的最大值为 . 52 题型6 基本不等式在实际问题中的应用 图3.2-2 例15 新考法 数学建模(2026·四川省泸县第五中学月考)如图3.2-2所示， 要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相同的左右两个矩形栏目 （即图3.2-2中阴影部分），这两栏目的面积之和为 ，四周 空白的宽度为，两栏目之间的中缝空白的宽度为 ．则广告 牌的高与宽分别设计为多少（单位： ）时，能使矩形广告牌的面积 最小. 思路点拨 解决本题有三个关键点：一是在读懂题目的前提下正确建模转化；二是 引入合适的变量，建立正确的广告牌面积的表达式；三是能正确地运用基本不等式 求最值. 53 【解析】设矩形广告牌的高为,宽为 ，则每个栏目的高和宽分别为 ,，其中, ，则两栏目面积之和为 ,由此得 , 广告牌的面积,整理得 (【解题方法】注意变形为“积定”的形式，在解题过程中尽量向 的模型上靠拢). . . 54 , ， 当且仅当时，取“”，此时有,解得 , 代入,得 . 即当，时， 取得最小值24 500. 故当广告牌的高为,宽为 时，可使矩形广告牌的面积最小. 55 利用基本不等式解决实际问题的一般步骤 56 【学会了吗丨变式题】 7.(2026·云南省曲靖市部分学校月考)现要制作一个容积为，高为 的无盖长方 体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容 器的最低总造价是( ) C A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 【解析】设该容器的底面长为，宽为，则，所以 ， 所以总造价 . 所以，当且仅当，即 时等号成立，所以最 低总造价是160元. 57 新考法 数学文化 例16 新情境 九章算术[多选题](2026·上海市七宝中学月考)《九章算术》中“勾股容 方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其 《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图3.2-3（1）， 用对角线将长和宽分别为和 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成 一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组， 得到如图3.2-3（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长 .由刘 徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.2-3（3）,设为斜边 的中点，作 直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点 ，则下列推理正确 的是 ( ) 58 图3.2-3 A.由图3.2-3（1）和图3.2-3（2）中图形面 积相等得 B.由可得 C.由可得 D.由可得 √ √ √ 59 60 【解析】对于A,由图3.2-3（1）和图3.2-3（2）中图形面积相等得 ，所以 ，故A错误； 对于B,因为，所以，所以 ，设图 3.2-3（3） 中内接正方形边长为，根据三角形相似可得，解得 ，所以 ，因为，所以，整理可得 ，故B 正确； 61 对于C,因为为斜边的中点，所以，因为 ，所以 ，整理得 ，故C正确； 对于D,因为，所以，整理得 ，故D正确. 故选 . 素养提升 新高考注重数学知识的应用性，重视与实际的联系和数学文化的渗透，突显对六大 核心素养的培养，本题以《九章算术》中“勾股容方”问题为素材，考查学生的阅读 理解能力、逻辑推理能力、抽象概括能力，是高考的命题新趋势. 62 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节内容是高考的热点内容，主要是作为工具来进行考查，也就是在考查其他知识 时，需要利用基本不等式来求最值或证明不等式.偶尔单独考查，单独考查时多是利 用基本不等式求最值，以选择题、填空题的形式出现. 核心素养：数学运算（最值的求解等），逻辑推理（利用基本不等式判断最值）. 63 考向 利用基本不等式求最值 例17 [多选题](2022·新高考全国Ⅱ卷)若,满足 ，则( ) BC A. B. C. D. 64 给什么 得什么 所给的条件“”，左边有和，是关于, 的二次齐 次式，右边为常数“1”. 求什么 想什么 对于A,B，需要由条件确定（关于, 的一次齐次式）的范围，可考虑 对条件变形，配凑一个出来，即 ，而 ，于是就得到关于的不等式 ，即 ,所以 ，所以A不正确，B正确. 求什么想什么 对于C,D，需要由条件确定的范围，可对“ ” 中的进行变形，即，于是有 ，即 ，所以C正确，D不正确． 65 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 代数式的恒等变形以及最值的求解. 逻辑推理 利用基本不等式推断出有关结论. 提分 探源 对于选择题，最常用的还有特殊值排除法，如取 ，满足 ，但，排除A选项；取， ， 提分 探源 满足，但，排除D选项.由于是多选题，故选 . 66 例18 (2025·北京)已知, ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】因为,,所以，当且仅当 时等号成立，所以A 错误. 若，,，则必有，但 不一定成立，所以 B错误. （【另解】当时，满足,,但，， ， 所以B错误） 因为,，，当且仅当 时等号成立，所以C正确. 因为,，所以，当且仅当 时等号成立，所以D错误. 67 例19 (2025·上海)设,,,则 的最小值为___. 