第26章 二次函数 学情评估练习卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元学情评估卷，覆盖定义、图象性质、平移、实际应用等核心知识点，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习检测，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图象性质、平移、与一次函数综合|结合羽毛球运动路线（第7题）考查几何直观，体现数学眼光| |填空题|6/24|解析式、函数值比较、近似解、利润问题|以服装销售利润（第14题）构建模型，培养模型意识（数学语言）| |解答题|6/66|解析式转化、平移、实际应用（足球射门、果园产量）、几何综合|足球射门抛物线（第19题）与果园产量最值（第21题）融合运算与推理，发展数学思维|

第26章 二次函数 学情评估练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2．抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3．已知二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象与轴有两个交点 C. 其图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 4．已知二次函数，当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 5．将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为，则，的值分别是（ ） A. 1， B. 1，2 C. 1，3 D. ， 6．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） （第6题） A. B. C. 或 D. 7．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分如图所示，水平地面为 轴，单位：，则下列说法不正确的是（ ） （第7题） A. 出球点离点的距离是 B. 羽毛球横向飞出的最远距离是 C. 羽毛球运动中达到的最大高度为 D. 当羽毛球横向飞出时，可到达最高点 8．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9．如图，二次函数,,为常数，的图象与轴交于点，.有下列结论：；②若点和均在此函数图象上，则；；.其中正确的有（ ） （第9题） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点 在 轴的负半轴上），与轴交于点，过点作轴交二次函数的图象于点，连接，，若，则点的横坐标为（ ） （第10题） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．请写出一个二次函数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其图象满足条件：①开口向下；②过原点. 12．已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）. 13．下表是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个近似解为_ _ _ _ _ _ _ _ .精确到 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.19 1 14．某商店以每件40元的价格购进了一批服装，若按每件50元销售，一周可销售100件.当每件的售价每提高1元时，其周销售量就会减少5件.若设每件的售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 15．已知抛物线经过和两点，为轴上方抛物线上一点.若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为_ _ _ _ . 16．如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点到的距离为.在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点，在边上，点，在抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系.若，则矩形窗户的宽_ _ _ _ _ _ . （第16题） 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）已知二次函数. （1） 将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项； （2） 写出该二次函数图象的顶点坐标. 18．（8分）如图，二次函数为常数的图象的对称轴为直线. （1） 求的值； （2） 向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式. 19．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线状.当球飞行的水平距离为时，球到达最高点，此时球离地面.已知球门高为,现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系. （1） 求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2） 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？ 20．（12分）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上. （1） 求该函数图象的对称轴及顶点坐标； （2） 当时，该函数的最小值为，最大值为，求的取值范围； （3） 若该函数图象与轴的两个交点的横坐标为，，满足，求的取值范围. 21．（12分）果园有果树60棵，现准备多种一些果树来提高产量.如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低.根据经验，增种10棵果树时，果园内每棵果树的平均产量为.在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树且 为整数棵，该果园每棵果树的平均产量为，它们之间的函数关系为一次函数关系，且满足如图所示的图象. （1） 图中点所表示的实际意义是_ _ _ _ _ _ _ _ ，每增种1棵果树，每棵果树的平均产量减少_ _ _ _ _ _ . （2） 求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围. （3） 当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大总产量是多少？ 22．（16分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点. （1） 求该抛物线对应的函数解析式； （2） 若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3） 在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 解析卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 答案：D 2．抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 答案：C 3．已知二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象与轴有两个交点 C. 其图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 答案：D 4．已知二次函数，当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 答案：C 5．