4 【解析】 ，当且仅当 ，即, 时取等号. 68 高考新题型专练 1.[多选题](2026·江苏省南菁高级中学期中)若,， ，则下列说法 正确的是( ) ACD A.的最大值为 B. 的最小值是4 C.的最大值为2 D.的最小值为 69 【解析】因为，，则，即，当且仅当 时取等号，故A正确. 因为，当且仅当 时取等号，此时与已知条件 矛盾，故B错误. ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C正确. ，当且仅当 时 取等号，故D正确.故选 ． 70 2.[多选题](2026·四川省仁寿第一中学周练)下列说法正确的是( ) AC A.若，则的最大值为 B.函数 的最小值为2 C.已知，，，则的最小值为 D.若正数,满足，则 的最小值为3 【解析】对于A， ，当且仅当 ，即时等号成立， 正确. 对于B，设，，则 ， ，当且仅当 时等号成立， 71 的最小值为3， 错误. 对于C， ， . ，当 且仅当，且,即， 时等号成立， 的最小值为， 正确. 对于D，， , ，当且仅当 时等号成立， 的最小值为4，错误.故选 ． 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.下列命题中是真命题的是( ) B A.的最小值是2 B. 的最小值是2 C.的最大值是2 D. 的最大值是2 【解析】，当且仅当时取等号，而 既无最小值， 也无最大值. 73 2.已知,则 的最小值为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】，，当且仅当 ，即 时取等号， 的最小值为3．故选B． 74 3.新考法 学科综合 [教材改编P61 T5] 现有一台不等臂的天平，它有左、右两个托 盘，若同一个物体放在左、右托盘各测一次，所得的质量分别是，（单位： ）， 则下列关于物体的真实质量 表述正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】设左、右两臂长分别为,，则, , ,, . 75 4.已知，，且，则 的最小值为( ) A A. B. C.9 D.7 【解析】因为,,且 , 所以 ,当 且仅当,时等号成立,所以的最小值为 ． 76 5.［多选题］ (2026·辽宁省沈阳市第一中学段考)设正实数，满足 ，则 ( ) CD A.的最小值为 B. 的最小值为2 C.的最大值为1 D. 最小值为2 【解析】因为 ,所以 （当且仅当 ,时,等号成立）,故选项A错误；当, 时, ,故选项B错误；（当且仅当 时,等号成 立）,故选项C正确；（当且仅当 时,等号成立）,故 选项D正确.故选 . 77 6.若正数,满足,则 的最小值是_____. 【解析】因为正数,满足,所以,所以 ,则 ,当且仅当,即 时取 等号, 故的最小值是 ． 7.若，，则 的最小值为___. 4 【解析】因为，，则 ， 当且仅当 时，原式取得最小值，为4． 78 图3.2-1 8.新情境 桑基鱼塘 桑基鱼塘是广东省珠江三角洲的一种独具 地方特色的农业生产形式，某公司打算开发一个桑基鱼塘项目, 该公司准备购置一块1 800平方米的矩形土地,如图3.2-1所示， 中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基 围（阴影部分所示），用来种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为2 米,池塘所占面积为平方米，其中 . （1）试用,表示 ； 【答案】由题可得，，, , . 79 （2）若要使最大，则, 的值各为多少？ 【答案】 ，当且仅当且 , 即, 时等号成立, 故取得最大值时，, . ，当且仅当,即 时等号成立, 故取得最大值时，, . 80 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.已知函数，若的取值范围为，则 的值是 ( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】由题意知,①当时，,当且仅当 时 取等号;②当时，，当且仅当 时取等号. 所以解得 ,故选C. 81 10.已知，，，，则 的最小值 为( ) C A.8 B.10 C. D. 【解析】，，， ， 又， ， ， 当且仅当，即时，等号成立，故 的最 小值为 ． 82 11.［多选题］ 若， 为正数，则( ) BCD A. B.当时， C.当时， D.当时， 【解析】对于选项A，因为，所以，当且仅当 时取等号， 故A错误； 对于选项B， ，当且仅 当 时取等号，故B正确； 83 对于选项C，，则， ，当且仅当 时取等号，故C正确； 对于选项D， ，当且仅当时取等号，则 ,故D正确． 84 12.设,且恒成立，则 的取值范围为___________. 【解析】由知，,, . 原不等式等价于，要使原不等式恒成立，只需 小于或等于 的最小值即可. , 当且仅当，即 时，等号成立. 故的取值范围为 . 85 13.设,,，则 的最大值为_____. 【解析】,所以 ,当且仅当 且,即,时等号成立,故 的最大值为 . 86 14.(2026·广东省肇庆市两校联考)问题：正数,满足，求 的最小 值．其中一种解法是： ，当且仅 当，且时，即且 时取等号.学习上述解法并解 决下列问题. （1）若正实数,满足,求 的最小值； 【答案】若正实数,满足,则 , 所以,当且仅当,即 , 时取等号,所以的最小值为 . 87 （2）若正实数,,,满足，且,试比较和 的大小， 并说明理由. 【答案】正实数,,,满足,且 , 则 , 因为,当且仅当 时取等号, 所以 , 所以 . 88 C 培优练丨能力提升 15.实数,满足,则 的最大值是____. 42 【解析】由,, ,得 ,当且仅当, 时取等号. 故 的最大值为42. 89 $