将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为，则，的值分别是（ ） A. 1， B. 1，2 C. 1，3 D. ， 答案：A 6．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ） （第6题） A. B. C. 或 D. 答案：C 7．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分如图所示，水平地面为 轴，单位：，则下列说法不正确的是（ ） （第7题） A. 出球点离点的距离是 B. 羽毛球横向飞出的最远距离是 C. 羽毛球运动中达到的最大高度为 D. 当羽毛球横向飞出时，可到达最高点 答案：B 8．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 答案：A 9．如图，二次函数,,为常数，的图象与轴交于点，.有下列结论：；②若点和均在此函数图象上，则；；.其中正确的有（ ） （第9题） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案：C 10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点 在 轴的负半轴上），与轴交于点，过点作轴交二次函数的图象于点，连接，，若，则点的横坐标为（ ） （第10题） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案：C 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．请写出一个二次函数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其图象满足条件：①开口向下；②过原点. 答案：（答案不唯一） 12．已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）. 答案： 13．下表是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个近似解为_ _ _ _ _ _ _ _ .精确到 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3 0.19 1 答案： 14．某商店以每件40元的价格购进了一批服装，若按每件50元销售，一周可销售100件.当每件的售价每提高1元时，其周销售量就会减少5件.若设每件的售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 答案： 15．已知抛物线经过和两点，为轴上方抛物线上一点.若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为_ _ _ _ . 答案：2 16．如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点到的距离为.在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点，在边上，点，在抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系.若，则矩形窗户的宽_ _ _ _ _ _ . （第16题） 答案： 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）已知二次函数. （1） 将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项； （2） 写出该二次函数图象的顶点坐标. 答案：（1） 解：.二次项是,一次项是，常数项是0. （2） ，则该二次函数图象的顶点坐标为. 18．（8分）如图，二次函数为常数的图象的对称轴为直线. （1） 求的值； （2） 向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式. 答案： （1） 解：由二次函数为常数知,其图象与轴的交点坐标是和. 图象的对称轴为直线, ,解得. （2） 由（1）知,则该二次函数的解析式是, 即. 平移后的图象经过原点， 平移后图象所对应的二次函数的解析式是. 19．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线状.当球飞行的水平距离为时，球到达最高点，此时球离地面.已知球门高为,现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系. （1） 求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2） 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？ 答案： （1） 解：易知抛物线的顶点坐标为. 设抛物线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入，得，解得， 抛物线对应的函数解析式为. 当时，， 球不能射进球门. （2） 设小明应带球向正后方移动，则移动后的抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得（舍去）或， 当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处. 20．（12分）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上. （1） 求该函数图象的对称轴及顶点坐标； （2） 当时，该函数的最小值为，最大值为，求的取值范围； （3） 若该函数图象与轴的两个交点的横坐标为，，满足，求的取值范围. 答案： （1） 解：将点的坐标代入，得， ， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为. （2） 当时，；由（1）知当时，.根据对称性知当和时，的值相等， 易知. （3） 该函数图象的对称轴为直线，. 又，，. 当时，， 当时，， 即，解得. 21．（12分）果园有果树60棵，现准备多种一些果树来提高产量.如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低.根据经验，增种10棵果树时，果园内每棵果树的平均产量为.在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树且 为整数棵，该果园每棵果树的平均产量为，它们之间的函数关系为一次函数关系，且满足如图所示的图象. （1） 图中点所表示的实际意义是_ _ _ _ _ _ _ _ ，每增种1棵果树，每棵果树的平均产量减少_ _ _ _ _ _ . （2） 求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围. （3） 当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大总产量是多少？ 答案：（1） ； （2） 解：设关于的函数解析式为. 把分别代入上式，得解得 关于的函数解析式为,自变量的取值范围是，且为整数. （3） . , 当时,取最大值，. 答:当增种果树50棵时,果园的总产量最大，最大总产量是. 22．（16分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点. （1） 求该抛物线对应的函数解析式； （2） 若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3） 在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： （1） 解：根据题意得 解得 该抛物线对应的函数解析式为. （2） ，， 易得直线的解析式为. 设， 则易得，， . ， 当时，有最大值，此时. （3） 存在.如图，过点作交抛物线的对称轴于点，过点作交抛物线的对称轴于点，连接，，由（1）易知抛物线的对称轴为直线. 设，则，， 由，可得，解得， ， 易得直线的解析式为. ,, ， 又 直线经过， 易得直线的解析式为， 当时，， . 综上所述，点的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $